Volumenmessung
Ben und Mia füllen im Garten das Planschbecken. „Wie viel Wasser passt da rein?“, fragt Ben. Mia antwortet: „Zwei.“ Zwei was? Zwei Liter? Zwei Kubikmeter? Ohne Einheit sagt die Zahl nichts. Hier lernst du, wie man Volumen misst, in welchen Einheiten man es angibt und wie man sie umrechnet.
Das Volumen messen: Einheitswürfel
Das Volumen (der Rauminhalt) sagt, wie viel Platz ein Körper einnimmt. Man misst es wie die Fläche: Man legt eine Einheit fest und zählt, wie oft sie hineinpasst. Bei der Fläche ist das ein Einheitsquadrat, beim Volumen ein Einheitswürfel.
Ein Würfel mit der Kantenlänge $1\,\text{cm}$ hat das Volumen $1\,\text{cm}^3$ (ein Kubikzentimeter).
Die Figur zeigt die Vorderseite mit $4 \cdot 2$ Würfeln. Nach hinten liegen $3$ solche Reihen hintereinander. In der untersten Schicht liegen $4 \cdot 3 = 12$ Würfel. Es gibt $2$ Schichten, also $12 \cdot 2 = 24$ Würfel. Das Volumen ist $24\,\text{cm}^3$, wenn jeder Würfel $1\,\text{cm}^3$ hat.
Den Oberflächeninhalt eines Quaders findest du am Netz: Es besteht aus sechs Rechtecken, je zwei gleich großen (Boden und Deckel, Vorder- und Rückseite, linke und rechte Seite).
Im Naturwissenschaftsraum gibt es ein quaderförmiges Aquarium mit den Innenmaßen $60\text{ cm}$ Länge, $30\text{ cm}$ Breite und $40\text{ cm}$ Höhe. a) Schätze schnell,…
Im Naturwissenschaftsraum gibt es ein quaderförmiges Aquarium mit den Innenmaßen $60\text{ cm}$ Länge, $30\text{ cm}$ Breite und $40\text{ cm}$ Höhe.
a) Schätze schnell, bevor du genau rechnest: Wenn du bedenkst, dass $1\text{ dm}^3 = 1\text{ Liter}$, glaubst du, dass man zum Füllen mehr als $100$ Wasserflaschen mit $1,5\text{ Liter}$ oder weniger als $100$ braucht? Schreibe deine begründete Vorhersage auf.
b) Rechne die drei Abmessungen im Kopf in Dezimeter um und berechne das genaue Volumen des Aquariums in Kubikdezimetern und sein Fassungsvermögen in Litern.
c) Berechne, wie viele Flaschen mit $1,5\text{ Liter}$ genau nötig sind, um es vollständig zu füllen, und vergleiche diesen Wert mit deiner anfänglichen Schätzung. War deine Intuition richtig?
Die Stufenleiter der Volumeneinheiten
Die Einheiten sind mm³, cm³, dm³, m³ (und für große Mengen dam³, hm³, km³). Bei Längen gilt von Stufe zu Stufe die Zahl $10$. Beim Volumen ist jede Einheit 1000-mal so groß wie die nächstkleinere.
Die Einheitentafel hilft: Jede Einheit bekommt drei Spalten.
| km³ | hm³ | dam³ | m³ | dm³ | cm³ | mm³ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 000 | 000 | 000 | 000 | 000 | 000 |
Rechne in die angegebenen Einheiten um: a) $3\ \text{m}^3$ in Kubikdezimeter. b) $4\,500\ \text{dm}^3$ in Kubikmeter. c) $0,75\ \text{dm}^3$ in Kubikzentimeter.
Rechne in die angegebenen Einheiten um:
a) $3\ \text{m}^3$ in Kubikdezimeter.
b) $4\,500\ \text{dm}^3$ in Kubikmeter.
c) $0,75\ \text{dm}^3$ in Kubikzentimeter.
Betrachte die Stufenleiter der Volumeneinheiten in der Abbildung. a) Mit welcher Zahl wird multipliziert, wenn man eine Stufe nach unten geht? Und durch welche wird…
Betrachte die Stufenleiter der Volumeneinheiten in der Abbildung.
a) Mit welcher Zahl wird multipliziert, wenn man eine Stufe nach unten geht? Und durch welche wird geteilt, wenn man eine Stufe nach oben geht?
b) Gib mithilfe der Stufenleiter $2,4\ \text{m}^3$ in Kubikdezimetern und in Kubikzentimetern an.
Beim Umrechnen von $2,5\ \text{m}^3$ in Kubikzentimeter schreibt Mihai in sein Heft: $2,5\ \text{m}^3 = 2,5 \cdot 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3$. a) Erkläre den Fehler,…
Beim Umrechnen von $2,5\ \text{m}^3$ in Kubikzentimeter schreibt Mihai in sein Heft: $2,5\ \text{m}^3 = 2,5 \cdot 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3$.
a) Erkläre den Fehler, den er gemacht hat.
b) Führe die Umrechnung richtig durch.
c) Wie viele Liter sind $2,5\ \text{m}^3$?
