Aufgaben: Die Menge der ganzen Zahlen

Im Alltag verwenden wir ganze Zahlen, um gegensätzliche Situationen auszudrücken. Ordne jeder der folgenden Situationen eine ganze Zahl (positiv oder negativ) zu:

1. a) Das Thermometer draußen zeigt $4$ Grad unter null an.
2. b) Du hast $15$ € Schulden bei einem Freund.
3. c) Ein Taucher befindet sich in $20$ Metern Tiefe.
4. d) Ein Flugzeug fliegt in $8.500$ Metern Höhe.
5. e) Du hast in einem Level deines Lieblingsvideospiels $50$ Punkte gewonnen.
6. f) Das Parkhaus des Einkaufszentrums liegt im dritten Untergeschoss.

Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur Null an. Berechne die folgenden Beträge:

1. a) $|-7| =$
2. b) $|+12| =$
3. c) $|-25| =$
4. d) $|0| =$
5. e) $|-1| =$
6. f) $|+100| =$

Vergleiche die folgenden Paare ganzer Zahlen mit den Zeichen „größer als“ ($>$) oder „kleiner als“ ($<$):

1. a) $+5$ ____ $-8$
2. b) $-3$ ____ $-1$
3. c) $0$ ____ $-5$
4. d) $-12$ ____ $-20$
5. e) $+10$ ____ $+2$
6. f) $-1$ ____ $0$

Die Gegenzahl einer ganzen Zahl ist die Zahl mit demselben Betrag, aber mit anderem Vorzeichen. Schreibe die Gegenzahl der folgenden Zahlen auf:

1. a) $op(+6) =$
2. b) $op(-9) =$
3. c) $op(-15) =$
4. d) $op(+21) =$
5. e) $op(0) =$
6. f) $op(-1) =$

Ordne die folgenden ganzen Zahlen von der kleinsten zur größten und verwende dabei das Zeichen $<$ zwischen ihnen:

$$-5, \quad +3, \quad -1, \quad 0, \quad +7, \quad -8, \quad -2$$

Ordne die Zahlen der folgenden Liste zu: Gib an, welche zur Menge der natürlichen Zahlen ($\mathbb{N}$) gehören und welche ganze Zahlen ($\mathbb{Z}$), aber keine natürlichen Zahlen sind:

$$ -7, \quad +5, \quad -12, \quad 0, \quad +10, \quad -1, \quad 45 $$

In einem Skigebiet wurden an vier Tagen die folgenden Tiefsttemperaturen gemessen. Ordne sie von der kleinsten zur größten und verwende dabei das Zeichen $<$:

• Montag: $-6$ $^\circ C$

• Dienstag: $+2$ $^\circ C$

• Mittwoch: $-9$ $^\circ C$

• Donnerstag: $0$ $^\circ C$

Bestimme die Koordinaten $(x|y)$ der Punkte $P$ und $Q$ im folgenden Gitter. Denke daran: Die erste Zahl gehört zur horizontalen Achse (x-Achse), die zweite zur vertikalen Achse (y-Achse).

In einer Mathematikarbeit soll Lea mehrere ganze Zahlen vergleichen und schreibt auf ihr Blatt: „Da $12$ größer als $5$ ist, gilt $-12 > -5$, denn beide haben dieselben Ziffern und behalten dieselbe Ordnungsbeziehung.“ Außerdem behauptet sie: „Der Betrag von $-12$ ist kleiner als der von $-5$, weil $-12$ auf dem Zahlenstrahl weiter links liegt.“

1. a) Finde die beiden Denkfehler, die Lea gemacht hat, und erkläre mit eigenen Worten, warum ihre Überlegung falsch ist. Stütze dich dabei auf die Lage der Zahlen in Bezug auf die Null.
2. b) Schreibe den richtigen Vergleich zwischen $-12$ und $-5$ mit dem passenden Zeichen ($>$ oder $<$) auf und berechne die Beträge beider Zahlen, um zu begründen, welcher der beiden Beträge größer ist.

