Variablen, Einsetzen und Terme aufstellen
Im Kino in Köln kostet ein Ticket 8 €. Wie viel zahlt eine Klasse, wenn sie 3 Tickets kauft? Oder 7? Oder 25? Du könntest jedes Mal neu rechnen – oder du schreibst die Rechnung einmal auf und setzt dann die Anzahl ein. Genau dafür gibt es Variablen.
Variablen als Platzhalter
Eine Rechnung wie $8 \cdot 3$ kennst du. Wenn die Zahl der Tickets aber nicht festgelegt ist, schreibst du statt der Zahl einen Buchstaben, zum Beispiel $k$: Das Ergebnis ist dann $8 \cdot k$.
Den Malpunkt zwischen Zahl und Variable lassen Mathematiker später oft weg. In Klasse 5 schreiben wir ihn aber immer hin, damit nichts verwechselt wird.
Stelle einen Term auf: a) Das Fünffache einer Zahl $a$. b) Die Summe aus $y$ und $12$. c) Die Differenz aus $20$ und $b$.
Stelle einen Term auf:
- a) Das Fünffache einer Zahl $a$.
- b) Die Summe aus $y$ und $12$.
- c) Die Differenz aus $20$ und $b$.
Einsetzen und den Wert berechnen
Wenn du für die Variable eine Zahl einsetzt, wird aus dem Term eine normale Rechnung. Ihr Ergebnis heißt Wert des Terms. Dabei gelten die bekannten Regeln: Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich.
Kommt die Variable mehrmals vor, setzt du die Zahl überall ein. Bei zwei Variablen brauchst du zwei Zahlen:
Du kannst die Ergebnisse in einer Wertetabelle sammeln:
| $n$ | $n + 3$ | $(n + 3) \cdot 2$ |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 8 |
| 5 | 8 | 16 |
| 12 | 15 | 30 |
Berechne den Wert des Terms $3 \cdot x + 5$ für a) $x = 4$ b) $x = 10$ c) $x = 0$
Berechne den Wert des Terms $3 \cdot x + 5$ für
- a) $x = 4$
- b) $x = 10$
- c) $x = 0$
Berechne den Wert des Terms $(n + 3) \cdot 2$ für $n = 1$, $n = 5$ und $n = 12$.
Berechne den Wert des Terms $(n + 3) \cdot 2$ für $n = 1$, $n = 5$ und $n = 12$.
Berechne den Wert der Terme für $x = 6$ und $y = 4$: a) $x \cdot y - 5$ b) $2 \cdot (x + y)$ c) $x \cdot x + y \cdot y$ d) $(x - y) \cdot (x + y)$
Berechne den Wert der Terme für $x = 6$ und $y = 4$:
- a) $x \cdot y - 5$
- b) $2 \cdot (x + y)$
- c) $x \cdot x + y \cdot y$
- d) $(x - y) \cdot (x + y)$
Terme aufstellen
Oft ist die Aufgabe umgekehrt: Aus einem Text soll ein Term werden. Diese Wörter helfen dir:
| Text | Term |
|---|---|
| die Summe aus $a$ und $5$ | $a + 5$ |
| die Differenz aus $20$ und $b$ | $20 - b$ |
| das Produkt aus $4$ und $n$ / das Vierfache von $n$ | $4 \cdot n$ |
| der Quotient aus $m$ und $3$ | $m : 3$ |
| das Fünffache einer Zahl $a$ | $5 \cdot a$ |
Bei Sachaufgaben fragst du dich: Was ändert sich (das wird die Variable)? Was bleibt immer gleich?
Auch Formeln aus der Geometrie sind Terme. Für ein Rechteck mit den Seiten $a$ und $b$ gilt:
Für $a = 12 \text{ cm}$ und $b = 5 \text{ cm}$ ist $U = 2 \cdot 12 + 2 \cdot 5 = 34 \text{ cm}$ und $A = 12 \cdot 5 = 60 \text{ cm}^2$.
Ein Kinoticket kostet $8 \text{ €}$, eine Tüte Popcorn $4 \text{ €}$. a) Stelle einen Term für die Kosten von $k$ Tickets und einer Tüte Popcorn auf. b) Berechne die…
Ein Kinoticket kostet $8 \text{ €}$, eine Tüte Popcorn $4 \text{ €}$.
