Volumen und Oberflächeninhalt von Quader und Würfel
Das Aquarium im Klassenraum soll gefüllt werden. Wie viele Liter Wasser passen hinein? Und wie viel Folie brauchst du, um alle Außenflächen eines Geschenkkartons zu bekleben? Das erste ist eine Frage nach dem Volumen, das zweite nach dem Oberflächeninhalt. Am Ende der Seite beantwortest du beide Fragen für ein Aquarium: erst das Volumen, dann die Glasfläche.
Das Volumen des Quaders
Das Volumen sagt, wie viel Raum ein Körper ausfüllt. Du misst es mit Einheitswürfeln: Ein Würfel mit der Kantenlänge $1\,\text{cm}$ hat das Volumen $1\,\text{cm}^3$.
Ein Quader ist $5\,\text{cm}$ lang, $3\,\text{cm}$ breit und $4\,\text{cm}$ hoch. In die Grundfläche passen $5 \cdot 3 = 15$ Einheitswürfel. Das ist eine Schicht. Es gibt $4$ Schichten übereinander, also $15 \cdot 4 = 60$ Würfel.
Die Formel gilt, weil Grundfläche mal Höhe die Zahl der Einheitswürfel liefert. Alle Kanten müssen in derselben Einheit angegeben sein. Das Ergebnis hat dann die Einheit $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$ oder $\text{m}^3$.
Berechne das Volumen des Quaders: a) $a = 5\,\text{cm}$, $b = 3\,\text{cm}$, $c = 4\,\text{cm}$ b) $a = 10\,\text{m}$, $b = 2\,\text{m}$, $c = 6\,\text{m}$ c)…
Berechne das Volumen des Quaders:
- a) $a = 5\,\text{cm}$, $b = 3\,\text{cm}$, $c = 4\,\text{cm}$
- b) $a = 10\,\text{m}$, $b = 2\,\text{m}$, $c = 6\,\text{m}$
- c) $a = 2{,}5\,\text{dm}$, $b = 4\,\text{dm}$, $c = 2\,\text{dm}$
Ein Quader hat das Volumen $120\,\text{cm}^3$. Die Grundfläche ist $5\,\text{cm}$ lang und $4\,\text{cm}$ breit. a) Berechne die Höhe. b) Berechne den Oberflächeninhalt.…
Ein Quader hat das Volumen $120\,\text{cm}^3$. Die Grundfläche ist $5\,\text{cm}$ lang und $4\,\text{cm}$ breit.
- a) Berechne die Höhe.
- b) Berechne den Oberflächeninhalt.
- c) Zeichne ein Netz des Quaders im Maßstab $1:1$ oder beschreibe es mit allen Seitenlängen der sechs Rechtecke.
Das Schrägbild
Einen Quader zeichnest du als Schrägbild: Die Vorderfläche zeichnest du in wahrer Größe als Rechteck. Die Kanten, die nach hinten gehen (Tiefenrichtung), zeichnest du unter $45^\circ$ schräg und auf die Hälfte verkürzt.
Volumen, Hohlmaß und Umrechnen
Raummaße werden in Schritten von $1000$ umgerechnet, denn $1\,\text{dm}^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10\,\text{cm}^3 = 1000\,\text{cm}^3$.
| Einheit | Umrechnung |
|---|---|
| $1\,\text{m}^3$ | $= 1000\,\text{dm}^3$ |
| $1\,\text{dm}^3$ | $= 1000\,\text{cm}^3$ |
| $1\,\text{cm}^3$ | $= 1000\,\text{mm}^3$ |
Für Flüssigkeiten gilt: $1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3$ und $1\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3$. Außerdem ist $1\,\text{l} = 1000\,\text{ml}$.
Tipp: Rechnest du gleich in dm, bekommst du sofort Liter: $8 \cdot 3 \cdot 4 = 96$.
Zurück zur Eingangsfrage: Ein Aquarium von $80 \times 30 \times 40\,\text{cm}$ fasst also $96$ Liter. Die Frage nach der Fläche beantwortest du im nächsten Abschnitt.
Ein Aquarium in einer Schule in Düsseldorf ist $80\,\text{cm}$ lang, $40\,\text{cm}$ breit und $50\,\text{cm}$ hoch. a) Berechne das Volumen in $\text{cm}^3$ und in…
Ein Aquarium in einer Schule in Düsseldorf ist $80\,\text{cm}$ lang, $40\,\text{cm}$ breit und $50\,\text{cm}$ hoch.
- a) Berechne das Volumen in $\text{cm}^3$ und in Litern ($1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3$).
- b) Das Aquarium wird nur bis $10\,\text{cm}$ unter den Rand gefüllt. Wie viele Liter Wasser sind das?
Eine Spedition in Duisburg packt Kartons mit den Maßen $40\,\text{cm} \times 30\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}$ in einen Laderaum von $2{,}4\,\text{m}$ Länge,…
Eine Spedition in Duisburg packt Kartons mit den Maßen $40\,\text{cm} \times 30\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}$ in einen Laderaum von $2{,}4\,\text{m}$ Länge, $2\,\text{m}$ Breite und $1{,}8\,\text{m}$ Höhe.
