Muster fortsetzen und beschreiben
Mia legt Streichhölzer zu einer Reihe von Quadraten. Ein Quadrat braucht 4 Hölzer, zwei Quadrate brauchen 7 Hölzer. Wie viele Hölzer braucht sie für 50 Quadrate, ohne alle zu legen? Am Ende der Seite weißt du es.
Zahlenfolgen erkennen und fortsetzen
Eine Zahlenfolge ist eine Liste von Zahlen, die nach einer Regel aufgebaut ist. Jede Zahl heißt Glied der Folge. Die Glieder stehen an der 1. Stelle, 2. Stelle, 3. Stelle und so weiter.
Zum Beispiel: $5, 10, 15, 20, \dots$ Hier kommt immer $5$ dazu. Die drei Punkte bedeuten: Es geht immer so weiter.
So findest du die Regel: Rechne die Unterschiede zwischen den Nachbarzahlen aus.
Es gibt verschiedene typische Regeln:
| Folge | Regel in Worten |
|---|---|
| $3, 6, 9, 12, \dots$ | Es kommt immer $3$ dazu. |
| $50, 45, 40, 35, \dots$ | Es geht immer $5$ weg. |
| $1, 2, 4, 8, \dots$ | Jede Zahl wird verdoppelt. |
Setze die Zahlenfolge um drei Glieder fort und beschreibe die Regel in Worten: a) $3, 6, 9, 12, \dots$ b) $50, 45, 40, 35, \dots$ c) $1, 2, 4, 8, \dots$
Setze die Zahlenfolge um drei Glieder fort und beschreibe die Regel in Worten:
- a) $3, 6, 9, 12, \dots$
- b) $50, 45, 40, 35, \dots$
- c) $1, 2, 4, 8, \dots$
Gegeben ist die Folge $2, 5, 8, 11, \dots$ a) Gib die nächsten drei Zahlen an. b) Welche Zahl steht an der 10. Stelle?
Gegeben ist die Folge $2, 5, 8, 11, \dots$
- a) Gib die nächsten drei Zahlen an.
- b) Welche Zahl steht an der 10. Stelle?
Legemuster und Tabellen
Viele Folgen entstehen aus Bildern. Du zählst die Teile in Bild 1, Bild 2, Bild 3 und trägst sie in eine Tabelle ein.
| Quadrate | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Hölzer | 4 | 7 | 10 | 13 | 16 |
Es kommen immer $3$ Hölzer dazu. Warum $3$? Jedes neue Quadrat teilt eine Seite mit dem alten Quadrat und braucht nur noch drei neue Hölzer.
Aus Streichhölzern werden Quadrate in einer Reihe gelegt: Ein Quadrat benötigt $4$ Hölzer, zwei aneinanderliegende Quadrate benötigen $7$ Hölzer, drei Quadrate benötigen…
Aus Streichhölzern werden Quadrate in einer Reihe gelegt: Ein Quadrat benötigt $4$ Hölzer, zwei aneinanderliegende Quadrate benötigen $7$ Hölzer, drei Quadrate benötigen $10$ Hölzer.
- a) Wie viele Hölzer braucht man für vier und für fünf Quadrate?
- b) Beschreibe in Worten, wie die Anzahl der Hölzer wächst.
Ein Sparschwein enthält am Anfang $15 \text{ €}$. Jede Woche kommen $4 \text{ €}$ hinzu. a) Erstelle eine Tabelle für die ersten fünf Wochen. b) Gib einen Term für den…
Ein Sparschwein enthält am Anfang $15 \text{ €}$. Jede Woche kommen $4 \text{ €}$ hinzu.
- a) Erstelle eine Tabelle für die ersten fünf Wochen.
- b) Gib einen Term für den Inhalt nach $n$ Wochen an.
- c) Nach wie vielen Wochen sind mindestens $100 \text{ €}$ im Sparschwein?
Term für die n-te Stelle
Du willst das 100. Glied wissen, ohne 99 Mal zu addieren. Dafür brauchst du einen Term, in dem $n$ die Stelle bedeutet ($n = 1, 2, 3, \dots$).
Bei der Folge $4, 7, 10, 13, \dots$ kommt immer $3$ dazu. Das Glied an der Stelle $n$ ist darum
$$3 \cdot n + 1.$$Probe: $n = 1$ ergibt $3 + 1 = 4$ ✓, $n = 2$ ergibt $6 + 1 = 7$ ✓.
Umgekehrt fragen: Welches Bild hat $51$ Plättchen? Du löst $2 \cdot n + 1 = 51$. Rechne rückwärts: $51 - 1 = 50$, dann $50 : 2 = 25$. Es ist Bild 25.