- a) Stelle einen Term für die Kosten von $k$ Tickets und einer Tüte Popcorn auf.
- b) Berechne die Kosten für $k = 3$ und für $k = 7$.
- c) Wie viele Tickets wurden gekauft, wenn $44 \text{ €}$ bezahlt wurden?
Ein Rechteck hat die Länge $a$ und die Breite $b$. a) Gib einen Term für den Umfang und einen Term für den Flächeninhalt an. b) Berechne beide Werte für…
Ein Rechteck hat die Länge $a$ und die Breite $b$.
- a) Gib einen Term für den Umfang und einen Term für den Flächeninhalt an.
- b) Berechne beide Werte für $a = 12 \text{ cm}$ und $b = 5 \text{ cm}$.
- c) Berechne beide Werte für $a = 8 \text{ cm}$ und $b = 8 \text{ cm}$. Um welche besondere Figur handelt es sich?
Ein Handytarif kostet monatlich $9 \text{ €}$ Grundgebühr und zusätzlich $0{,}05 \text{ €}$ pro SMS. Ein zweiter Tarif kostet $5 \text{ €}$ Grundgebühr und…
Ein Handytarif kostet monatlich $9 \text{ €}$ Grundgebühr und zusätzlich $0{,}05 \text{ €}$ pro SMS. Ein zweiter Tarif kostet $5 \text{ €}$ Grundgebühr und $0{,}10 \text{ €}$ pro SMS. Es werden $x$ SMS pro Monat versendet.
- a) Stelle für beide Tarife einen Term auf.
- b) Berechne die Kosten für $x = 50$ und $x = 100$ SMS.
- c) Bei welcher Anzahl SMS sind beide Tarife gleich teuer? Begründe durch Ausprobieren in einer Tabelle.
Terme vergleichen und begründen
Zwei verschiedene Terme können für manche Zahlen denselben Wert haben und für andere nicht. Ob sie immer gleich sind, entscheidest du so: Ein einziges Beispiel mit verschiedenen Werten genügt, um das Gegenteil zu zeigen. Das nennt man Gegenbeispiel. Dass etwas immer gilt, reicht ein Beispiel dagegen nicht zu beweisen.
Das ist das Distributivgesetz: $2 \cdot (x + 3) = 2 \cdot x + 2 \cdot 3$. Du kannst es an einem Gartenbeet sehen: Ein Rechteck $a$ mal $4 \text{ m}$ und ein Quadrat $4 \text{ m}$ mal $4 \text{ m}$ nebeneinander haben zusammen den Flächeninhalt $4 \cdot a + 4 \cdot 4$. Das ist dasselbe wie ein großes Rechteck $4 \cdot (a + 4)$.
Lena behauptet: „Die Terme $2 \cdot (x + 3)$ und $2 \cdot x + 3$ haben immer denselben Wert.“ a) Überprüfe die Behauptung für $x = 0$, $x = 1$ und $x = 4$. b) Widerlege…
Lena behauptet: „Die Terme $2 \cdot (x + 3)$ und $2 \cdot x + 3$ haben immer denselben Wert.“
- a) Überprüfe die Behauptung für $x = 0$, $x = 1$ und $x = 4$.
- b) Widerlege die Behauptung und erkläre, welcher Fehler vorliegt.
- c) Gib einen Term an, der zu $2 \cdot (x + 3)$ immer denselben Wert hat, aber keine Klammer enthält.
Ein Garten besteht aus einem rechteckigen Beet mit der Länge $a$ und der Breite $4 \text{ m}$. Daran schließt sich ein quadratisches Beet mit der Seitenlänge…
Ein Garten besteht aus einem rechteckigen Beet mit der Länge $a$ und der Breite $4 \text{ m}$. Daran schließt sich ein quadratisches Beet mit der Seitenlänge $4 \text{ m}$ an.
- a) Stelle einen Term für den gesamten Flächeninhalt der beiden Beete auf.
- b) Überprüfe durch Einsetzen von $a = 7 \text{ m}$, dass dein Term und der Term $4 \cdot (a + 4)$ denselben Wert liefern.
- c) Für welche Länge $a$ beträgt der Gesamtflächeninhalt $60 \text{ m}^2$?
Zurück zum Anfang: Die Kinokosten für beliebig viele Tickets schreibst du einmal als $8 \cdot k + 4$. Für jedes $k$ setzt du nur noch die Zahl ein.