Die Menge der ganzen Zahlen

Im Alltag verwenden wir ganze Zahlen, um gegensätzliche Situationen auszudrücken. Ordne jeder der folgenden Situationen eine ganze Zahl (positiv oder negativ) zu:

1. a) Das Thermometer draußen zeigt $4$ Grad unter null an.
2. b) Du hast $15$ € Schulden bei einem Freund.
3. c) Ein Taucher befindet sich in $20$ Metern Tiefe.
4. d) Ein Flugzeug fliegt in $8.500$ Metern Höhe.
5. e) Du hast in einem Level deines Lieblingsvideospiels $50$ Punkte gewonnen.
6. f) Das Parkhaus des Einkaufszentrums liegt im dritten Untergeschoss.

Ordne die Zahlen der folgenden Liste zu: Gib an, welche zur Menge der natürlichen Zahlen ($\mathbb{N}$) gehören und welche ganze Zahlen ($\mathbb{Z}$), aber keine natürlichen Zahlen sind:

$$ -7, \quad +5, \quad -12, \quad 0, \quad +10, \quad -1, \quad 45 $$

Ein Archäologe findet in einer Ausgrabungsstätte eine Münze. Bei seinen Nachforschungen stellt er fest, dass sie im Jahr $45$ v. Chr. geprägt wurde. Wenn der Archäologe im Jahr $2024$ n. Chr. lebt, beantworte Folgendes:

1. a) Welche ganze Zahl würdest du jedem Datum zuordnen?

1. b) Was ist die Gegenzahl des Prägejahres der Münze?

1. c) Stelle in einem Zeitstrahl, den du in dein Heft zeichnest, das Prägejahr der Münze und das Jahr, in dem der Archäologe lebt, ungefähr dar. Markiere das Jahr $0$ und gib an, welche Seite den Jahren v. Chr. und welche den Jahren n. Chr. entspricht.

Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur Null an. Berechne die folgenden Beträge:

1. a) $|-7| =$
2. b) $|+12| =$
3. c) $|-25| =$
4. d) $|0| =$
5. e) $|-1| =$
6. f) $|+100| =$

Die Gegenzahl einer ganzen Zahl ist die Zahl mit demselben Betrag, aber mit anderem Vorzeichen. Schreibe die Gegenzahl der folgenden Zahlen auf:

1. a) $op(+6) =$
2. b) $op(-9) =$
3. c) $op(-15) =$
4. d) $op(+21) =$
5. e) $op(0) =$
6. f) $op(-1) =$

Ordne die folgenden mathematischen Ausdrücke der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten, nachdem du zuvor ihren Wert berechnet hast. Dabei bezeichnet $op(a)$ die Gegenzahl von $a$, also $op(a) = -a$:

$$-| -12 |, \quad op(+5), \quad | -8 |, \quad op(op(-3)), \quad -(-10), \quad 0, \quad -| -1 |$$

Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und gib jeweils ein Beispiel oder ein Gegenbeispiel an:

1. a) Wenn $a$ und $b$ zwei negative ganze Zahlen sind und $|a| < |b|$, dann gilt $a > b$.
2. b) Der Betrag einer ganzen Zahl ist immer größer als die Zahl selbst.
3. c) Der Abstand zwischen einer beliebigen ganzen Zahl und ihrer Gegenzahl ist immer eine gerade Zahl.
4. d) Wenn wir zur Gegenzahl einer Zahl ihren Betrag addieren, ist das Ergebnis immer null.

Vergleiche die folgenden Paare ganzer Zahlen mit den Zeichen „größer als“ ($>$) oder „kleiner als“ ($<$):

1. a) $+5$ ____ $-8$
2. b) $-3$ ____ $-1$
3. c) $0$ ____ $-5$
4. d) $-12$ ____ $-20$
5. e) $+10$ ____ $+2$
6. f) $-1$ ____ $0$

Ordne die folgenden ganzen Zahlen von der kleinsten zur größten und verwende dabei das Zeichen $<$ zwischen ihnen:

$$-5, \quad +3, \quad -1, \quad 0, \quad +7, \quad -8, \quad -2$$

In einem Skigebiet wurden an vier Tagen die folgenden Tiefsttemperaturen gemessen. Ordne sie von der kleinsten zur größten und verwende dabei das Zeichen $<$:

