Transformator und Hochspannungsübertragung
Dein Laptop-Netzteil bekommt 230 V aus der Steckdose und liefert nur 19 V. Und das Kraftwerk im Ruhrgebiet schickt seinen Strom mit 380 000 V durch die Landschaft. Wie lassen sich Spannungen so verändern, und warum nimmt man für lange Strecken so hohe Spannungen? Am Ende der Seite beantwortest du beide Fragen.
Effektivwert der Wechselspannung
Die Netzspannung ist eine Wechselspannung: $U(t) = \hat{U}\sin(\omega t)$. Der Scheitelwert $\hat{U}$ ist der größte Momentanwert. Zum Rechnen mit Leistung braucht man einen Wert, der sich wie eine Gleichspannung verhält.
An einem Widerstand $R$ gilt für die momentane Leistung $P(t) = \dfrac{U(t)^2}{R} = \dfrac{\hat{U}^2}{R}\sin^2(\omega t)$. Da $\sin^2$ zwischen 0 und 1 schwankt und im Mittel $\tfrac12$ beträgt, ist die mittlere Leistung halb so groß wie der Maximalwert: $\overline{P} = \dfrac{\hat{U}^2}{2R}$.
Der Effektivwert $U_\text{eff}$ ist die Gleichspannung, die am selben Widerstand dieselbe mittlere Leistung umsetzt: $\dfrac{U_\text{eff}^2}{R} = \dfrac{\hat{U}^2}{2R}$.
Ein Wechselspannungsnetz in einem Haushalt in Münster liefert eine Effektivspannung von $U_\text{eff} = 230\ \text{V}$. a) Berechnen Sie den Scheitelwert…
Ein Wechselspannungsnetz in einem Haushalt in Münster liefert eine Effektivspannung von $U_\text{eff} = 230\ \text{V}$.
- a) Berechnen Sie den Scheitelwert $\hat{U} = \sqrt{2}\cdot U_\text{eff}$ der Spannung.
- b) Berechnen Sie den Effektivwert der Stromstärke, wenn an diese Spannung ein Heizlüfter mit dem Widerstand $R = 26\ \Omega$ angeschlossen ist.
Eine Wechselspannung hat den zeitlichen Verlauf $U(t) = \hat{U}\sin(2\pi f t)$ mit $\hat{U} = 325\ \text{V}$ und $f = 50\ \text{Hz}$. An die Spannungsquelle ist ein…
Eine Wechselspannung hat den zeitlichen Verlauf $U(t) = \hat{U}\sin(2\pi f t)$ mit $\hat{U} = 325\ \text{V}$ und $f = 50\ \text{Hz}$. An die Spannungsquelle ist ein Widerstand $R = 100\ \Omega$ angeschlossen.
- a) Berechnen Sie die momentane Leistung $P(t)$ und ihren Maximalwert.
- b) Begründen Sie, dass die mittlere Leistung der Hälfte des Maximalwerts entspricht, und berechnen Sie sie.
- c) Leiten Sie daraus den Effektivwert der Spannung her und vergleichen Sie ihn mit $\hat{U}/\sqrt{2}$.
Der Transformator
Ein Transformator besteht aus zwei Spulen auf einem gemeinsamen Eisenkern: der Primärspule ($N_1$ Windungen) und der Sekundärspule ($N_2$ Windungen). Fließt in der Primärspule ein Wechselstrom, entsteht ein sich ständig änderndes Magnetfeld. Der Eisenkern leitet es durch die Sekundärspule. Dort ändert sich der magnetische Fluss, und nach dem Induktionsgesetz wird eine Induktionsspannung erzeugt.
Beide Spulen werden vom selben Fluss durchsetzt. Pro Windung wird dieselbe Spannung induziert, daher verhalten sich die Spannungen wie die Windungszahlen.
Ein Transformator funktioniert nur mit Wechselspannung. Bei Gleichspannung ändert sich der Fluss nicht, also gilt $\dot\Phi = 0$ und es wird nichts induziert.
Ein idealer Transformator in einem Schulexperiment hat eine Primärspule mit $N_1 = 600$ Windungen und eine Sekundärspule mit $N_2 = 150$ Windungen. Die Primärspannung…
Ein idealer Transformator in einem Schulexperiment hat eine Primärspule mit $N_1 = 600$ Windungen und eine Sekundärspule mit $N_2 = 150$ Windungen. Die Primärspannung beträgt $U_1 = 24\ \text{V}$.
