Geraden

Bestimme in der folgenden Zeichnung einer geraden Straße, wie jedes der markierten Elemente heißt.

Gib an, welches eine Strecke, welches eine Halbgerade und welches eine vollständige Gerade darstellt.

Betrachte den Plan dieser Straßen. Gib die gegenseitige Lage (parallel, sich schneidend oder senkrecht) der folgenden Straßenpaare an:

• Straße A und Straße B.

• Straße B und Straße C.

• Straße A und Straße C.

Eine Gruppe von Freunden plant eine neue Skate-Anlage auf einer Brachfläche. Dazu haben sie mehrere Linien auf den Boden gezeichnet, die die Ränder der Rampen darstellen. Betrachte den gezeichneten Plan und beantworte die Fragen zur Lage der Linien zueinander:

1. a) Gib ein Paar von Linien an, die zueinander parallel sind.
2. b) Finde zwei Linien, die sich schneiden, aber nicht senkrecht zueinander sind.
3. c) Bestimme eine Linie, die senkrecht zur Linie $s$ ist.
4. d) Wenn sich die Linie $t$ und die Linie $u$ nie kreuzen, so weit wir sie auch verlängern, welche geometrische Beziehung haben sie dann?

Zeichne in dein Heft eine Gerade $r$ und einen Punkt $P$, der nicht auf ihr liegt. Zeichne mit deinem Geodreieck eine Gerade $s$, die durch $P$ verläuft und parallel zu $r$ ist. Wie viele Parallelen zu $r$ können durch diesen Punkt $P$ verlaufen?

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

In einer Ebene wurden vier sich schneidende Geraden so gezeichnet, dass jede alle anderen schneidet, aber nie drei Geraden durch denselben Punkt gehen.

1. a) Wie viele Schnittpunkte können höchstens entstehen?
2. b) In wie viele Gebiete wird die Ebene geteilt?

Zeichne eine Skizze dazu und begründe deine Antwort, indem du die Gebiete zählst.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Ordne die folgenden Winkel nach ihrer Öffnung ein. Gib an, ob sie spitz, recht oder stumpf sind:

• $\alpha = 45^\circ$

• $\beta = 120^\circ$

• $\gamma = 90^\circ$

Zwei Winkel sind Komplementwinkel, wenn ihre Summe $90^\circ$ beträgt. Wenn der Winkel $\alpha$ die Größe $35^\circ$ hat, wie groß muss dann der Winkel $\beta$ sein, damit sie Komplementwinkel sind?

Der Winkel $\alpha$ ist so beschaffen, dass sein Supplementwinkel dreimal so groß ist wie sein Komplementwinkel.

1. a) Stelle eine Gleichung auf, indem du die Begriffe Komplementwinkel ($90^\circ - \alpha$) und Supplementwinkel ($180^\circ - \alpha$) verwendest.
2. b) Berechne den Wert des Winkels $\alpha$.
3. c) Wie würdest du den Winkel $\alpha$ nach seiner Öffnung einordnen?

Bestimme den Wert des Winkels $\hat{X}$ in der folgenden Abbildung, wenn die beiden Winkel Supplementwinkel sind (Summe $180^\circ$).

Wenn sich zwei Geraden schneiden, sind Scheitelwinkel gleich groß. Betrachte die Abbildung und gib ohne Geodreieck an, wie groß der Winkel $\hat{A}$ und wie groß der Winkel $\hat{B}$ ist.

Ein Navigationsradar dreht sich pro Sekunde insgesamt um $5^\circ$. Gib diese Bewegung in Winkelminuten ($'$) an. Denke daran, dass $1^\circ = 60'$.

Eine Überwachungskamera in einem Einkaufszentrum hat einen Gesamtsichtwinkel von $110^\circ$. Der Wartungstechniker beschließt, diesen Winkel in zwei Zonen zu teilen: Zone A, die die Geschäfte abdeckt, und Zone B, die die Gänge abdeckt.

Wenn Zone A $64^\circ 35' 50''$ misst, berechne die genaue Größe (in Grad, Minuten und Sekunden), die Zone B haben muss, um den Rest des Sichtfelds abzudecken.

Ein Kommunikationssatellit umkreist die Erde und führt drei Drehwinkelmessungen durch, um seine Bahn zu korrigieren. Die erste Drehung beträgt $42^\circ \ 35' \ 48''$. Die zweite Drehung ist doppelt so groß wie die erste. Wenn sich der Satellit am Ende des Tages insgesamt um einen gestreckten Winkel gedreht haben muss, um sich an der Bodenstation auszurichten, wie groß muss dann die dritte Drehung sein? Gib das Ergebnis in komplexer Form an (Grad, Minuten und Sekunden).

Wir untersuchen den Aufbau eines modernen Regals. Die waagerechten Regalböden sind zueinander parallel und werden von einer schrägen Stütze durchquert.

Der Winkel $\hat{1}$ misst $124^\circ$. Nutze die Eigenschaften der Winkel an geschnittenen Parallelen, um ohne Geodreieck die Größe der Winkel $\hat{2}, \hat{3}$ und $\hat{4}$ zu berechnen. Begründe jede Antwort (als Scheitelwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel usw.).

Betrachte die folgende Figur, in der mehrere zusammenhängende Winkel dargestellt sind. Wir wissen, dass die Geraden $m$ und $n$ parallel sind. Wenn der Winkel $\hat{A} = 48^\circ$, berechne mit Begründung den Wert der Winkel $\hat{B}$ und $\hat{C}$.

Zu einer Geraden $r$ und einem Punkt $P$ außerhalb von ihr gibt es, wie wir wissen, nur eine Parallele zu $r$, die durch $P$ verläuft.

