Aufgaben mit Preisen

Für eine Kunstarbeit muss Leon $2 \text{ m}$ und $40 \text{ cm}$ Zierband kaufen. Wenn der Meter Band $0,50 \text{ €}$ kostet, wie hoch sind die Gesamtkosten für das Band, das Leon braucht?

Lukas muss Netzwerkkabel kaufen, um seinen Computer mit dem Router in seinem Zimmer zu verbinden. Im Eisenwarenladen im Viertel wird das Kabel für $0,35 \text{ €}$ pro Meter verkauft. Da die gemessene Entfernung $420 \text{ cm}$ beträgt, berechnet Lukas den Preis, indem er direkt multipliziert: $0,35 \cdot 420 = 147 \text{ €}$. Erschrocken über das Ergebnis glaubt er, es sich nicht leisten zu können.

1. a) Finde den Fehler, den Lukas gemacht hat, und erkläre, warum es keinen Sinn ergibt, diese beiden Zahlen direkt zu multiplizieren.
2. b) Korrigiere seinen Ansatz, indem du die nötige Umrechnung vornimmst, und berechne den tatsächlichen Preis, den er im Laden zahlen muss.

Im Obstladen in deiner Nachbarschaft kostet das Kilogramm Kirschen aus dem Alten Land $5,80 €$. Du kaufst eine Tüte mit $750 \text{ g}$ Kirschen und bezahlst mit einem Geldschein von $10 €$. Wie viel Wechselgeld bekommst du zurück?

Ein Lieferwagen kann höchstens $1,5 \text{ t}$ (Tonnen) transportieren. Wenn der Transport $0,10 \text{ €}$ pro Kilogramm Ladung kostet, wie viel kostet die Lieferung, wenn der Wagen bis zur maximalen Kapazität beladen ist?

In einer Käsetheke im Viertel hat ein gereifter Schafskäse einen festen Preis von $19,80 \text{ €}$ pro Kilogramm. Du willst ein Stück kaufen, das auf der Waage genau $350 \text{ g}$ anzeigt.

1. a) Runde, bevor du schriftlich rechnest, im Kopf den Preis auf Zehner und das Gewicht auf einen einfachen Bruchteil eines Kilogramms, um die Kosten schnell zu schätzen. Begründe die Werte, die du für deine Näherung gewählt hast.
2. b) Nimm die passende Umrechnung der Einheiten vor und berechne den genauen Preis des Stücks.
3. c) Überprüfe, ob deine anfängliche Schätzung zutreffend war, und erkläre, warum dir die Gewohnheit, vorher zu schätzen, hilft, mögliche Fehler beim Kassieren in einem Geschäft zu entdecken.

Lenas Mutter hat einen rechteckigen Teppich für Lenas Zimmer gekauft, der $3 \text{ m}$ lang und $2 \text{ m}$ breit ist. Wenn der Preis des Teppichs $15 \text{ €}$ pro Quadratmeter ($m^2$) beträgt, wie viel hat der Teppich gekostet?

Du möchtest den Boden in deinem Zimmer erneuern. Das Zimmer ist rechteckig und $4 \text{ m}$ lang und $350 \text{ cm}$ breit. Das Klick-Laminat, das dir gefällt, kostet $18,50 €$ pro Quadratmeter. Wie hoch sind die Gesamtkosten für das Material, um den ganzen Boden zu bedecken?

Für eine Geburtstagsfeier musst du $12 \text{ L}$ Orangenlimonade kaufen. Im Supermarkt hast du zwei Möglichkeiten:

• Flaschen mit $1,5 \text{ L}$ für $1,20 €$ pro Stück.

• 6er-Packs Dosen mit $33 \text{ cl}$ für $3,15 €$ pro Pack.

Berechne, wie viel es kosten würde, genau $12 \text{ L}$ nur mit der ersten Möglichkeit zu kaufen. Wie viele Packs Dosen müsstest du kaufen, um mindestens diese Menge zu haben?

In einer Genossenschaft in Münster wird natives Olivenöl extra in zwei verschiedenen Behältern abgefüllt:

• Kanister mit $5 \text{ L}$ für $42,50 \text{ €}$.

• Flasche mit $750 \text{ mL}$ für $6,90 \text{ €}$.

Um herauszufinden, welche der beiden Möglichkeiten pro Volumeneinheit günstiger ist, schlagen zwei Mitschülerinnen zwei Wege vor:

• Methode A (Emilia): Die $750 \text{ mL}$ in Liter umrechnen und den Preis pro Liter ($€/\text{L}$) jedes Behälters berechnen, indem man den Preis durch das Fassungsvermögen teilt.

• Methode B (Lina): Den Preis pro $100 \text{ mL}$ für beide Behälter berechnen, um mit ganzen Zahlen zu arbeiten, und sie vergleichen.