Die spanische Wetterbehörde AEMET registrierte in einer Winternacht an vier Messstationen die folgenden Tiefsttemperaturen: Molina de Aragón ($-11\ ^\circ\text{C}$), Puerto de Navacerrada ($-7\ ^\circ\text{C}$), Reinosa ($-4\ ^\circ\text{C}$) und Albacete ($+2\ ^\circ\text{C}$).

1. a) Modelliere diese Situation, indem du die vier Orte von der niedrigsten zur höchsten Temperatur ordnest. Verwende dazu die passenden mathematischen Zeichen ($<$ oder $>$).
2. b) Welche Station registrierte die Temperatur mit dem größeren Abstand zum Gefrierpunkt ($0\ ^\circ\text{C}$)? Begründe deine Antwort mit dem Begriff des Betrags.
3. c) Wenn wir den Punkt $P(T_{\text{Albacete}}\,|\,T_{\text{Reinosa}})$ in ein Koordinatensystem eintragen, bestimme, in welchem Quadranten er liegt, und deute, was das Vorzeichen jeder seiner Koordinaten bedeutet.

Ein Temperatursensor in einem Kryotechnik-Labor zeigt zu Beginn $12\,^{\circ}\text{C}$ an (sieh dir die Skala an). Aufgrund eines Experiments sinkt die Temperatur um $18\,^{\circ}\text{C}$, steigt dann um $5\,^{\circ}\text{C}$ und fällt schließlich wieder um $3\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Stelle jede der Temperaturänderungen mit ganzen Zahlen dar.

1. b) Welche Endtemperatur zeigt der Sensor an?

1. c) Liegt die Endtemperatur über oder unter $0\,^{\circ}\text{C}$?

Ein Lieferant steigt im Erdgeschoss ($0$) eines Einkaufszentrums in den Aufzug. Zuerst fährt er zum Lager in Stockwerk $+5$, dann fährt er $8$ Stockwerke nach unten, um Ware in der Tiefgarage abzuholen, und schließlich fährt er $2$ Stockwerke nach oben, um eine Lieferung zu machen.

1. a) In welchem Stockwerk liegt die Tiefgarage? Gib das Ergebnis als ganze Zahl an.
2. b) In welchem Stockwerk macht er die letzte Lieferung?
3. c) Wie viele Stockwerke ist der Lieferant auf seiner gesamten Strecke insgesamt gefahren? (Tipp: Verwende den Begriff des Betrags.)

In einem Strategiespiel bewegt sich ein Piratenschiff auf einer Karte mit Koordinaten. Seine Startposition ist der Punkt $P(-3|2)$.

1. a) Wenn sich das Schiff $5$ Einheiten nach rechts bewegt, wie lautet dann seine neue x-Koordinate ($x$)?

1. b) Wenn es von dieser neuen Position aus $4$ Einheiten nach unten fährt, wie lautet dann seine y-Koordinate ($y$)?

1. c) Zeichne in dein Heft den Startpunkt und den Endpunkt (den des Schiffes nach den beiden Bewegungen) in ein Koordinatensystem.

Schreibe die ganzen Zahlen auf, die gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

1. Ihr Betrag ist größer als $2$ und kleiner als $6$.

2. Sie ist eine negative Zahl.

3. Wenn man ihre Gegenzahl addiert, ist das Ergebnis $0$.

Stelle die gefundenen Zahlen an einem Zahlenstrahl dar.

Im Physiklabor werden die Gefriertemperaturen verschiedener Flüssigkeiten untersucht. Die Ergebnisse sind:

• Flüssigkeit P: $-8$ °C

• Flüssigkeit Q: $-15$ °C

• Flüssigkeit R: $-3$ °C

• Flüssigkeit S: $-12$ °C

Ordne die Flüssigkeiten von der niedrigsten zur höchsten Temperatur mit dem Zeichen $<$ und erkläre, welche von ihnen den größten Betrag hat.

