Einteilung der Winkel

Betrachte die folgende Zeichnung und ordne jeden der markierten Winkel nach seiner Öffnung ein (spitz, recht oder stumpf).

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:

1. a) Ein Winkel mit der Größe $180^\circ$ heißt Vollwinkel.
2. b) Ein spitzer Winkel ist immer kleiner als ein rechter Winkel.
3. c) Wenn ein Winkel $91^\circ$ misst, dann ist er ein stumpfer Winkel.
4. d) Der Nullwinkel ist derjenige, der $0^\circ$ misst.

In Ego-Shootern (FPS) ist das „Sichtfeld“ (FOV) der Winkel, den der Spieler auf seinem Bildschirm sehen kann. Ein E-Sport-Spieler richtet seinen Monitor ein und schwankt zwischen drei Einstellungen: $90^\circ$, $115^\circ$ und $180^\circ$.

Ordne jeden dieser Winkel nach seiner Öffnung ein. Ein Bewegungssensor deckt außerdem den restlichen überstumpfen Winkel bis zum Vollwinkel bei der Einstellung $115^\circ$ ab. Wie groß wäre dieser Winkel?

Bestimme in der folgenden Abbildung, welches Winkelpaar Nachbarwinkel und welches Winkelpaar Nebenwinkel sind. Begründe deine Antwort damit, ob sie eine gerade Linie bilden oder nicht.

Zwei Straßen in einem Berliner Viertel kreuzen sich und bilden vier Winkel. Wenn der Winkel $\hat{1}$ und der Winkel $\hat{2}$ Nebenwinkel sind und der Winkel $\hat{1}$ doppelt so groß ist wie der Winkel $\hat{2}$, wie groß ist dann jeder von ihnen? Ordne beide Winkel ein und erkläre, in welcher Beziehung die Winkel $\hat{1}$ und $\hat{3}$ aufgrund ihrer Lage zueinander stehen.

Zeichne einen Winkel von $50^\circ$ und nenne ihn $\hat{P}$. Zeichne anschließend seine Winkelhalbierende.

1. a) Wie groß ist jeder der beiden neu entstandenen Winkel?
2. b) Ordne diese neuen Winkel nach ihrer Größe ein.
3. c) In welcher Lage stehen diese beiden neuen Winkel zueinander? (Wähle zwischen: Scheitelwinkel, Nebenwinkel oder Nachbarwinkel.)

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Betrachte die folgende Figur aus zwei sich schneidenden Geraden. Wenn der Winkel $A$ die Größe $40^\circ$ hat, wie groß ist dann der Winkel $B$, wenn beide Scheitelwinkel sind? Und wie groß sind die Winkel $C$ und $D$, die Supplementwinkel zum Winkel $A$ sind?

Zwei Winkel sind Scheitelwinkel. Die Größe des einen ist durch den Term $2x + 15^\circ$ gegeben, die Größe eines seiner Nebenwinkel ist $x + 45^\circ$.

1. a) Berechne den Wert von $x$, wenn du weißt, dass Nebenwinkel zusammen 180° ergeben.
2. b) Bestimme die Größe aller vier Winkel, die am Scheitelpunkt entstehen, und ordne sie alle nach ihrer Öffnung ein.

Beim Entwurf eines Logos wurden zwei sich schneidende Geraden gezeichnet. Man weiß, dass einer der entstandenen Winkel $x$ Grad misst. Der zu ihm benachbarte Winkel (Nebenwinkel) ist so groß wie das Dreifache von $x$, vermindert um $20^\circ$.

1. a) Stelle eine Gleichung auf, um den Wert von $x$ zu bestimmen.
2. b) Berechne die Größe der vier Winkel, die an der Kreuzung der beiden Geraden entstehen, und ordne sie ein.

Ein Videospiel-Designer stellt die „Sichtkamera" einer Spielfigur ein. Der gesamte Sichtwinkel ist ein Vollwinkel ($360^\circ$). Die Figur hat jedoch direkt hinter sich einen „toten Winkel", der einem Kreissektor von $55^\circ 45' 20''$ entspricht. Berechne die Größe des effektiven Sichtwinkels der Figur und ordne ihn nach seiner Öffnung ein.

Eine Drohne führt eine Drehung aus, um die Richtung zu wechseln. Zuerst dreht sie sich um einen rechten Winkel, dann um das Doppelte eines Winkels von $35^\circ 15' 40''$ in dieselbe Richtung, und schließlich dreht sie um ein Drittel eines gestreckten Winkels zurück.

1. a) Berechne die Größe des gesamten resultierenden Drehwinkels bezogen auf die Ausgangsposition.
2. b) Ordne den resultierenden Winkel als spitz, stumpf oder rechtwinklig ein.

Ordne jedem Winkelpaar die passende Definition zu:

1. Winkel, die zusammen $90^\circ$ ergeben.

2. Winkel, die den Scheitelpunkt und einen Schenkel gemeinsam haben, sich aber nicht überlappen.

3. Winkel, die zusammen einen gestreckten Winkel ($180^\circ$) bilden.

1. a) Benachbarte Winkel.
2. b) Komplementwinkel.
3. c) Supplementwinkel.

