Dezimalzahlen – Begriff

In einem Sportgeschäft sind die Preise von drei Artikeln in Worten geschrieben. Schreibe in dein Heft die Dezimalzahl, die zu jedem Preis gehört, mit Ziffern:

1. a) Eine Schwimmbrille, die acht Euro fünfzehn Cent kostet.
2. b) Ein Tennisball, der zwei Euro acht Cent kostet.
3. c) Eine Laufhose, die zwölf Euro fünfzig Cent kostet.

Gib an, welchen Stellenwert (Einer, Zehntel, Hundertstel oder Tausendstel) die Ziffer $7$ in jeder der folgenden Zahlen hat:

1. a) $15,72$
2. b) $0,007$
3. c) $7,431$
4. d) $2,075$

Zerlege die folgenden Dezimalzahlen nach ihren Stellenwerten, wie im Beispiel:

Beispiel: $4,25 = 4$ Einer + $2$ Zehntel + $5$ Hundertstel.

1. a) $8,39$
2. b) $12,045$
3. c) $0,614$

Ergänze diese Umrechnungen zwischen Stellenwerten:

1. a) $4$ Einer = ____ Zehntel.
2. b) $70$ Hundertstel = ____ Zehntel.
3. c) $5$ Zehntel = ____ Tausendstel.
4. d) $300$ Tausendstel = ____ Hundertstel.

In einem Naturwissenschaftslabor hat eine Schülergruppe die Masse einer Mineralprobe mit einer Feinwaage gemessen. Das Ergebnis beträgt $42,308$ Gramm.

Gib an, welchen Wert jede Ziffer in dieser Zahl hat:

• Die Ziffer $4$ steht für die ............................

• Die Ziffer $2$ steht für die ............................

• Die Ziffer $3$ steht für die ............................

• Die Ziffer $0$ steht für die ............................

• Die Ziffer $8$ steht für die ............................

Schreibe außerdem die Zerlegung der Zahl in Stellenwerte mit Einern und Dezimalbrüchen auf.

Eine Dezimalzahl besteht aus $4$ Einern, $15$ Zehnteln, $27$ Hundertsteln und $105$ Tausendsteln. Führe die nötigen Bündelungen durch (zum Beispiel ergeben $10$ Tausendstel $1$ Hundertstel, $10$ Hundertstel ergeben $1$ Zehntel und $10$ Zehntel ergeben $1$ Einer), um die Zahl richtig in der üblichen Dezimalschreibweise aufzuschreiben, und gib danach an, wie viele Tausendstel diese Zahl insgesamt enthält.

Finde heraus, um welche Zahl es sich handelt, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. Ihr ganzzahliger Teil ist die kleinste gerade Primzahl.

2. Sie hat vier Nachkommastellen.

3. Die Ziffer der Tausendstel ist dreimal so groß wie die der Zehntel.

4. Die Summe aller ihrer Ziffern ist $15$.

5. Die Ziffer der Zehntausendstel ist halb so groß wie die der Hundertstel.

Betrachte den folgenden Zahlenstrahl und schreibe auf, welche Dezimalzahl zu jedem der orange markierten Punkte gehört:

Übertrage in dein Heft und verwende die Zeichen $<$ oder $>$, um diese Paare von Dezimalzahlen zu vergleichen:

1. a) $5,4$ ____ $5,39$
2. b) $0,25$ ____ $0,3$
3. c) $12,07$ ____ $12,071$
4. d) $6,1$ ____ $6,099$

Lea ordnet Messwerte für ein Praktikum im Schullabor und behauptet überzeugt: „Die Zahl $3,125$ ist größer als $3,8$, weil $125$ viel größer ist als $8$.“

1. a) Erkläre, welchen Denkfehler Lea in Bezug auf den Stellenwert der Nachkommastellen macht.
2. b) Zeige, wie man beide Zahlen richtig vergleicht, indem man die Anzahl der Nachkommastellen mit Nullen angleicht.
3. c) Schreibe die richtige Ordnungsbeziehung zwischen beiden Zahlen mit dem passenden Zeichen ($<$ oder $>$) auf.

Bei einem Wettkampf der Deutschen Jugendmeisterschaften U14 in der Leichtathletik hat die digitale Zeitmessung im Finale über $80\text{ m}$ die Zeiten von drei Läufern erfasst: Dario brauchte $10,18\text{ s}$, Lukas erreichte $10,2\text{ s}$ und Mattis stoppte die Uhr bei $10,105\text{ s}$.

1. a) Schreibe die drei Zeiten mit gleicher Genauigkeit (in Tausendstelsekunden), indem du die nötigen Nullen ergänzt, sodass sie gleich viele Nachkommastellen haben.
2. b) Ordne die Läufer von der kürzesten zur längsten Zeit (vom schnellsten zum langsamsten), um die Podestplätze zu bestimmen.
3. c) Wie viele Hundertstelsekunden lagen zwischen dem Sieger und dem Zweitplatzierten? Begründe deine Antwort mit dem Stellenwert jeder Ziffer.