Ein Archäologe findet in einer Ausgrabungsstätte eine Münze. Bei seinen Nachforschungen stellt er fest, dass sie im Jahr $45$ v. Chr. geprägt wurde. Wenn der Archäologe im Jahr $2024$ n. Chr. lebt, beantworte Folgendes:

1. a) Welche ganze Zahl würdest du jedem Datum zuordnen?

1. b) Was ist die Gegenzahl des Prägejahres der Münze?

1. c) Stelle in einem Zeitstrahl, den du in dein Heft zeichnest, das Prägejahr der Münze und das Jahr, in dem der Archäologe lebt, ungefähr dar. Markiere das Jahr $0$ und gib an, welche Seite den Jahren v. Chr. und welche den Jahren n. Chr. entspricht.

Zwei Taucher, Emilia und Karl, befinden sich im Meer. Emilia ist in einer Tiefe von $18$ Metern unter dem Meeresspiegel. Karl ist $12$ Meter von Emilia entfernt, befindet sich aber tiefer.

1. a) In welcher Tiefe befindet sich Karl? Gib sie mit einer ganzen Zahl an.
2. b) Wenn Emilia $5$ Meter nach oben taucht, wie lautet dann ihre neue Position?
3. c) Wie groß ist der Abstand zwischen Emilias neuer Position und Karls Position?

Bei einem Brettspiel steht deine Spielfigur auf dem Feld, das die ganze Zahl $-4$ darstellt. Du würfelst mit einem besonderen Würfel und erhältst die folgenden aufeinanderfolgenden Züge:

1. Du rückst $6$ Felder vor.

2. Du gehst das Doppelte des Betrags von $-3$ zurück.

3. Du ziehst auf die Gegenzahl des Feldes, auf dem du dich in diesem Moment befindest.

Auf welchem Feld endet das Spiel? Gib alle Zwischenschritte an.

Gesucht sind zwei verschiedene ganze Zahlen $a$ und $b$, die gleichzeitig die folgenden vier Bedingungen erfüllen:

1. Der Punkt $P(a|b)$ liegt im zweiten Quadranten des Koordinatensystems.

2. Der Betrag von $a$ ist genau $5$.

3. Der Wert $|b|$ ist eine Primzahl, die kleiner als $5$ ist, aber $b$ stimmt nicht mit der Gegenzahl von $a$ überein.

4. Der Abstand zwischen $a$ und $b$ auf dem Zahlenstrahl ist echt kleiner als $8$ Einheiten.

1. a) Leite her, welches Vorzeichen $a$ und $b$ aufgrund des Quadranten, in dem der Punkt $P$ liegt, zwingend haben müssen.
2. b) Bestimme alle möglichen Werte von $a$ und $b$ und begründe Schritt für Schritt, warum du die Möglichkeiten ausschließt, die nicht alle Bedingungen gleichzeitig erfüllen.
3. c) Gib die endgültigen Koordinaten aller möglichen Punkte $P(a|b)$ an, die das Problem lösen.

Betrachte die ganzen Zahlen $m = -14$ und $n = +6$ auf einem Zahlenstrahl.

1. a) Schätze zunächst begründet, ohne genau zu rechnen: Liegt der genaue Mittelpunkt zwischen $m$ und $n$ links oder rechts von der Null? Ist der gesamte Abstand zwischen beiden größer oder kleiner als $|m|$? Erkläre, worauf du dich bei deiner Vermutung stützt.
2. b) Berechne nun den genauen Zahlenwert des Abstands zwischen $m$ und $n$ auf dem Zahlenstrahl, indem du dich auf die Bedeutung der Beträge stützt.
3. c) Bestimme, welche ganze Zahl der Mittelpunkt zwischen $m$ und $n$ darstellt. Prüfe, ob deine anfängliche Schätzung aus Teilaufgabe a) richtig war, und begründe, warum das Vorzeichen des Mittelpunkts mit dem Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag übereinstimmt.