Ob eine Zahl in der Folge steht, prüfst du genauso. Bei $3 \cdot n + 1$ und $100$: $100 - 1 = 99$, $99 : 3 = 33$. Ja, $100$ steht an der 33. Stelle. Käme keine ganze Zahl heraus, stünde sie nicht in der Folge.
Für die Folge $4, 7, 10, 13, \dots$ gilt der Term $3 \cdot n + 1$, wobei $n$ die Stelle in der Folge ist ($n = 1, 2, 3, \dots$). a) Überprüfe den Term für die ersten…
Für die Folge $4, 7, 10, 13, \dots$ gilt der Term $3 \cdot n + 1$, wobei $n$ die Stelle in der Folge ist ($n = 1, 2, 3, \dots$).
- a) Überprüfe den Term für die ersten vier Stellen.
- b) Berechne die Zahl an der 25. Stelle.
- c) Steht die Zahl $100$ in der Folge? Begründe.
Ein Muster aus Plättchen: Bild 1 hat $3$ Plättchen, Bild 2 hat $5$ Plättchen, Bild 3 hat $7$ Plättchen, Bild 4 hat $9$ Plättchen. a) Wie viele Plättchen hat Bild 8? b)…
Ein Muster aus Plättchen: Bild 1 hat $3$ Plättchen, Bild 2 hat $5$ Plättchen, Bild 3 hat $7$ Plättchen, Bild 4 hat $9$ Plättchen.
- a) Wie viele Plättchen hat Bild 8?
- b) Gib einen Term für die Anzahl der Plättchen in Bild $n$ an.
- c) Welches Bild hat $51$ Plättchen?
Besondere Folgen untersuchen
Nicht jede Folge wächst gleichmäßig. Bei $1, 4, 9, 16, \dots$ sind die Unterschiede $3, 5, 7, \dots$ Sie werden größer. Es sind die Quadratzahlen: $1 \cdot 1,\ 2 \cdot 2,\ 3 \cdot 3,\ 4 \cdot 4$. Der Term lautet $n \cdot n$.
Bilde auch von den Differenzen wieder die Differenzen, dann siehst du mehr Muster.
Bei der Fibonacci-Folge $1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$ gilt: Jedes Glied ist die Summe der beiden vorherigen. Hier hilft kein einfacher Term, sondern die Regel selbst.
Eine Begründung für ein Muster nutzt immer solche Rechenregeln. Das Probieren einzelner Zahlen reicht nicht.
Eine Folge beginnt mit $1, 4, 9, 16, \dots$ a) Beschreibe die Regel in Worten und gib die nächsten drei Zahlen an. b) Gib einen Term für die Zahl an der Stelle $n$ an.…
Eine Folge beginnt mit $1, 4, 9, 16, \dots$
- a) Beschreibe die Regel in Worten und gib die nächsten drei Zahlen an.
- b) Gib einen Term für die Zahl an der Stelle $n$ an.
- c) Die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder bilden ebenfalls eine Folge. Gib die ersten fünf Differenzen an und beschreibe, was dir auffällt.
Für ein Turnier in Bochum werden Tische zu einer langen Reihe zusammengestellt. An einen einzelnen Tisch passen $6$ Personen. Wird ein weiterer Tisch an der Schmalseite…
Für ein Turnier in Bochum werden Tische zu einer langen Reihe zusammengestellt. An einen einzelnen Tisch passen $6$ Personen. Wird ein weiterer Tisch an der Schmalseite angefügt, gehen an der Verbindungsstelle $2$ Plätze verloren, es kommen aber neue Plätze hinzu, sodass zwei Tische $10$ Personen und drei Tische $14$ Personen Platz bieten.
- a) Wie viele Personen finden an $10$ Tischen Platz?
- b) Gib einen Term für $n$ Tische an und begründe ihn am Muster.
- c) Wie viele Tische braucht man mindestens für $150$ Personen?
Gegeben ist die Folge $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$, bei der jede Zahl ab der dritten die Summe der beiden vorherigen ist. a) Berechne die nächsten fünf Glieder. b)…
Gegeben ist die Folge $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$, bei der jede Zahl ab der dritten die Summe der beiden vorherigen ist.
- a) Berechne die nächsten fünf Glieder.
- b) Untersuche, welche der ersten $12$ Glieder gerade sind, und beschreibe das Muster der Positionen.
- c) Kann die Zahl $100$ in der Folge vorkommen? Begründe anhand der Glieder.
Zurück zum Anfang: Bei Mias Streichhölzern kommen immer $3$ Hölzer dazu, der Term ist $3 \cdot n + 1$. Für $50$ Quadrate: $3 \cdot 50 + 1 = 151$ Hölzer.