Stell dir nun drei zueinander parallele Geraden ($r, s, t$) und zwei Querlinien ($m, n$) vor, die nicht parallel zueinander sind.

1. a) Wie viele Winkel entstehen insgesamt an den Schnittpunkten?
2. b) Wenn alle spitzen Winkel, die die Gerade $m$ mit den Parallelen bildet, $70^\circ$ messen und die spitzen Winkel, die die Gerade $n$ mit den Parallelen bildet, $55^\circ$ messen, berechne den Winkel, den die Geraden $m$ und $n$ miteinander bilden.

Im Plan eines Spielplatzes soll eine Laterne aufgestellt werden, die genau gleich weit von der Rutsche ($T$) und von den Schaukeln ($C$) entfernt ist. Die Abbildung zeigt die Lage beider und den Abstand zwischen ihnen.

1. a) Wie heißt die gedachte Linie, auf der alle Punkte liegen müssten, die diese Bedingung erfüllen?

1. b) Wenn der Abstand zwischen der Rutsche und den Schaukeln $12$ Meter beträgt und du die Laterne im Mittelpunkt der Strecke $TC$ aufstellst, wie weit ist die Laterne dann von jedem der beiden entfernt?

1. c) Zeichne in dein Heft eine Skizze der Strecke $TC$ und ihrer Mittelsenkrechten.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Zwei Hauptstraßen einer Stadt kreuzen sich unter einem Winkel von $72^\circ 15'$. Es soll eine Fußgängerstraße gebaut werden, die diesen Winkel genau halbiert.

1. a) Wie heißt die Linie, die diese Fußgängerstraße darstellt, fachsprachlich?
2. b) Berechne den Winkel, den die neue Straße mit jeder der Hauptstraßen bildet.
3. c) Welche Art von Winkel ist das Ergebnis (spitz, recht oder stumpf)?

Ein Architekt entwirft einen Platz in Form eines ungleichseitigen Dreiecks, dessen Eckpunkte drei Brunnen in den Punkten $A$, $B$ und $C$ sind (die Abbildung zeigt eine Skizze des Platzes). Er möchte eine Laterne in einem Punkt $P$ aufstellen, der zwei Bedingungen erfüllt:

1. Er soll vom Brunnen $A$ genauso weit entfernt sein wie vom Brunnen $B$.

2. Er soll von der Straße, die $A$ mit $C$ verbindet, genauso weit entfernt sein wie von der Straße, die $B$ mit $C$ verbindet.

Welche geometrischen Konstruktionen (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende usw.) muss der Architekt ausführen, um den genauen Punkt für die Laterne zu finden? Erkläre die Eigenschaft der Punkte dieser Geraden, die deine Antwort begründet.

Eine Wanduhr zeigt 15:40 Uhr nachmittags.

1. a) Berechne den Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger. Beachte, dass sich der Stundenzeiger mit den Minuten ein Stück weiterbewegt.
2. b) Wie würdest du diesen Winkel nach seiner Öffnung einordnen (spitz, recht, stumpf oder gestreckt)?

Berechne den genauen Winkel, den die Zeiger einer Analoguhr bilden, wenn sie 03:40 Uhr anzeigt.

Tipp: Beachte, dass der Stundenzeiger nicht fest auf der 3 stehen bleibt, sondern sich proportional weiterbewegt, während sich der Minutenzeiger dreht.

1. a) Um wie viel Grad bewegt sich der Stundenzeiger pro Minute weiter?

1. b) Berechne die Position beider Zeiger in Grad bezogen auf 12:00 Uhr und bestimme die Differenz.

In einem Strategiespiel wird ein Laserstrahl an einer Metalloberfläche reflektiert. Der Einfallswinkel $\alpha$ und der Reflexionswinkel $\beta$ sind bekanntlich gleich groß.

Wenn der Gesamtwinkel, den der einfallende und der ausfallende Strahl bilden, $115^\circ 20'$ beträgt, berechne, wie groß der Winkel $\alpha$ ist. Gib anschließend an, ob der Supplementwinkel von $\alpha$ spitz, recht oder stumpf ist.

Beim Entwurf einer Metallkonstruktion für ein Dach gibt es zwei parallele Hauptträger, $r$ und $s$. Ein dritter Querträger $t$ schneidet sie unter einem stumpfen Winkel von $135^\circ \ 20'$. Es wird beschlossen, eine Verstärkung einzubauen, die genau mit der Winkelhalbierenden des spitzen Winkels übereinstimmt, der sich beim Schnitt der Träger $s$ und $t$ ergibt. Welchen Winkel bildet diese Verstärkung im Inneren der Konstruktion mit dem Träger $r$? Begründe, ob es sich um Wechselwinkel oder Stufenwinkel handelt.

Betrachte zwei Nebenwinkel $\widehat{AOB}$ und $\widehat{BOC}$, die den Schenkel $OB$ gemeinsam haben und deren andere Schenkel $OA$ und $OC$ eine gerade Linie bilden (das heißt, $A$, $O$ und $C$ liegen auf einer Geraden und die beiden Winkel ergeben zusammen $180°$). Es werden die Winkelhalbierenden $OX$ des Winkels $\widehat{AOB}$ und $OY$ des Winkels $\widehat{BOC}$ gezeichnet.

Zeige durch eine Rechnung Schritt für Schritt, wie groß der Winkel $\widehat{XOY}$ ist, den beide Winkelhalbierenden bilden. Hängt dieses Ergebnis von der Größe der ursprünglichen Winkel ab? Begründe deine Antwort.