Auf einem Zahlenstrahl sind zwei Punkte $A$ und $B$ markiert. Du weißt, dass der Abstand zwischen Punkt $A$ und Punkt $B$ $15$ Einheiten beträgt und dass Punkt $A$ der ganzen Zahl $-6$ entspricht:

1. a) Bestimme, welche ganze Zahl der Punkt $B$ darstellt, wenn er rechts von $A$ liegt.
2. b) Berechne den Wert von $|A| + |B|$.
3. c) Wenn wir einen neuen Punkt $C$ genau in die Mitte der Strecke legen, die $A$ und $B$ verbindet, welche Zahl stellt $C$ dar?

Ordne die folgenden mathematischen Ausdrücke der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten, nachdem du zuvor ihren Wert berechnet hast. Dabei bezeichnet $op(a)$ die Gegenzahl von $a$, also $op(a) = -a$:

$$-| -12 |, \quad op(+5), \quad | -8 |, \quad op(op(-3)), \quad -(-10), \quad 0, \quad -| -1 |$$

Ein Archäologe erforscht eine antike Dynastie. Er weiß, dass der erste König der Dynastie im Jahr $42$ v. Chr. geboren wurde und im Alter von $65$ Jahren starb. Sein Sohn, der Thronfolger, wurde geboren, als der Vater $28$ Jahre alt war, und regierte nach dem Tod seines Vaters $35$ Jahre lang.

1. a) Stelle die Geburts- und Sterbejahre beider Personen mit ganzen Zahlen dar.
2. b) In welchem Jahr endete die Herrschaft des Sohnes? Gib das Ergebnis in chronologischer Form an (v. Chr. oder n. Chr.).

Im folgenden Koordinatensystem startet ein Roboter im Punkt $P(-2|3)$. Er führt drei aufeinanderfolgende Bewegungen aus:

1. Er bewegt sich $5$ Einheiten nach rechts.

2. Er bewegt sich $7$ Einheiten nach unten.

3. Er bewegt sich $4$ Einheiten nach links.

In welchem Quadranten endet der Roboter? Mache das in deinem Heft. Gib die Endkoordinaten des Punktes an und berechne den Betrag der Summe seiner neuen x-Koordinate ($x$) und seiner neuen y-Koordinate ($y$).

Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und gib jeweils ein Beispiel oder ein Gegenbeispiel an:

1. a) Wenn $a$ und $b$ zwei negative ganze Zahlen sind und $|a| < |b|$, dann gilt $a > b$.
2. b) Der Betrag einer ganzen Zahl ist immer größer als die Zahl selbst.
3. c) Der Abstand zwischen einer beliebigen ganzen Zahl und ihrer Gegenzahl ist immer eine gerade Zahl.
4. d) Wenn wir zur Gegenzahl einer Zahl ihren Betrag addieren, ist das Ergebnis immer null.

Wir entwerfen ein Videospiel, in dem eine Figur über Plattformen springen muss, die mit ganzen Zahlen nummeriert sind. Die Figur startet auf Plattform $0$.

• Der erste Sprung hat die Weite $+5$ Einheiten.

• Der zweite Sprung ist doppelt so weit wie der erste, aber in die entgegengesetzte Richtung.

• Der dritte Sprung bringt sie auf eine Plattform, deren Nummer die Gegenzahl der Nummer der Plattform ist, auf der sie nach dem zweiten Sprung stand.

• Der vierte Sprung hat die Weite $-12$ Einheiten.

Auf welcher Plattform steht sie am Ende? Zeichne den Weg am Zahlenstrahl und gib jeden Schritt an.

Du kannst das auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

In einem Koordinatensystem hat ein Quadrat zwei gegenüberliegende Eckpunkte in den Punkten $A(-2|3)$ und $C(4|-3)$.

1. Zeichne die Achsen und trage die Punkte $A$ und $C$ ein.

2. Bestimme die Koordinaten der anderen beiden Eckpunkte $B$ und $D$, wenn das Quadrat nicht gedreht ist (seine Seiten sind parallel zu den Achsen).

