Vierecke

Im Technisch-Zeichnen-Unterricht hat ein Schüler ein Viereck gezeichnet und drei seiner Innenwinkel gemessen: $110^\circ$, $70^\circ$ und $110^\circ$.

1. a) Die Winkelsumme jedes Vierecks ist immer dieselbe. Wie groß muss der vierte Winkel sein?
2. b) Wenn gegenüberliegende Seiten paarweise gleich lang sind, um welche Figur handelt es sich?

Im Kunstunterricht baut Alexander einen Holzrahmen in Form eines Vierecks für ein Kunstblatt. Er hat mit dem Geodreieck drei der Innenwinkel des Rahmens gemessen: $75^\circ$, $110^\circ$ und $85^\circ$. Um herauszufinden, wie groß der vierte Innenwinkel sein muss, schreibt Alexander in sein Heft:

$$\hat{D} = 180^\circ - (75^\circ + 110^\circ + 85^\circ) = 180^\circ - 270^\circ = -90^\circ$$

Als er ein negatives Ergebnis erhält, merkt er, dass etwas nicht stimmt.

1. a) Finde den Denkfehler von Alexander: Mit welcher anderen geometrischen Figur hat er die Eigenschaft der Winkelsumme verwechselt, und wie lautet die richtige Summe in jedem Viereck?
2. b) Korrigiere seinen Ansatz und berechne die genaue Größe des vierten Winkels.

Entwirf selbst die Größen der vier Innenwinkel eines Vierecks, das alle diese Bedingungen gleichzeitig erfüllt:

1. Die Summe seiner vier Innenwinkel muss der Winkelsumme jedes konvexen Vierecks entsprechen.

2. Keiner seiner vier Winkel darf ein rechter Winkel sein (keiner darf genau $90^\circ$ messen).

3. Es darf kein Parallelogramm sein (das heißt, es darf nicht paarweise gleich große gegenüberliegende Winkel haben).

Schreibe die vier Werte in Grad auf, die du gewählt hast, überprüfe rechnerisch, dass sie die richtige Summe ergeben, und begründe, warum die Figur mit diesen Winkeln kein Parallelogramm sein kann.

Gib an, ob die folgenden Aussagen über Parallelogramme wahr oder falsch sind, und begründe kurz deine Antwort:

1. Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck, weil es 4 rechte Winkel hat.

2. Eine Raute ist ein Quadrat, weil sie 4 gleich lange Seiten hat.

3. Ein allgemeines Parallelogramm (ohne rechte Winkel und mit unterschiedlich langen benachbarten Seiten) hat keine gleich langen Diagonalen.

In einer Grafikdesign-Werkstatt entwirft Marcus ein Logo in Form eines Parallelogramms (kein Rechteck, keine Raute). Einer der Innenwinkel des Parallelogramms misst $65^\circ$. Berechne begründet die Größe der anderen drei Winkel des Logos.

In einem Parallelogramm beträgt die Summe zweier gegenüberliegender Winkel $130^\circ$.

1. Wie groß ist jeder dieser beiden Winkel?

2. Wie groß sind die beiden anderen Winkel des Parallelogramms?

3. Die längere Seite des Parallelogramms misst $12 \text{ cm}$ und der Umfang beträgt $38 \text{ cm}$. Wie lang ist die kürzere Seite?

Wir entwerfen das Logo für ein neues E-Sports-Team. Das Hauptlogo hat die Form des Vierecks, das du in der Zeichnung siehst. Betrachte seine Seiten und Winkel und beantworte:

1. a) Wie heißt dieses Viereck genau?
2. b) Zu welcher Gruppe gehört es: Parallelogramme, Trapeze oder allgemeine Vierecke? Begründe deine Antwort anhand der Parallelität seiner Seiten.

Die Platte eines Klassentisches hat die Form eines Vierecks. Wenn du genau hinsiehst, hat sie zwei parallele Seiten unterschiedlicher Länge, und die beiden anderen Seiten sind gleich lang.

1. a) Wie wird dieses Viereck eingeordnet?
2. b) Ist es ein Parallelogramm? Erkläre, warum.

Der Querschnitt einer neuen Skaterampe hat die Form eines gleichschenkligen Trapezes. Die obere Grundseite misst $3\text{ m}$, die untere Grundseite misst $7\text{ m}$ und die Winkel zwischen der unteren Grundseite und den Schenkeln betragen $72^\circ$. Gib an, wie groß die beiden oberen Winkel sind, und begründe deine Antwort mit den Eigenschaften von Trapezen.