- a) Berechne das Volumen eines Kartons und das des Laderaums.
- b) Wie viele Kartons passen höchstens in den Laderaum, wenn alle gleich ausgerichtet gestapelt werden (Kanten parallel)? Begründe deine Rechnung.
- c) Wie viel Prozent des Laderaums sind dann gefüllt?
Netz und Oberflächeninhalt
Klappst du einen Quader auf, erhältst du sein Netz: sechs Rechtecke. Der Oberflächeninhalt $O$ ist die Summe ihrer Flächeninhalte. Er wird in $\text{cm}^2$, $\text{dm}^2$ oder $\text{m}^2$ angegeben.
Je zwei gegenüberliegende Rechtecke sind gleich groß. Es gibt drei Flächenarten:
Flächeneinheiten umrechnen
Flächeneinheiten rechnest du in Schritten von $100$ um, denn ein Quadrat mit $1\,\text{dm}$ Seitenlänge enthält $10 \cdot 10 = 100$ Quadrate mit $1\,\text{cm}$ Seitenlänge. Also: $1\,\text{m}^2 = 100\,\text{dm}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2$.
Berechne Volumen und Oberflächeninhalt eines Würfels mit der Kantenlänge: a) $3\,\text{cm}$ b) $6\,\text{dm}$
Berechne Volumen und Oberflächeninhalt eines Würfels mit der Kantenlänge:
- a) $3\,\text{cm}$
- b) $6\,\text{dm}$
Ein Quader hat die Kantenlängen $6\,\text{cm}$, $4\,\text{cm}$ und $2\,\text{cm}$. a) Wie viele Flächen hat er und wie groß ist jede der drei verschiedenen Flächenarten?…
Ein Quader hat die Kantenlängen $6\,\text{cm}$, $4\,\text{cm}$ und $2\,\text{cm}$.
- a) Wie viele Flächen hat er und wie groß ist jede der drei verschiedenen Flächenarten?
- b) Berechne den Oberflächeninhalt.
Ein Schwimmbecken in Bielefeld ist $25\,\text{m}$ lang, $10\,\text{m}$ breit und $2\,\text{m}$ tief. Die Wände und der Boden sollen gefliest werden. a) Berechne das…
Ein Schwimmbecken in Bielefeld ist $25\,\text{m}$ lang, $10\,\text{m}$ breit und $2\,\text{m}$ tief. Die Wände und der Boden sollen gefliest werden.
- a) Berechne das Volumen des Beckens in $\text{m}^3$.
- b) Berechne die zu fliesende Fläche (Boden und vier Wände, ohne Deckel).
- c) Eine Fliese misst $20\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}$. Wie viele Fliesen werden ungefähr benötigt?
Wenn sich die Kanten ändern
Oft ist das Volumen gegeben und eine Kante gesucht. Dann stellst du die Formel um: $V = a \cdot b \cdot c$, also $c = V : (a \cdot b)$. Ist die Grundfläche quadratisch, suchst du eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Grundfläche ergibt.
Was passiert, wenn du alle Kanten verdoppelst? Ein Würfel mit $a = 2\,\text{cm}$ hat $V = 8\,\text{cm}^3$ und $O = 24\,\text{cm}^2$. Mit $a = 4\,\text{cm}$ gilt $V = 64\,\text{cm}^3$ und $O = 96\,\text{cm}^2$.
Das Volumen wächst stärker, weil in ihm drei Längen stecken, in der Oberfläche nur zwei.
Nicht immer geht es glatt auf. Dann probierst du: Du suchst zwei ganze Zahlen, zwischen denen die Kante liegt, und verfeinerst mit einer Nachkommastelle.
Ein Würfel hat die Kantenlänge $4\,\text{cm}$. Die Kantenlänge wird verdoppelt. a) Berechne Volumen und Oberflächeninhalt vor und nach der Verdopplung. b) Um welchen…
Ein Würfel hat die Kantenlänge $4\,\text{cm}$. Die Kantenlänge wird verdoppelt.
- a) Berechne Volumen und Oberflächeninhalt vor und nach der Verdopplung.
- b) Um welchen Faktor wachsen Volumen und Oberflächeninhalt?
- c) Begründe, warum das Volumen stärker wächst als der Oberflächeninhalt.
Ein Quader hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $a$ und die Höhe $h = 11\,\text{cm}$. Sein Volumen beträgt $99\,\text{cm}^3$. a) Bestimme $a$. b)…
Ein Quader hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $a$ und die Höhe $h = 11\,\text{cm}$. Sein Volumen beträgt $99\,\text{cm}^3$.
- a) Bestimme $a$.
- b) Berechne den Oberflächeninhalt.
- c) Ein Würfel hat denselben Oberflächeninhalt wie der Quader aus b). Bestimme seine Kantenlänge und entscheide, ob sein Volumen größer oder kleiner als $99\,\text{cm}^3$ ist. Begründe.