1. a) Wende beide Methoden Schritt für Schritt an und überprüfe, ob beide zur gleichen Entscheidung führen, welchen Behälter man kaufen sollte.
2. b) Begründe, welche Methode vorteilhafter ist, wenn ein drittes Produkt ins Spiel kommt, das mit $1,80 \text{ €}$ pro Deziliter ($\text{dL}$) ausgezeichnet ist.

In einem Supermarkt finden wir zwei Angebote für Marmeladengläser derselben Marke:

• Angebot A: Ein Glas mit $450 \, g$ für $2,85 \, €$.

• Angebot B: Ein Glas mit $0,6 \, kg$ mit der Aktion „$20 \, \%$ extra gratis“ (das heißt, das Glas enthält $20 \, \%$ mehr Inhalt, aber der Preis ist der des Standardglases mit $600 \, g$), zum Preis von $3,90 \, €$.

Bestimme, welches der beiden Angebote günstiger ist, indem du den Preis pro Kilogramm für jedes berechnest.

In einem Baumarkt wird Netzwerkkabel für $0,85 €$ pro Meter verkauft. Du musst mehrere Stücke kaufen, um zu Hause Internet zu installieren: eines mit $1250 \text{ cm}$, ein weiteres mit $85 \text{ dm}$ und ein letztes mit $4 \text{ m}$. Der Verkäufer gewährt dir einen Rabatt von $2,50 €$, weil du insgesamt mehr als $20 \text{ m}$ kaufst. Wie viel musst du am Ende bezahlen?

Ein Biolandwirt hat einen Zitrusgarten mit einer Fläche von $0,85 \, ha$. Um die Bäume im Sommer mit Wasser zu versorgen, nutzt er eine Bewässerungsanlage, die genau $12 \, L$ Wasser pro Quadratmeter und Tag verbraucht. Wenn das Bewässerungswasser $0,35 \, €$ pro Kubikmeter ($m^3$) kostet, wie hoch ist dann die Wasserrechnung für einen Monat mit $30$ Tagen?

Wir wollen die vier Wände und die Decke eines quaderförmigen Ausstellungsraums streichen. Die Grundfläche ist $12 \, m$ lang und $80 \, dm$ breit, die Höhe des Raums beträgt $350 \, cm$. Wir wissen:

• Eine der langen Wände hat eine Glasfront, die $15 \, m^2$ einnimmt.

• Die Ergiebigkeit der Farbe beträgt $1 \, L$ pro $10 \, m^2$.

• Die Farbe wird in Eimern zu $5 \, L$ zu einem Preis von $42,50 \, €$ pro Eimer verkauft.

Berechne die Gesamtkosten der benötigten Farbe, wobei nur ganze Eimer gekauft werden können.

In einem Schreibwarengeschäft kostet das Gramm Spezialpapier zum Basteln $0,02 \text{ €}$. Wenn wir einen Bogen kaufen, der $80 \text{ dg}$ wiegt, wie viel müssen wir bezahlen?

Ein Schäfer möchte eine rechteckige Weide für seine Schafe einzäunen, die $1,5 \text{ hm}$ lang und $80 \text{ m}$ breit ist. Ein Meter Metallzaun kostet $6,40 €$. Außerdem muss er eine Lücke von $30 \text{ dm}$ für ein Tor lassen, das er schon gekauft hat. Wie hoch sind die Gesamtkosten für den benötigten Zaun?

Ein Tankwagen transportiert $15 \text{ m}^3$ Trinkwasser, um ein Dürregebiet zu versorgen.

1. a) Das Wasser wird für $0,05 €$ pro Dekaliter ($\text{daL}$) verkauft. Was ist die gesamte Ladung des Wagens wert?
2. b) Wie viele Kanister mit $5 \text{ L}$ könnte man mit dieser gesamten Menge füllen?

Ein Sportzentrum in Bonn hat den Boden seines Kraftraums erneuert. Der Raum ist rechteckig und $20 \text{ m}$ lang. Der Gesamtbetrag der Rechnung für die Renovierung betrug $10\,800 \text{ €}$. Die ausführende Firma verlangt $0,36 \text{ €}$ pro Quadratdezimeter ($\text{dm}^2$) verlegten Bodens.

1. a) Schreibe einen Term (ein Monom) auf, mit dem man die Gesamtkosten in Euro ($C$) in Abhängigkeit von der verlegten Fläche in Quadratdezimetern ($S$) berechnen kann.
2. b) Bestimme mithilfe des Monoms und der bekannten Gesamtkosten die gesamte Fläche des Kraftraums in $\text{dm}^2$ und rechne sie in Quadratmeter ($\text{m}^2$) um.
3. c) Finde heraus, wie breit der Sportraum ist, und gib das Endergebnis in Dekametern ($\text{dam}$) an.