Beim Bau einer Rampe für einen Skatepark wird eine Konstruktion in Form eines rechtwinkligen Trapezes verwendet. Der stumpfe Winkel der Konstruktion misst $125^\circ$. Berechne die Größe aller Innenwinkel dieses Trapezes und begründe deine Antwort mit den Eigenschaften von Parallelen, die von einer Geraden geschnitten werden.

Betrachte die folgenden Aussagen über Vierecke und entscheide, ob sie wahr oder falsch sind. Begründe deine Antwort:

1. „Ein Quadrat ist zugleich ein Rechteck und eine Raute.“

2. „Ein rechtwinkliges Trapez hat genau vier rechte Winkel.“

3. „In einem allgemeinen Parallelogramm (weder Rechteck noch Raute) sind die Diagonalen gleich lang und stehen senkrecht zueinander.“

4. „Jedes Parallelogramm hat zwei Paare paralleler Seiten.“

Betrachte die Diagonalen der folgenden Vierecke. Eine der wichtigsten Eigenschaften ist, ob sie senkrecht zueinander stehen (sie bilden $90^\circ$) und ob sie sich gegenseitig halbieren.

Bestimme, welche dieser Zeichnungen die Diagonalen einer Raute und welche die eines Rechtecks darstellt. Begründe deine Wahl.

Ordne die folgenden Vierecke ausschließlich anhand der Beschreibung ihrer Diagonalen ein:

• Figur A: Ihre Diagonalen sind verschieden lang, stehen senkrecht zueinander und halbieren sich gegenseitig.

• Figur B: Ihre Diagonalen sind gleich lang, stehen nicht senkrecht zueinander und halbieren sich gegenseitig.

• Figur C: Ihre Diagonalen sind gleich lang, stehen senkrecht zueinander und halbieren sich gegenseitig.

Ein Architekt entwirft ein Fenster in Form einer Raute. Damit die Konstruktion stabil ist, hat er zwei Holzleisten angebracht, die mit den Diagonalen der Raute übereinstimmen. Die längere Diagonale misst $160\text{ cm}$ und die kürzere Diagonale misst $120\text{ cm}$. Da sie sich kreuzen, teilen die Diagonalen die Raute in vier gleiche Dreiecke.

1. Um welche Art von Dreiecken handelt es sich? (nach ihren Winkeln)

2. Wenn die Seite der Raute $100\text{ cm}$ misst, berechne den Gesamtumfang des Fensters.

Finde heraus, von welchem Viereck jeweils die Rede ist, indem du dich auf die Diagonalen stützt:

1. „Meine Diagonalen sind gleich lang und schneiden sich senkrecht in ihrem Mittelpunkt.“

2. „Meine Diagonalen sind gleich lang und schneiden sich in ihrem Mittelpunkt, stehen aber nicht senkrecht aufeinander.“

3. „Meine Diagonalen sind nicht gleich lang, stehen aber senkrecht aufeinander und schneiden sich in ihrem Mittelpunkt.“

4. „Ich habe zwei parallele Seiten und zwei gleich lange Diagonalen, die sich aber nicht in ihren Mittelpunkten schneiden.“

Begründe deine Antwort, indem du für jeden Fall eine kleine Skizze der Diagonalen anfertigst.

In einer Diskussion im Unterricht darüber, wie man Vierecke anhand ihrer Diagonalen einteilt, behauptet Sergio mit Nachdruck:

1. „Jedes Viereck, dessen beide Diagonalen senkrecht zueinander stehen, ist zwingend eine Raute.“

2. „Wenn die beiden Diagonalen außerdem senkrecht zueinander stehen und genau gleich lang sind, ist die Figur mit Sicherheit ein Quadrat.“

Deine Aufgabe ist es, beide Behauptungen geometrisch genau zu untersuchen:

1. a) Zeige, dass die erste Behauptung falsch ist, indem du ein bekanntes Viereck nennst und beschreibst, das senkrechte Diagonalen hat, aber keine Raute ist. Erkläre, welche zusätzliche Bedingung die Diagonalen bezüglich ihres Schnittpunkts erfüllen müssen, damit es sicher eine Raute ist.
2. b) Zeige, dass auch die zweite Behauptung falsch ist, indem du beschreibst, wie man ein Viereck konstruiert, das senkrechte und gleich lange Diagonalen hat, aber kein Quadrat ist (überlege, was passiert, wenn sich die Diagonalen nicht in ihren Mittelpunkten schneiden, wie bei einem Drachenviereck).
3. c) Formuliere klar und vollständig die Liste der Bedingungen, die die Diagonalen eines Vierecks gleichzeitig erfüllen müssen, damit die Figur sicher ein Quadrat ist.