Berechne schnell:

1. a) Den Komplementwinkel von $65^\circ$.
2. b) Den Supplementwinkel von $110^\circ$.
3. c) Den Komplementwinkel eines Winkels von $45^\circ$.

Betrachte den Entwurf dieser Skatepark-Rampe. Damit sie sicher ist, müssen der Einfahrtswinkel $\alpha$ und der Neigungswinkel $\beta$ Komplementwinkel sein. Wenn der Einfahrtswinkel $\alpha = 32^\circ 45'$ beträgt, berechne die Größe des Winkels $\beta$ und ordne ihn nach seiner Öffnung ein (spitz, recht oder stumpf).

Bei einem beweglichen Solarpanel müssen nach Vorgabe der Ingenieure zwei Winkel Supplementwinkel sein, sich also zu $180^\circ$ ergänzen. Der erste Winkel, den wir $\hat{A}$ nennen, misst $72^\circ 15' 30''$.

Berechne die Größe des Winkels $\hat{B}$, damit das Panel richtig funktioniert. Gib danach an, ob $\hat{B}$ ein spitzer, stumpfer oder gestreckter Winkel ist.

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und begründe deine Antwort mit einem kleinen Beispiel oder einer Zeichnung:

1. Zwei spitze Winkel sind immer Komplementwinkel.

2. Ein stumpfer Winkel kann keinen Supplementwinkel haben, der ebenfalls stumpf ist.

3. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

4. Ein gestreckter Winkel ist doppelt so groß wie ein rechter Winkel.

Eine Satellitenantenne hat sich aus ihrer ursprünglichen Position verschoben. Der Techniker stellt fest, dass der Fehlerwinkel zur Senkrechten $\hat{E} = 15^\circ 20' 45''$ beträgt.

1. a) Wenn der optimale Empfangswinkel der Komplementwinkel dieses Fehlers ist, wie groß muss der Empfangswinkel sein?
2. b) Ordne den Fehlerwinkel $\hat{E}$ nach seiner Größe ein.
3. c) Wenn wir die Antenne aus ihrer Ausgangsposition um einen Vollwinkel drehen, um wie viel Grad haben wir sie dann gedreht?

Die Summe zweier benachbarter Winkel ist ein stumpfer Winkel von $145^\circ$. Wenn der Unterschied zwischen beiden $25^\circ 30'$ beträgt, berechne die Größe jedes Winkels. Berechne anschließend, wie viel jedem Winkel zu einem gestreckten Winkel fehlt, und ordne diese neuen Winkel ein.

Ein Architekt entwirft eine geneigte Rampe. Der Winkel, den die Rampe mit dem Boden bildet (Steigungswinkel), ist spitz. Sein Komplementwinkel ist genau das Vierfache des Steigungswinkels.

1. a) Bestimme die Größe dieses Steigungswinkels.
2. b) Der Architekt beschließt, die Neigung der Rampe zu verdoppeln. Welche Art von Winkel (spitz, rechter oder stumpf) bildet die Rampe nun mit der Senkrechten (ihr neuer Komplementwinkel)?

Drei Hauptstraßen einer Stadt kreuzen sich wie in der Abbildung auf einem runden Platz. Wir wissen, dass der Winkel $\hat{A}$ und der Winkel $\hat{B}$ Komplementwinkel sind. Wenn der Winkel $\hat{A}$ halb so groß ist wie ein Winkel von $74^\circ 30'$, berechne, wie groß der Supplementwinkel von $\hat{B}$ ist. Ordne alle erhaltenen Winkel ($\hat{A}$, $\hat{B}$ und den Supplementwinkel von $\hat{B}$) nach ihrer Art ein.

Eine Analoguhr zeigt genau 3:00 Uhr. Der Stundenzeiger ist der kurze (orange) und der Minutenzeiger der lange (blaue).

1. a) Welche Art von Winkel bilden Stunden- und Minutenzeiger um 3:00 Uhr?

1. b) Wenn die Uhr bis 3:10 Uhr weiterläuft, wäre der gebildete Winkel dann spitz, recht oder stumpf? Begründe deine Antwort.

Eine Wanduhr zeigt genau 10:00 Uhr morgens.

1. a) Berechne die Größe des kleineren Winkels, den die Uhrzeiger bilden.
2. b) Ordne diesen Winkel nach seiner Öffnung ein.
3. c) Wie heißt der Winkel, den die Zeiger „außen“ bilden (der größere Winkel)? Ordne ihn ebenfalls ein.

Betrachte die Zeiger einer Analoguhr, wenn sie genau 02:40 Uhr anzeigen.

1. a) Berechne den konvexen Winkel zwischen dem Stunden- und dem Minutenzeiger (beachte, dass sich der Stundenzeiger proportional zu den Minuten weiterbewegt).
2. b) Berechne seinen Supplementwinkel und ordne ihn ein.
3. c) Zu welcher genauen Uhrzeit zwischen 02:00 und 03:00 Uhr bilden die Zeiger einen Nullwinkel? (Begründe deine ungefähre Antwort.)