Bei den Schulolympiade-Wettkämpfen waren die Zeiten im Finale über $100$ Meter sehr knapp. Die Kampfrichter haben die folgenden Ergebnisse in Sekunden notiert:

$12,45$ — $12,408$ — $12,5$ — $12,099$ — $12,41$

Ordne die Läufer vom schnellsten (kürzeste Zeit) zum langsamsten (längste Zeit) mit dem Zeichen $<$ und schreibe auf, wie man die Dezimalzahl liest, die zum Gewinner der Goldmedaille gehört.

Sieh dir den folgenden Zahlenstrahl an, auf dem mehrere Punkte dargestellt sind. Bestimme, welche genaue Dezimalzahl zu jedem der markierten Buchstaben ($A$, $B$ und $C$) gehört.

Eine der interessantesten Eigenschaften der Dezimalzahlen ist, dass wir zwischen zwei gegebenen Zahlen immer eine weitere finden können, egal wie nah sie beieinanderliegen.

Stelle das Intervall zwischen $0,56$ und $0,57$ auf einem Zahlenstrahl grafisch dar und trage darauf drei Dezimalzahlen ein, die zwischen beiden liegen.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Stelle auf einem Zahlenstrahl das Intervall zwischen $5,67$ und $5,68$ dar. Teile dieses Intervall in zehn gleiche Teile (jeder Teil misst $0,001$) und markiere die genaue Lage der Zahlen $5,674$ und $5,679$.

1. a) Zeichne den Zahlenstrahl mit dem in zehn gleiche Teile geteilten Intervall und schreibe die zugehörigen Zahlen unter die Markierungen.

1. b) Markiere auf deinem Zahlenstrahl die Zahlen $5,674$ und $5,679$.

1. c) Finde eine Dezimalzahl, die genau fünf Nachkommastellen hat (die letzte Ziffer ist ungleich $0$) und zwischen $5,674$ und $5,679$ liegt.

Ordne jeder Dezimalzahl den passenden Dezimalbruch zu:

• Zahlen: $0,7$ | $0,07$ | $7,7$ | $0,77$

• Brüche: $\frac{77}{100}$ | $\frac{7}{10}$ | $\frac{7}{100}$ | $\frac{77}{10}$

Wenn wir ein Quadrat in $100$ gleich große Teile teilen, ist jeder Teil ein Hundertstel ($0,01$). Betrachte das folgende Bild und schreibe auf, welche Dezimalzahl der orange gefärbte Bereich darstellt:

Lea packt ihren Rucksack für einen Ausflug. Sie hat eine Wasserflasche für $1,25$ €, eine Tüte Nüsse für $3,050$ € und eine Mütze für $9,9$ € gekauft.

1. a) Schreibe alle Preise so auf, dass sie dieselbe Anzahl an Nachkommastellen haben (ergänze bei Bedarf Nullen).
2. b) Wandle den Preis der Mütze in einen vollständig gekürzten Bruch um.
3. c) Wie viele Cent kostet die Tüte Nüsse?

Finde eine Dezimalzahl $x$, die genau gleich weit von $3,14$ und $3,15$ entfernt ist. Gib sie sowohl in Dezimalschreibweise als auch als vollständig gekürzten Bruch an. Um welche Art von Dezimalzahl handelt es sich bei dem Ergebnis?

Ordne die folgenden Dezimalzahlen ein und gib an, ob sie abbrechende Dezimalzahlen, rein-periodische oder gemischtperiodische Dezimalzahlen sind. Kennzeichne bei den periodischen deutlich die Periode und, falls vorhanden, die Vorperiode:

1. a) $5,08$
2. b) $2,333...$
3. c) $14,252525...$
4. d) $0,1666...$
5. e) $3,141592...$ (Ist diese letzte Zahl eine periodische Dezimalzahl?)

Manchmal helfen uns Brüche, die Art einer Dezimalzahl besser zu verstehen. Ordne die Dezimaldarstellung der folgenden Brüche ohne schriftliche Division als abbrechend oder periodisch ein:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{4}{9}$
3. c) $\frac{13}{6}$
4. d) $\frac{1}{25}$

Um herauszufinden, ob der Bruch $\frac{18}{150}$ eine endliche, eine reinperiodische oder eine gemischtperiodische Dezimalzahl ergibt, schlagen zwei Schüler unterschiedliche Wege vor:

• Verfahren A (Markus): Er führt die Division $18 : 150$ direkt schriftlich durch, bis er sieht, ob der Rest null ist oder ob sich die Ziffern zu wiederholen beginnen.

• Verfahren B (Sarah): Sie kürzt zuerst den Bruch vollständig und zerlegt danach den neuen Nenner in Primfaktoren, um die Regel mit den Faktoren 2 und 5 anzuwenden.

1. a) Wende beide Verfahren Schritt für Schritt an und bestimme die Art der entstehenden Dezimalzahl.
2. b) Du sollst stattdessen $\frac{21}{8.750}$ einordnen. Welches der beiden Verfahren würdest du wählen und warum? Begründe deine Entscheidung, indem du den Zusammenhang zwischen den Primfaktoren des Nenners und den Potenzen von $10$ erklärst.