Das Display eines neuen Smartphone-Modells hat die Form eines Rechtecks. Der Hersteller gibt an, dass seine Breite $7\text{ cm}$ beträgt und seine Höhe $15\text{ cm}$.

1. a) Berechne den Umfang des Smartphones (die Länge des Metallrahmens, der das Display umgibt).
2. b) Wenn wir eine Schutzfolie anbringen wollen, die die gesamte Fläche bedeckt, wie groß ist dann der Flächeninhalt dieser Folie in $\text{cm}^2$?

Berechne den Flächeninhalt der schraffierten Fläche im folgenden Raster, wobei jedes kleine Quadrat die Seitenlänge $1\text{ cm}$ hat. Zur Vereinfachung zerlege die Figur in ein Rechteck und ein Dreieck.

Ein Telekommunikationsunternehmen möchte für ein neues Smartphone-Modell ein Display in Form eines Rechtecks entwerfen. Der Designer hat festgelegt, dass die Breite doppelt so lang sein soll wie die Höhe. Wenn der Gesamtumfang des Displays $36\text{ cm}$ betragen soll, welche Maße (Breite und Höhe) hat das Display?

Das Display eines neuen Smartphone-Modells ist rechteckig. Der Hersteller gibt an, dass der gesamte Umfang des Displays $48 \text{ cm}$ beträgt und dass die Breite genau doppelt so groß ist wie die Höhe.

1. Berechne die Abmessungen (Breite und Höhe) des Displays.

2. Wenn man eine Schutzfolie anbringen möchte, die $0,50 \text{ €}$ pro $\text{cm}^2$ Fläche kostet, wie viel kostet es, das ganze Display zu schützen?

Ein quadratischer Garten mit der Seitenlänge $20 \text{ Meter}$ hat in der Mitte einen ebenfalls quadratischen Brunnen. Der Abstand von jeder Seite des Gartens zur parallelen Seite des Brunnens beträgt $6 \text{ Meter}$.

1. Wie lang ist die Seite des Brunnens in der Mitte?

2. Berechne den Flächeninhalt des Wegbereichs (der Teil des Gartens, den der Brunnen nicht einnimmt).

Zeichne in dein Heft ein Quadrat mit der Seitenlänge $4\text{ cm}$, wie in der Abbildung.

1. a) Zeichne alle Symmetrieachsen ein. Wie viele hast du insgesamt gefunden?
2. b) Schneiden sich alle Achsen im selben Punkt? Wie heißt dieser Punkt?

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Zeichne in dein Heft ein beliebiges Viereck, das keine parallelen Seiten hat. Bestimme den Mittelpunkt jeder der vier Seiten und verbinde sie der Reihe nach entlang des Randes.

1. Welche besondere geometrische Figur entsteht dabei immer im Inneren?

2. Wenn die Seiten des ursprünglichen Vierecks $8\text{ cm}$, $10\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ und $14\text{ cm}$ messen, wie groß ist der Umfang des ursprünglichen Vierecks?

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Ein Grafikdesign-Unternehmen entwirft ein Logo. Es hat ein beliebiges Viereck gezeichnet und die Mittelpunkte jeder seiner Seiten markiert. Verbindet man diese Mittelpunkte der Reihe nach, entsteht im Inneren ein neues Viereck.

1. Welche Art von Viereck entsteht im Inneren immer, unabhängig von der Form des ursprünglichen Vierecks?

2. Wenn der Flächeninhalt des äußeren Vierecks $120 \text{ cm}^2$ beträgt, wie groß ist dann der Flächeninhalt der Figur, die durch das Verbinden der Mittelpunkte entsteht?

In einer Mathematikarbeit soll Lea den fehlenden Winkel eines Papierdrachens berechnen, der die Form eines Drachenvierecks hat. Die ungleichen Winkel messen $110^\circ$ (der obere) und $40^\circ$ (der untere). Wenn die beiden anderen Winkel gleich groß sind, wie groß ist jeder von ihnen? Denke daran, die Eigenschaft der Winkelsumme im Viereck zu verwenden.