Eine Bewässerungsgenossenschaft im Südosten der Iberischen Halbinsel wendet im Sommer für das Bewässerungswasser einen gestaffelten Tarif an:

• Stufe 1 (bis $500 \text{ m}^3$): $0,25 \text{ €}$ pro Kubikmeter.

• Stufe 2 (Menge über $500 \text{ m}^3$): $0,60 \text{ €}$ pro Kubikmeter.

Eine Zitrusplantage von $1,2 \text{ ha}$ Größe hat im Juli durchschnittlich $65 \text{ L}$ Wasser pro Quadratmeter verbraucht.

1. a) Rechne die Fläche der Plantage in Quadratmeter ($\text{m}^2$) um und bestimme das im Juli insgesamt verbrauchte Volumen in Kubikmetern ($\text{m}^3$) und in Kilolitern ($\text{kL}$).
2. b) Modelliere die Berechnung der Gesamtkosten, indem du die Beträge der einzelnen Stufen aufschlüsselst, und bestimme den Endbetrag der Rechnung für Juli.
3. c) Für August setzt sich der Landwirt eine Budgetgrenze von $185 \text{ €}$. Leite her, wie viele Liter pro Quadratmeter ($\text{L/m}^2$) er im August höchstens auf seiner Plantage bewässern kann, und beurteile, ob diese Vorgabe im Vergleich zum Verbrauch im Juli eine deutliche Einsparung erfordert.

Ein Klimatechnikunternehmen aus Essen legt ein Angebot für die Dämmung des Dachs eines Gebäudes vor. Die Kosten setzen sich wie folgt zusammen:

• Mineralwolle: $4,50 \text{ €}$ pro Quadratmeter ($\text{m}^2$).

• Abdichtungsbahn: $0,08 \text{ €}$ pro Quadratdezimeter ($\text{dm}^2$).

• Arbeitskosten: ein fester Betrag von $150 \text{ €}$ für Anfahrt und Grundmontage, plus $2,50 \text{ €}$ pro installiertem Quadratmeter.

1. a) Rechne den Preis der Bahn in Euro pro Quadratmeter ($€/\text{m}^2$) um und schreibe ein Monom auf, das die gemeinsamen Materialkosten in Abhängigkeit von der Fläche $S$ (in $\text{m}^2$) beschreibt.
2. b) Stelle den Term für die Gesamtkosten des Projekts $C(S)$ bei einer Fläche von $S \text{ m}^2$ auf. Begründe, ob dieser vollständige Term ein Monom ist oder nicht, und stütze dich dabei auf die mathematische Definition eines Monoms.
3. c) Die Eigentümergemeinschaft hat ein Dach mit $0,025 \text{ hm}^2$ und erhält ein alternatives Angebot zum Pauschalpreis von $3\,800 \text{ €}$ alles inklusive. Entscheide mithilfe deines Terms, welche der beiden Möglichkeiten günstiger ist, und gib die Ersparnis an.

Ein Kosmetikunternehmen stellt ein Luxusparfüm her. Zum Befüllen jedes Flakons mit $75 \, ml$ verwendet es eine Essenz mit einer Dichte von $0,85 \, g/cm^3$. Die Herstellungskosten der Essenz betragen $145 \, €$ pro Kilogramm. Außerdem kostet der Glasbehälter $2,15 \, €$ und die Verpackung $0,80 \, €$. Wenn das Unternehmen pro verkauftem Flakon einen Gewinn von $15 \, €$ erzielen möchte, wie hoch muss der Verkaufspreis eines einzelnen Flakons sein?

Ein würfelförmiger Tank mit $1,5 \, m$ Kantenlänge ist mit Olivenöl gefüllt. Wir wissen, dass die Dichte des Öls $0,92 \, kg/dm^3$ beträgt. Wenn das Öl in Flaschen zu $75 \, cl$ abgefüllt wird und jede Flasche auf dem internationalen Markt zu einem Preis von $12,50$ Dollar verkauft wird, wie hoch ist der Gesamtwert des Tanks in Dollar? (Nimm an, dass der Tank vollständig geleert wird.)

Auf einem Trainingsplatz, der $0,4 \, hm$ lang und $250 \, dm$ breit ist, soll Kunstrasen verlegt werden. Es liegen zwei Angebote vor:

• Firma „VerdeTotal“: $18,50 \, €$ pro Quadratmeter, aber sie verlangt eine feste Verlegepauschale von $450 \, €$.

• Firma „PraderaPlus“: $0,0022 \, €$ pro Quadratzentimeter, Verlegung im Preis inbegriffen.

Welche Firma ist für diesen Platz günstiger und wie viel Geld spart man gegenüber dem anderen Angebot?