3. Wie lauten die Koordinaten des Mittelpunkts, in dem sich die Diagonalen des Quadrats schneiden?

Du kannst das auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Stell dir zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ vor. Wir wissen:

1. Der Abstand zwischen $a$ und $0$ beträgt $7$ Einheiten.

2. Der Abstand zwischen $a$ und $b$ beträgt $3$ Einheiten.

3. $b$ ist kleiner als $a$.

Bestimme alle möglichen Werte für $a$ und für $b$. Schreibe für jeden Fall den Betrag der Summe $|a + b|$ auf.

Um herauszufinden, in welchem Quadranten des Koordinatensystems der Punkt $A(x|y)$ liegt, wissen wir mit Sicherheit, dass die Gegenzahl der x-Koordinate streng negativ ist ($-x < 0$) und dass für die y-Koordinate $|y| = -y$ gilt, mit $y \neq 0$. Zwei Schüler der 7. Klasse schlagen zwei verschiedene Wege vor:

• Nachos Methode: Er wählt konkrete Zahlen, die die Hinweise erfüllen (zum Beispiel probiert er $x = 3$ und $y = -2$), prüft, dass sie zu den gegebenen Bedingungen passen, und trägt den entstehenden Punkt in die Quadranten ein.

• Emilias Methode: Sie leitet algebraisch aus der Definition der Gegenzahl das Vorzeichen von $x$ her und folgert danach das Vorzeichen von $y$ mithilfe der Eigenschaften des Betrags, ohne eine bestimmte Zahl zu erfinden.

1. a) Wende Nachos Methode mit diesem konkreten Beispiel an und bestimme, in welchem Quadranten der Punkt liegt.
2. b) Wende Emilias Methode an und begründe sorgfältig die Vorzeichen von $x$ und $y$ anhand der theoretischen Definitionen, um zur allgemeinen Schlussfolgerung zu gelangen.
3. c) Vergleiche beide Wege: Garantiert Nachos Methode, dass die Schlussfolgerung für jedes Zahlenpaar gilt, das die Aufgabenstellung erfüllt, oder könnte es unvorhergesehene Fälle geben? Erkläre, warum Emilias Methode eine überlegene und sicherere mathematische Begründung liefert.

Bei einer ozeanografischen Forschungsfahrt in der Nordsee wird die vertikale Position von drei Messsonden $S_1$, $S_2$ und $S_3$ überwacht. Ihre Tiefen relativ zum Meeresspiegel werden als ganze Zahlen in Metern angegeben (der Meeresspiegel ist $0\text{ m}$):

1. Die Sonde $S_1$ ist eingetaucht und ihre Höhenlage ist eine negative ganze Zahl, deren Betrag ein Vielfaches von $4$ ist, das echt zwischen $10$ und $18$ liegt; außerdem ist ihr Betrag ein Vielfaches von $3$.

2. Die Höhenlage der Sonde $S_2$ ist kleiner als die von $S_1$, und ihr Abstand zur Oberfläche übertrifft den von $S_1$ um genau $6$ Einheiten.

3. Die Sonde $S_3$ liegt in einer Höhenlage, sodass $|S_3|$ genau die Hälfte von $|S_1|$ ist. Außerdem weiß man, dass die Gegenzahl der Höhenlage von $S_3$ eine positive Zahl ist.

1. a) Bestimme begründet, mit Begründung jedes Schrittes, den ganzzahligen Wert der Höhenlage, in der jede der drei Sonden arbeitet.

1. b) Modelliere die relative Lage der Sonden, indem du sie von der Sonde in der größten Tiefe bis zur der Oberfläche am nächsten liegenden ordnest, mithilfe der entsprechenden Ungleichungskette mit dem Zeichen $<$.

1. c) Wenn wir die Punkte $P_1(S_1|S_2)$ und $P_2(-S_3|S_1)$ im Koordinatensystem bilden (dabei ist $-S_3$ die Gegenzahl von $S_3$), bestimme, in welchem Quadranten jeder Punkt liegt, und begründe es mit den Vorzeichen seiner Koordinaten.