• Montag: $-6$ $^\circ C$

• Dienstag: $+2$ $^\circ C$

• Mittwoch: $-9$ $^\circ C$

• Donnerstag: $0$ $^\circ C$

In einer Mathematikarbeit soll Lea mehrere ganze Zahlen vergleichen und schreibt auf ihr Blatt: „Da $12$ größer als $5$ ist, gilt $-12 > -5$, denn beide haben dieselben Ziffern und behalten dieselbe Ordnungsbeziehung.“ Außerdem behauptet sie: „Der Betrag von $-12$ ist kleiner als der von $-5$, weil $-12$ auf dem Zahlenstrahl weiter links liegt.“

1. a) Finde die beiden Denkfehler, die Lea gemacht hat, und erkläre mit eigenen Worten, warum ihre Überlegung falsch ist. Stütze dich dabei auf die Lage der Zahlen in Bezug auf die Null.
2. b) Schreibe den richtigen Vergleich zwischen $-12$ und $-5$ mit dem passenden Zeichen ($>$ oder $<$) auf und berechne die Beträge beider Zahlen, um zu begründen, welcher der beiden Beträge größer ist.

Die spanische Wetterbehörde AEMET registrierte in einer Winternacht an vier Messstationen die folgenden Tiefsttemperaturen: Molina de Aragón ($-11\ ^\circ\text{C}$), Puerto de Navacerrada ($-7\ ^\circ\text{C}$), Reinosa ($-4\ ^\circ\text{C}$) und Albacete ($+2\ ^\circ\text{C}$).

1. a) Modelliere diese Situation, indem du die vier Orte von der niedrigsten zur höchsten Temperatur ordnest. Verwende dazu die passenden mathematischen Zeichen ($<$ oder $>$).
2. b) Welche Station registrierte die Temperatur mit dem größeren Abstand zum Gefrierpunkt ($0\ ^\circ\text{C}$)? Begründe deine Antwort mit dem Begriff des Betrags.
3. c) Wenn wir den Punkt $P(T_{\text{Albacete}}\,|\,T_{\text{Reinosa}})$ in ein Koordinatensystem eintragen, bestimme, in welchem Quadranten er liegt, und deute, was das Vorzeichen jeder seiner Koordinaten bedeutet.

Im Physiklabor werden die Gefriertemperaturen verschiedener Flüssigkeiten untersucht. Die Ergebnisse sind:

• Flüssigkeit P: $-8$ °C

• Flüssigkeit Q: $-15$ °C

• Flüssigkeit R: $-3$ °C

• Flüssigkeit S: $-12$ °C

Ordne die Flüssigkeiten von der niedrigsten zur höchsten Temperatur mit dem Zeichen $<$ und erkläre, welche von ihnen den größten Betrag hat.

Ein Temperatursensor in einem Kryotechnik-Labor zeigt zu Beginn $12\,^{\circ}\text{C}$ an (sieh dir die Skala an). Aufgrund eines Experiments sinkt die Temperatur um $18\,^{\circ}\text{C}$, steigt dann um $5\,^{\circ}\text{C}$ und fällt schließlich wieder um $3\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Stelle jede der Temperaturänderungen mit ganzen Zahlen dar.

1. b) Welche Endtemperatur zeigt der Sensor an?

1. c) Liegt die Endtemperatur über oder unter $0\,^{\circ}\text{C}$?

Ein Lieferant steigt im Erdgeschoss ($0$) eines Einkaufszentrums in den Aufzug. Zuerst fährt er zum Lager in Stockwerk $+5$, dann fährt er $8$ Stockwerke nach unten, um Ware in der Tiefgarage abzuholen, und schließlich fährt er $2$ Stockwerke nach oben, um eine Lieferung zu machen.

1. a) In welchem Stockwerk liegt die Tiefgarage? Gib das Ergebnis als ganze Zahl an.
2. b) In welchem Stockwerk macht er die letzte Lieferung?
3. c) Wie viele Stockwerke ist der Lieferant auf seiner gesamten Strecke insgesamt gefahren? (Tipp: Verwende den Begriff des Betrags.)

Zwei Taucher, Emilia und Karl, befinden sich im Meer. Emilia ist in einer Tiefe von $18$ Metern unter dem Meeresspiegel. Karl ist $12$ Meter von Emilia entfernt, befindet sich aber tiefer.