Untersuche den Dezimalwert des Bruchs $\frac{13}{32}$, indem du Schätzen und theoretische Überlegungen verbindest:

1. a) Schätze: Begründe ohne die Division, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden Zehnteln ($0,1$; $0,2$; $0,3$; $0,4$; $0,5$ ...) diese Zahl liegen muss. Vergleiche sie dazu mit einfacheren Vergleichsbrüchen mit demselben Nenner, etwa $\frac{8}{32}$ und $\frac{16}{32}$.
2. b) Überprüfe: Führe die Division bis zu den ersten drei Nachkommastellen durch und überprüfe, ob deine Schätzung richtig war.
3. c) Begründe: Begründe anhand der Primfaktorzerlegung des Nenners von $\frac{13}{32}$, ob die vollständige Dezimaldarstellung endlich viele Stellen (abbrechend) oder unendlich viele periodische Stellen hat. Falls sie abbricht, bestimme, wie viele Nachkommastellen sie insgesamt hat, ohne weiter zu dividieren.

Ordne die folgenden Brüche nach der Art der Dezimaldarstellung, die sie ergeben (abbrechend, rein-periodisch oder gemischtperiodisch), ohne die Division auszuführen, nur anhand der Primfaktorzerlegung ihrer Nenner:

1. a) $\frac{7}{40}$
2. b) $\frac{5}{18}$
3. c) $\frac{11}{21}$
4. d) $\frac{9}{250}$

Ordne die folgenden Dezimalzahlen, gemischt mit Brüchen, der Größe nach, beginnend mit der kleinsten. Wandle zum Vergleichen alle Zahlen in ihre Dezimaldarstellung mit mindestens vier Nachkommastellen um:

$1,2\widehat{5}$ ; $\frac{5}{4}$ ; $1,2525...$ ; $1,25$ ; $\frac{11}{9}$

Du hast die umgekehrte Aufgabe, zwei verschiedene vollständig gekürzte Brüche $\frac{A}{B}$ und $\frac{C}{D}$ zu konstruieren, die gleichzeitig diese drei Bedingungen erfüllen:

1. Der Dezimalwert beider Brüche muss echt zwischen $0,65$ und $0,75$ liegen.

2. Die Nenner $B$ und $D$ müssen zweistellige ganze Zahlen kleiner als $30$ sein.

3. Der Bruch $\frac{A}{B}$ muss eine abbrechende Dezimalzahl sein, der Bruch $\frac{C}{D}$ dagegen eine gemischtperiodische Dezimalzahl.

1. a) Bestimme, welche Primfaktoren die Nenner $B$ und $D$ enthalten dürfen (und welche nicht), damit im jeweiligen Fall die geforderte Art von Dezimalzahl entsteht.
2. b) Finde ein Paar von Brüchen $\frac{A}{B}$ und $\frac{C}{D}$, das alle Bedingungen erfüllt.
3. c) Überprüfe deine Antwort, indem du die Dezimaldarstellung beider Brüche bestimmst und beim gemischtperiodischen Bruch Vorperiode und Periode angibst.

In einer Diskussion über Dezimalzahlen vertritt Hugo die folgende Regel: „Um zu wissen, ob ein vollständig gekürzter Bruch eine abbrechende Dezimalzahl ergibt, muss man nur die letzte Ziffer des Nenners ansehen: Endet sie auf $5$ oder auf $0$, ist sie immer abbrechend, weil Zahlen, die auf $5$ oder auf $0$ enden, durch $5$ oder durch $10$ teilbar sind. Endet sie dagegen auf irgendeine andere Ziffer, kann sie nie abbrechend sein.“

1. a) Zeige, dass Hugos Behauptung falsch ist, indem du Folgendes findest:

• Ein Gegenbeispiel für einen vollständig gekürzten Bruch, dessen Nenner auf $5$ endet und der NICHT abbrechend ist.

• Ein Gegenbeispiel für einen vollständig gekürzten Bruch, dessen Nenner auf $0$ endet und der NICHT abbrechend ist.

• Ein Gegenbeispiel für einen vollständig gekürzten Bruch, dessen Nenner weder auf $5$ noch auf $0$ endet und der abbrechend IST.

1. b) Gib an, welche Art von Dezimalzahl jedes deiner drei Gegenbeispiele ergibt.
2. c) Erkläre Hugos Denkfehler: Warum genügt es nicht, die letzte Ziffer anzusehen, und welcher Zusammenhang besteht zwischen den Primfaktoren des gekürzten Nenners und der Möglichkeit, den Bruch zu einer Zehnerpotenz ($10$, $10$, $100$, $1.000$ ...) zu erweitern?

Schreibe die Bruchdarstellung als vollständig gekürzten Bruch für die folgenden periodischen Dezimalzahlen auf und zeige den Rechenweg Schritt für Schritt:

1. a) $2,1\widehat{36}$
2. b) $0,00\widehat{5}$

Ein Nanometer ($nm$) entspricht $0,000000001$ Metern. Wenn die Dicke eines menschlichen Haares etwa $0,08$ Millimeter beträgt, gib diese Dicke in Metern mithilfe von Zehnerpotenzen $10$ an und bestimme, wie viele Nanometer das Haar misst.