Pläne und Maßstab

Eine Gruppe von Archäologen hat ein antikes Gefäß auf Papier gezeichnet. In der Zeichnung ist das Gefäß $15\text{ cm}$ hoch. Das echte Gefäß hat eine Höhe von $75\text{ cm}$. Welchen Maßstab haben die Archäologen verwendet?

Beim Modell eines berühmten Fernsehturms beträgt die Höhe des Nachbaus $85$ cm. Wenn die tatsächliche Höhe des Turms $255$ Meter beträgt, bestimme den vereinfachten Zahlenmaßstab, in dem das Modell gebaut wurde.

Auf einer Straßenkarte von Deutschland ist der Maßstab $1:250.000$ angegeben. Wenn du mit einem Lineal den Abstand zwischen zwei Orten misst und genau $8\text{ cm}$ abliest, wie viele Kilometer liegen diese beiden Orte in Wirklichkeit auseinander?

In einem Flyer einer Sporthalle wurde ein Basketballfeld im Maßstab $1:200$ gezeichnet. Das echte Feld ist $28\text{ Meter}$ lang. Wie viele Zentimeter lang ist das Feld in der Zeichnung auf dem Flyer?

Auf einer Wanderkarte des Harzes ist der Maßstab $1:25.000$ angegeben. Wenn der mit dem Lineal gemessene Abstand zwischen dem Torfhaus und dem Brocken auf dem Papier $12,4$ cm beträgt, wie viele Kilometer muss eine Wandergruppe in Wirklichkeit in gerader Linie von einem Punkt zum anderen zurücklegen?

Du hast beschlossen, die Einrichtung deines Zimmers zu ändern, und möchtest einen Plan im Maßstab $1:20$ zeichnen, um zu sehen, ob ein neuer Schreibtisch hineinpasst. Wenn dein Zimmer rechteckig ist und $4,2$ Meter lang und $3,4$ Meter breit ist, welche Abmessungen (Länge und Breite) hat das Rechteck in deiner Zeichnung, angegeben in Zentimetern?

Du möchtest dein neues Grafiktablett in deinem Heft zeichnen. Das Tablett ist in Wirklichkeit $30\text{ cm}$ lang. Wenn du dich für einen Verkleinerungsmaßstab von $1:3$ entscheidest, wie lang ist dann die Zeichnung in deinem Heft?

Ein Sammler von Modellautos hat ein Modell im Maßstab $1:24$. Das Modell ist $18\text{ cm}$ lang. Wie lang ist das echte Auto in Metern?

Ein Biologe fotografiert eine kleine Ameisenkönigin mit einem Vergrößerungsmaßstab von $5:1$. Auf dem Foto ist die Ameise $45\text{ mm}$ lang. Wie groß ist sie in Wirklichkeit in Millimetern?

Eine Straßenkarte hat einen Maßstabsbalken, bei dem eine Strecke von $2$ cm einer tatsächlichen Entfernung von $15$ km entspricht. Wenn der Abstand zwischen zwei Städten auf dieser Karte $9,4$ cm beträgt, wie groß ist die tatsächliche Entfernung zwischen beiden Städten in Kilometern?

Ein Biologe beobachtet eine Ameise durch ein Mikroskop. In seiner technischen Zeichnung hat die Ameise eine Länge von $12$ cm. Wenn der Maßstab der Zeichnung eine Vergrößerung von $25:1$ ist, wie lang ist die Ameise in Wirklichkeit, angegeben in Millimetern?

Du hast zwei verschiedene Karten desselben Gebiets. Auf Karte A beträgt der Abstand zwischen zwei Dörfern $6$ cm und der Maßstab ist $1:50.000$. Auf Karte B beträgt der Abstand zwischen denselben Dörfern $15$ cm. Berechne, welchen Zahlenmaßstab Karte B hat.

Eine Drohne zur Waldüberwachung fliegt eine rechteckige Route über einem Naturpark. In der Leitstelle sehen die Techniker die Route auf einem digitalen Bildschirm im Maßstab $1:50.000$. Auf diesem Bildschirm ist das Rechteck $12\text{ cm}$ lang und $8\text{ cm}$ breit. Für den gedruckten Bericht müssen sie die Karte jedoch so verkleinern, dass die Länge der Route nur noch $4\text{ cm}$ misst.

Berechne:

1. Den tatsächlichen Flächeninhalt des Naturparks in Quadratkilometern ($\text{km}^2$).

2. Den Maßstab, den die Karte im gedruckten Bericht haben muss.

Auf einer Straßenkarte von Deutschland im Maßstab $1:2.500.000$ beträgt die mit dem Lineal gemessene Entfernung zwischen Berlin und Düsseldorf $14,2\text{ cm}$. Ein Lieferwagen fährt um $08:00\text{ h}$ in Berlin los und fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $90\text{ km/h}$ nach Düsseldorf.

Wann wird er voraussichtlich am Ziel ankommen, wenn er auf halber Strecke eine halbe Stunde Pause macht?

Eine Karten-App auf einem Smartphone zeigt einen Stadtteil. Bei Zoomstufe A ist der Maßstab $1:15.000$ und der Abstand zwischen zwei U-Bahn-Haltestellen beträgt $6\text{ cm}$. Wenn der Nutzer herauszoomt, bis der Maßstab $1:50.000$ beträgt (Stufe B):

1. Wie groß ist dann der Abstand zwischen diesen beiden Haltestellen auf dem Bildschirm in Zentimetern?

2. Wenn der Bildschirm des Telefons einen Flächeninhalt von $80\text{ cm}^2$ hat, wie viele Quadratkilometer städtischer Fläche werden in Stufe B in Wirklichkeit angezeigt?

Der Plan eines städtischen Fußballplatzes ist im Maßstab $1:400$ gezeichnet. Im Plan ist die Rasenfläche ein Rechteck von $25$ cm Länge und $15$ cm Breite. Berechne den tatsächlichen Flächeninhalt des Fußballplatzes in Quadratmetern.

Du entwirfst dein eigenes „Gaming Room“ in einem Plan im Maßstab $1:40$. In der Zeichnung hat das Zimmer einen Flächeninhalt von $75\text{ cm}^2$. Du hast einen professionellen Schreibtisch gesehen, der in Wirklichkeit eine Fläche von $1,28\text{ m}^2$ einnimmt, und einen Stuhl, der $0,6\text{ m}^2$ einnimmt.

Wenn du dich entscheidest, den Schreibtisch und zwei gleiche Stühle aufzustellen, welche tatsächliche Fläche bleibt dann im Zimmer frei? Gib das Ergebnis in Quadratmetern ($\text{m}^2$) an.

Ein Architekt hat ein Modell eines neuen Auditoriums im Maßstab $1:250$ gebaut. Das Gesamtvolumen des Modells beträgt $0,64\text{ dm}^3$.

Die Dichte der echten Materialien ist zwar anders, aber das Volumen ist proportional zur dritten Potenz des Maßstabs. Berechne das tatsächliche Volumen des Auditoriums in Kubikmetern ($\text{m}^3$).

(Hinweis: Denke daran: Wenn der Längenmaßstab $k$ ist, ist der Volumenmaßstab $k^3$.)