1. a) In welcher Tiefe befindet sich Karl? Gib sie mit einer ganzen Zahl an.
2. b) Wenn Emilia $5$ Meter nach oben taucht, wie lautet dann ihre neue Position?
3. c) Wie groß ist der Abstand zwischen Emilias neuer Position und Karls Position?

Bei einem Brettspiel steht deine Spielfigur auf dem Feld, das die ganze Zahl $-4$ darstellt. Du würfelst mit einem besonderen Würfel und erhältst die folgenden aufeinanderfolgenden Züge:

1. Du rückst $6$ Felder vor.

2. Du gehst das Doppelte des Betrags von $-3$ zurück.

3. Du ziehst auf die Gegenzahl des Feldes, auf dem du dich in diesem Moment befindest.

Auf welchem Feld endet das Spiel? Gib alle Zwischenschritte an.

Ein Archäologe erforscht eine antike Dynastie. Er weiß, dass der erste König der Dynastie im Jahr $42$ v. Chr. geboren wurde und im Alter von $65$ Jahren starb. Sein Sohn, der Thronfolger, wurde geboren, als der Vater $28$ Jahre alt war, und regierte nach dem Tod seines Vaters $35$ Jahre lang.

1. a) Stelle die Geburts- und Sterbejahre beider Personen mit ganzen Zahlen dar.
2. b) In welchem Jahr endete die Herrschaft des Sohnes? Gib das Ergebnis in chronologischer Form an (v. Chr. oder n. Chr.).

Wir entwerfen ein Videospiel, in dem eine Figur über Plattformen springen muss, die mit ganzen Zahlen nummeriert sind. Die Figur startet auf Plattform $0$.

• Der erste Sprung hat die Weite $+5$ Einheiten.

• Der zweite Sprung ist doppelt so weit wie der erste, aber in die entgegengesetzte Richtung.

• Der dritte Sprung bringt sie auf eine Plattform, deren Nummer die Gegenzahl der Nummer der Plattform ist, auf der sie nach dem zweiten Sprung stand.

• Der vierte Sprung hat die Weite $-12$ Einheiten.

Auf welcher Plattform steht sie am Ende? Zeichne den Weg am Zahlenstrahl und gib jeden Schritt an.

Du kannst das auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Bestimme die Koordinaten $(x|y)$ der Punkte $P$ und $Q$ im folgenden Gitter. Denke daran: Die erste Zahl gehört zur horizontalen Achse (x-Achse), die zweite zur vertikalen Achse (y-Achse).

In einem Strategiespiel bewegt sich ein Piratenschiff auf einer Karte mit Koordinaten. Seine Startposition ist der Punkt $P(-3|2)$.

1. a) Wenn sich das Schiff $5$ Einheiten nach rechts bewegt, wie lautet dann seine neue x-Koordinate ($x$)?

1. b) Wenn es von dieser neuen Position aus $4$ Einheiten nach unten fährt, wie lautet dann seine y-Koordinate ($y$)?

1. c) Zeichne in dein Heft den Startpunkt und den Endpunkt (den des Schiffes nach den beiden Bewegungen) in ein Koordinatensystem.

Im folgenden Koordinatensystem startet ein Roboter im Punkt $P(-2|3)$. Er führt drei aufeinanderfolgende Bewegungen aus:

1. Er bewegt sich $5$ Einheiten nach rechts.

2. Er bewegt sich $7$ Einheiten nach unten.

3. Er bewegt sich $4$ Einheiten nach links.

In welchem Quadranten endet der Roboter? Mache das in deinem Heft. Gib die Endkoordinaten des Punktes an und berechne den Betrag der Summe seiner neuen x-Koordinate ($x$) und seiner neuen y-Koordinate ($y$).

In einem Koordinatensystem hat ein Quadrat zwei gegenüberliegende Eckpunkte in den Punkten $A(-2|3)$ und $C(4|-3)$.

1. Zeichne die Achsen und trage die Punkte $A$ und $C$ ein.

2. Bestimme die Koordinaten der anderen beiden Eckpunkte $B$ und $D$, wenn das Quadrat nicht gedreht ist (seine Seiten sind parallel zu den Achsen).

3. Wie lauten die Koordinaten des Mittelpunkts, in dem sich die Diagonalen des Quadrats schneiden?

Du kannst das auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.