Vom Bruchteil zum Ganzen
Auf der Wanderung im Sauerland haben Lena und ihre Eltern schon $\frac{5}{12}$ des Weges geschafft, das sind $7{,}5\,\text{km}$. Wie lang ist der ganze Weg? Bisher hast du meistens den Bruchteil eines Ganzen berechnet. Hier drehen wir die Frage um: Der Bruchteil ist bekannt, das Ganze ist gesucht.
Vom Stammbruch zum Ganzen
Ein Stammbruch hat den Zähler 1, zum Beispiel $\frac{1}{4}$. Das Ganze ist in 4 gleich große Teile geteilt, und du kennst einen davon. Dann sind alle 4 Teile zusammen das Ganze.
Warum? Das Ganze besteht aus $n$ gleich großen Teilen, und jeder Teil hat denselben Wert.
Bestimme das Ganze: a) $\frac{1}{4}$ sind $15$ b) $\frac{1}{5}$ sind $8\,\text{kg}$ c) $\frac{1}{10}$ sind $30\,€$
Bestimme das Ganze:
- a) $\frac{1}{4}$ sind $15$
- b) $\frac{1}{5}$ sind $8\,\text{kg}$
- c) $\frac{1}{10}$ sind $30\,€$
Das Ganze aus mehreren Teilen
Meistens ist der Zähler nicht 1. Zum Beispiel: $\frac{3}{4}$ einer Zahl sind $18$. Gehe in zwei Schritten vor:
-
Finde den Wert eines Teils: teile durch den Zähler.
-
Finde das Ganze: multipliziere mit dem Nenner.
Bestimme das Ganze: a) $\frac{3}{4}$ sind $18$ b) $\frac{2}{5}$ sind $14\,\text{m}$ c) $\frac{5}{8}$ sind $40\,€$
Bestimme das Ganze:
- a) $\frac{3}{4}$ sind $18$
- b) $\frac{2}{5}$ sind $14\,\text{m}$
- c) $\frac{5}{8}$ sind $40\,€$
$\frac{2}{3}$ einer Klasse sind $16$ Kinder. Wie viele Kinder hat die Klasse?
$\frac{2}{3}$ einer Klasse sind $16$ Kinder. Wie viele Kinder hat die Klasse?
Sachaufgaben: Ganzes und Rest
In Sachaufgaben wird oft auch nach dem Rest gefragt. Der Rest ist der Bruchteil, der zum Ganzen fehlt: Von $\frac{3}{5}$ bleiben $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ übrig. Du kannst den Rest als Bruchteil oder über das Ganze berechnen.
Zurück zum Anfang: Der ganze Weg ist $18\,\text{km}$ lang.
Frau Becker aus Aachen hat $\frac{3}{5}$ ihres Monatsgehalts für Miete und Lebensmittel ausgegeben, das sind $1.440\,€$. a) Wie hoch ist ihr Monatsgehalt? b) Wie viel…
Frau Becker aus Aachen hat $\frac{3}{5}$ ihres Monatsgehalts für Miete und Lebensmittel ausgegeben, das sind $1.440\,€$.
- a) Wie hoch ist ihr Monatsgehalt?
- b) Wie viel Geld bleibt ihr übrig?
Auf einer Wanderung im Sauerland ist Familie Schulz $\frac{5}{12}$ der Strecke gelaufen, das sind $7{,}5\,\text{km}$. a) Wie lang ist die gesamte Strecke? b) Wie viele…
Auf einer Wanderung im Sauerland ist Familie Schulz $\frac{5}{12}$ der Strecke gelaufen, das sind $7{,}5\,\text{km}$.
- a) Wie lang ist die gesamte Strecke?
- b) Wie viele Kilometer sind noch zu gehen?
In einem Schulbus sitzen $\frac{3}{8}$ der Fahrgäste auf Einzelplätzen, das sind $21$ Personen. $\frac{1}{4}$ aller Fahrgäste stehen. a) Wie viele Fahrgäste sind im Bus?…
In einem Schulbus sitzen $\frac{3}{8}$ der Fahrgäste auf Einzelplätzen, das sind $21$ Personen. $\frac{1}{4}$ aller Fahrgäste stehen.
- a) Wie viele Fahrgäste sind im Bus?
- b) Wie viele stehen?
- c) Welcher Bruchteil sitzt auf anderen Plätzen?
Mehrstufige Aufgaben
Manchmal wird ein Bruchteil vom Rest genommen. Dann ist die Ausgangsgröße nicht mehr das Ganze, sondern der Rest. Rechne zuerst alles auf das ursprüngliche Ganze um.
Ein Vorrat an Heizöl wird in drei Wochen verbraucht: in der ersten Woche $\frac{1}{4}$, in der zweiten $\frac{2}{5}$ des Vorrats. In der dritten Woche bleiben noch $210$…
Ein Vorrat an Heizöl wird in drei Wochen verbraucht: in der ersten Woche $\frac{1}{4}$, in der zweiten $\frac{2}{5}$ des Vorrats. In der dritten Woche bleiben noch $210$ Liter.
- a) Welcher Bruchteil bleibt für die dritte Woche?
- b) Wie groß war der Vorrat?
- c) Wie viel Liter wurden in der zweiten Woche verbraucht?
Bei einem Fahrradladen in Münster wird ein Rad um $\frac{1}{5}$ des ursprünglichen Preises reduziert und kostet nun $360\,€$. a) Welcher Bruchteil des ursprünglichen…
Bei einem Fahrradladen in Münster wird ein Rad um $\frac{1}{5}$ des ursprünglichen Preises reduziert und kostet nun $360\,€$.
- a) Welcher Bruchteil des ursprünglichen Preises ist zu zahlen?
- b) Wie teuer war das Rad ursprünglich?
- c) Tom sagt: „Der Preis wurde um $72\,€$ gesenkt.“ Prüfe das.
Von einem Geldbetrag gibt Jana zuerst $\frac{1}{3}$ für ein Buch aus. Von dem Rest gibt sie $\frac{3}{4}$ für Kinokarten aus. Danach hat sie noch $10\,€$. a) Welcher…
Von einem Geldbetrag gibt Jana zuerst $\frac{1}{3}$ für ein Buch aus. Von dem Rest gibt sie $\frac{3}{4}$ für Kinokarten aus. Danach hat sie noch $10\,€$.
- a) Welcher Bruchteil des ursprünglichen Betrags ist am Ende übrig?
- b) Wie viel Geld hatte Jana am Anfang?
- c) Wie viel kosteten das Buch und die Kinokarten jeweils?