Passende Einheit wählen und schätzen
Welche Einheit sinnvoll ist, hängt von der Größe ab. Merke dir Beispiele:
-
Zuckerwürfel: etwa $1\,\text{cm}^3$
-
Getränkedose: etwa $330\,\text{cm}^3$
-
Rucksack: etwa $20\,\text{dm}^3$
-
Zimmer: etwa $40\,\text{m}^3$
-
Talsperre: Millionen $\text{m}^3$ (oder $\text{hm}^3$)
In welcher Einheit würdest du das Volumen jedes dieser Gegenstände angeben? Wähle zwischen $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$ und $\text{hm}^3$ und begründe…
In welcher Einheit würdest du das Volumen jedes dieser Gegenstände angeben? Wähle zwischen $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$ und $\text{hm}^3$ und begründe deine Wahl:
a) Ein Zuckerwürfel.
b) Ein Rucksack.
c) Das Wasser einer Talsperre.
d) Ein Hallenbad.
Von den drei vorgeschlagenen Werten für jedes Volumen ist nur einer sinnvoll. Wähle ihn aus und begründe deine Antwort: a) Eine Limonadendose: $3,3\ \text{cm}^3$,…
Von den drei vorgeschlagenen Werten für jedes Volumen ist nur einer sinnvoll. Wähle ihn aus und begründe deine Antwort:
a) Eine Limonadendose: $3,3\ \text{cm}^3$, $330\ \text{cm}^3$ oder $3,3\ \text{dm}^3$.
b) Eine Waschmaschine: $55\ \text{dm}^3$, $250\ \text{dm}^3$ oder $2,5\ \text{m}^3$.
c) Ein Glas Wasser: $25$ ml, $250$ ml oder $2,5$ l.
Mehrnamige Angaben
Ein Volumen kann in mehreren Einheiten zugleich angegeben werden, z. B. $3\,\text{m}^3\ 450\,\text{dm}^3$. Das ist die mehrnamige Angabe. Jeder Teil liegt dabei zwischen $0$ und $999$. In der Kommaschreibweise nutzt man nur eine Einheit: $3{,}450\,\text{m}^3$.
Gib in Kubikdezimetern an: $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3\ 25\ \text{cm}^3$.
Gib in Kubikdezimetern an: $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3\ 25\ \text{cm}^3$.
Gib in mehrnamiger Schreibweise an: $12\,345\,678\ \text{mm}^3$.
Gib in mehrnamiger Schreibweise an: $12\,345\,678\ \text{mm}^3$.
Gib in Kubikmetern an und berechne: $2\ \text{dam}^3\ 15\ \text{m}^3 + 840\ \text{m}^3\ 250\ \text{dm}^3$. Gib das Ergebnis auch in Hektolitern an.
Gib in Kubikmetern an und berechne: $2\ \text{dam}^3\ 15\ \text{m}^3 + 840\ \text{m}^3\ 250\ \text{dm}^3$. Gib das Ergebnis auch in Hektolitern an.
Volumen, Hohlmaß und Masse
Das Fassungsvermögen von Gefäßen gibt man in Litern an. Es gilt:
Beim Wasser gilt zusätzlich: $1\,\text{dm}^3$ Wasser hat die Masse $1\,\text{kg}$ (also $1\,\text{l} \approx 1\,\text{kg}$, $1\,\text{cm}^3 \approx 1\,\text{g}$).
Taucht man einen Körper vollständig in Wasser, verdrängt er so viel Wasser, wie sein eigenes Volumen beträgt. Damit misst man das Volumen unregelmäßiger Körper (Archimedes).
Ergänze in deinem Heft: a) $75\ \text{l} =$ $\text{dm}^3$ b) $2\,500\ \text{cm}^3 =$ Liter c) $0,5\ \text{m}^3 =$ Liter
Ergänze in deinem Heft:
a) $75\ \text{l} =$ ____ $\text{dm}^3$
b) $2\,500\ \text{cm}^3 =$ ____ Liter
c) $0,5\ \text{m}^3 =$ ____ Liter
Ein Wasserbehälter hat ein Volumen von $2,5\ \text{m}^3$. Wie viele Liter Wasser passen hinein? Wie viele Kanister mit $5$ Litern könnten gefüllt werden?
Ein Wasserbehälter hat ein Volumen von $2,5\ \text{m}^3$. Wie viele Liter Wasser passen hinein? Wie viele Kanister mit $5$ Litern könnten gefüllt werden?
Ein Aufstellpool ist $3\ \text{m}$ lang, $2\ \text{m}$ breit und $0,75\ \text{m}$ tief. a) Wie viele Liter Wasser passen in den Pool? b) Wenn er mit einem Schlauch…
Ein Aufstellpool ist $3\ \text{m}$ lang, $2\ \text{m}$ breit und $0,75\ \text{m}$ tief.
a) Wie viele Liter Wasser passen in den Pool?
b) Wenn er mit einem Schlauch gefüllt wird, der $15$ Liter pro Minute abgibt, wie viele Stunden dauert es, bis er voll ist?