Das Dach einer Industriehalle in einem Gewerbegebiet in Essen hat von vorn gesehen die Form eines gleichschenkligen Trapezes. Die beiden schrägen Seiten sind genau gleich lang, und der untere Träger (die längere Grundseite) ist waagerecht und breiter als der obere Träger (die kürzere Grundseite). Man weiß, dass die beiden Winkel zwischen den schrägen Seiten und der unteren Grundseite jeweils $35^\circ$ betragen.

1. a) Schätze begründet, bevor du genau rechnest, ob die beiden anderen Winkel (an der oberen Grundseite) spitz oder stumpf sein werden, und erkläre, ob jeder von ihnen mehr oder weniger als $120^\circ$ messen müsste.
2. b) Berechne den genauen Wert der beiden oberen Winkel mithilfe der Winkelsumme im Viereck und der Symmetrie des gleichschenkligen Trapezes.
3. c) Vergleiche deine genaue Rechnung mit deiner Schätzung aus Teilaufgabe a) und beurteile, ob deine anschauliche Überlegung zutreffend war.

Ein Fliesenhersteller in Nordrhein-Westfalen entwirft Fliesen in Form eines Parallelogramms (mit ungleichen benachbarten Seiten und ohne rechte Winkel). Im technischen Katalog steht, dass der kleinste seiner Innenwinkel $50^\circ$ misst. Um die Größe der anderen drei Winkel zu bestimmen, gehen zwei Designer unterschiedliche Wege:

• Leas Strategie: Sie weiß, dass die vier Innenwinkel zusammen $360^\circ$ ergeben und gegenüberliegende Winkel gleich groß sind; daher stellt sie die Gleichung $2 \cdot 50^\circ + 2 \cdot \hat{B} = 360^\circ$ auf und löst nach $\hat{B}$ auf.

• Leons Strategie: Er nutzt, dass gegenüberliegende Seiten parallel sind und deshalb zwei benachbarte Winkel Ergänzungswinkel sind; er berechnet direkt $\hat{B} = 180^\circ - 50^\circ$.

1. a) Wende beide Methoden getrennt an, um den Winkel $\hat{B}$ zu berechnen, und prüfe, ob sie dasselbe Ergebnis liefern.
2. b) Vergleiche beide Wege: Welcher von beiden braucht weniger Rechenschritte und stützt sich direkter auf die Definition des Parallelogramms? Begründe deine Antwort, indem du erklärst, warum benachbarte Winkel zusammen $180^\circ$ ergeben.

Ein Künstler entwirft ein Mosaik aus Steinen in Form einer Raute. Er weiß, dass die beiden Diagonalen der Raute zusammen $28 \text{ cm}$ ergeben und dass die längere Diagonale $4 \text{ cm}$ länger ist als die kürzere.

1. Berechne die Länge beider Diagonalen.

2. Berechne den Flächeninhalt eines einzelnen Mosaiksteins.

3. Wenn das gesamte Mosaik aus $50$ gleichen Steinen besteht, wie viele Quadratdezimeter ($\text{dm}^2$) Fläche bedeckt es insgesamt?

Ein Bewässerungsverband bei Münster verwaltet ein Bewässerungsbecken, dessen Oberfläche die Form eines Vierecks mit den aufeinanderfolgenden Eckpunkten $A$, $B$, $C$ und $D$ hat. Eine Vermessung liefert folgende Daten zu den Uferseiten:

• Das Ufer $AB$ ist parallel zum Ufer $CD$.

• Die Ufer $BC$ und $DA$ sind nicht parallel zueinander.

• An der Ecke $A$ trifft der Zulaufkanal rechtwinklig auf das Ufer $AB$, sodass $\hat{A} = 90^\circ$.

• An der Ecke $C$ zeigt der Pegelsensor einen Innenwinkel von $\hat{C} = 130^\circ$ an.

1. a) Ordne die geometrische Form des Beckens so genau wie möglich ein (Oberbegriff, Art und Unterart des Vierecks) und begründe jeden Begriff anhand der Angaben.
2. b) Berechne begründet die Größe der Innenwinkel an den Eckpunkten $B$ und $D$. Erkläre, auf welche geometrischen Eigenschaften du dich stützt (Parallelität von Seiten und Winkelsumme).
3. c) Ein Arbeiter behauptet: „Da das Ufer $AB$ parallel zu $CD$ ist und der Winkel bei $A$ $90^\circ$ beträgt, muss auch der Winkel bei $D$ zwingend $90^\circ$ betragen.“ Zeige, ob seine Behauptung wahr oder falsch ist, indem du die Eigenschaften von Parallelen verwendest, die von einer Geraden geschnitten werden.