Verdrängung und Wasserstand im Glas
In einem zylinderförmigen Glas steigt das Wasser, wenn man einen Körper eintaucht. Das Volumen des Körpers ist das Volumen der Wasserschicht, die dazugekommen ist. Die Schicht ist ein Zylinder mit der Höhe $h$ des Anstiegs. Seine Grundfläche ist ein Kreis mit dem Radius $r$.
Um das Volumen eines Steins zu messen, tauchen wir ihn wie in der Abbildung gezeigt in ein zylinderförmiges Glas mit Wasser. Der Innendurchmesser des Glases beträgt $8$…
Um das Volumen eines Steins zu messen, tauchen wir ihn wie in der Abbildung gezeigt in ein zylinderförmiges Glas mit Wasser. Der Innendurchmesser des Glases beträgt $8$ cm und der Wasserstand steigt von $5$ cm auf $8$ cm.
a) Wie stark ist der Wasserstand gestiegen?
b) Berechne das Volumen des Steins in Kubikzentimetern (setze $\pi \approx 3,14$).
Anwendungen und Sachaufgaben
Typische Schritte: Maße in eine Einheit bringen, Volumen berechnen, ggf. in Liter umrechnen, dann Teilfragen beantworten (Zeit, Anzahl Flaschen, Masse).
Bei einem Unwetter sind $45$ Liter pro Quadratmeter gefallen. a) Wie vielen Millimetern Wasserhöhe entspricht dieser Regen? b) Wie viele Liter sind auf einen Garten von…
Bei einem Unwetter sind $45$ Liter pro Quadratmeter gefallen.
a) Wie vielen Millimetern Wasserhöhe entspricht dieser Regen?
b) Wie viele Liter sind auf einen Garten von $60\ \text{m}^2$ gefallen?
c) Wie viele Kubikmeter sind das?
Ein Behälter enthält $1,2\ \text{m}^3$ Wasser. Wie viele Flaschen mit $750$ ml können damit gefüllt werden?
Ein Behälter enthält $1,2\ \text{m}^3$ Wasser. Wie viele Flaschen mit $750$ ml können damit gefüllt werden?
Ein Betonblock von $1,5\ \text{m} \times 0,8\ \text{m} \times 0,4\ \text{m}$ hat eine Dichte von $2\,400\ \text{kg/m}^3$. a) Berechne sein Volumen und seine Masse. b)…
Ein Betonblock von $1,5\ \text{m} \times 0,8\ \text{m} \times 0,4\ \text{m}$ hat eine Dichte von $2\,400\ \text{kg/m}^3$.
a) Berechne sein Volumen und seine Masse.
b) Ein Kran kann bis zu $1,5$ Tonnen heben. Kann er den Block bewegen?
c) Könnte er zwei Blöcke gleichzeitig bewegen? Begründe deine Antwort.
Der Legende nach fand Archimedes heraus, wie man prüft, ob die Krone des Königs aus reinem Gold war, indem er das verdrängte Wasser beim Eintauchen maß. In der Abbildung…
Der Legende nach fand Archimedes heraus, wie man prüft, ob die Krone des Königs aus reinem Gold war, indem er das verdrängte Wasser beim Eintauchen maß. In der Abbildung wird eine Krone von $750$ g in einen Messzylinder mit Wasser getaucht.
a) Wie groß ist das Volumen der Krone?
b) Berechne ihre Dichte in $\text{g/cm}^3$.
c) Die Dichte von Gold ist $19,3\ \text{g/cm}^3$ und die von Silber $10,5\ \text{g/cm}^3$. Könnte die Krone aus massivem Gold sein? Begründe deine Antwort.
Große Volumen und Zehnerpotenzen
Bei sehr großen Volumen rechnet man erst in eine kleinere Einheit um. Sehr große Zahlen schreibt man in wissenschaftlicher Schreibweise: eine Zahl zwischen $1$ und $10$ mal eine Zehnerpotenz, z. B. $2{,}5 \cdot 10^9$. Es gilt $1\,\text{hm}^3 = 1\,000\,000\,\text{m}^3 = 10^6\,\text{m}^3 = 10^9\,\text{l}$ und $1\,\text{km}^3 = 10^9\,\text{m}^3$.
Ein Stausee hat ein Fassungsvermögen von $0,45\ \text{km}^3$. Nach einem Dürrejahr ist er zu $62\%$ seiner Kapazität gefüllt. a) Wie viele Kubikhektometer Wasser enthält…
Ein Stausee hat ein Fassungsvermögen von $0,45\ \text{km}^3$. Nach einem Dürrejahr ist er zu $62\%$ seiner Kapazität gefüllt.
a) Wie viele Kubikhektometer Wasser enthält er?
b) Wie viele Liter sind das? Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.
c) Wie viele Kubikhektometer fehlen, um ihn ganz zu füllen?
Zurück zum Anfang: „Zwei“ sagt nichts ohne Einheit. $2\,\text{l}$ und $2\,\text{m}^3 = 2000\,\text{l}$ unterscheiden sich um den Faktor $1000$.