- a) Berechnen Sie die Sekundärspannung $U_2$.
- b) Geben Sie an, ob es sich um einen Abwärts- oder Aufwärtstransformator handelt.
Ein idealer Transformator wandelt $U_1 = 230\ \text{V}$ in $U_2 = 12\ \text{V}$ um. Auf der Sekundärseite fließt ein Strom von $I_2 = 2,5\ \text{A}$. a) Berechnen Sie…
Ein idealer Transformator wandelt $U_1 = 230\ \text{V}$ in $U_2 = 12\ \text{V}$ um. Auf der Sekundärseite fließt ein Strom von $I_2 = 2,5\ \text{A}$.
- a) Berechnen Sie die Leistung auf der Sekundärseite.
- b) Berechnen Sie die Stromstärke $I_1$ auf der Primärseite.
Der reale Transformator: Verluste und Wirkungsgrad
Reale Transformatoren erreichen oft über 95 %, aber nie 100 %. Der Wirkungsgrad ist
$$\eta = \dfrac{P_\text{ab}}{P_\text{auf}} = \dfrac{U_2 I_2}{U_1 I_1}.$$Ursachen der Verluste:
-
Stromwärme in den Kupferwicklungen ($P = I^2 R$),
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Wirbelströme im Eisenkern: Der sich ändernde Fluss induziert auch im Kern Kreisströme, die ihn erwärmen. Deshalb besteht der Kern aus gegeneinander isolierten Blechen: Das unterbricht die Kreisbahnen, die Wirbelströme werden klein.
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Ummagnetisierung des Eisens (Hysterese) und Streufluss, der nicht durch die Sekundärspule läuft.
Ein Transformator eines Steckernetzteils für einen Laptop in Hamburg nimmt primärseitig bei $U_1 = 230\ \text{V}$ die Stromstärke $I_1 = 0,40\ \text{A}$ auf und gibt…
Ein Transformator eines Steckernetzteils für einen Laptop in Hamburg nimmt primärseitig bei $U_1 = 230\ \text{V}$ die Stromstärke $I_1 = 0,40\ \text{A}$ auf und gibt sekundärseitig $U_2 = 19\ \text{V}$ bei $I_2 = 4,2\ \text{A}$ ab.
- a) Berechnen Sie die aufgenommene und die abgegebene Leistung.
- b) Berechnen Sie den Wirkungsgrad des Transformators.
- c) Nennen Sie zwei physikalische Ursachen für die Verluste in einem realen Transformator.
Ein realer Transformator mit $N_1 = 1.100$ und $N_2 = 55$ Windungen wird primärseitig an $U_1 = 230\ \text{V}$ betrieben. Sekundärseitig ist ein ohmscher Verbraucher mit…
Ein realer Transformator mit $N_1 = 1.100$ und $N_2 = 55$ Windungen wird primärseitig an $U_1 = 230\ \text{V}$ betrieben. Sekundärseitig ist ein ohmscher Verbraucher mit $R = 1,5\ \Omega$ angeschlossen. Die gemessene Primärstromstärke beträgt $I_1 = 0,62\ \text{A}$. Die Sekundärspannung entspricht dem idealen Wert.
- a) Berechnen Sie die Sekundärspannung und die Sekundärstromstärke.
- b) Bestimmen Sie den Wirkungsgrad.
- c) Begründen Sie, warum der Eisenkern des Transformators aus voneinander isolierten Blechen aufgebaut wird.
Hochspannungsübertragung
Ein Kraftwerk soll die Leistung $P$ über eine Freileitung mit dem Widerstand $R$ übertragen. Mit $P = U\cdot I$ fließt die Stromstärke $I = P/U$. In der Leitung geht die Verlustleistung
$$P_V = I^2 R = \dfrac{P^2}{U^2}\,R$$als Wärme verloren. Dabei ist $U$ die Übertragungsspannung (Näherung: der Spannungsabfall in der Leitung ist klein dagegen).
Verdoppelt man die Spannung, sinkt $P_V$ auf ein Viertel. Zehnfache Spannung heißt hundertmal weniger Verlust.
Im Netz erzeugt der Generator etwa 10–30 kV. Aufwärtstransformatoren heben die Spannung für die Fernleitung (z. B. 380 kV, Höchstspannung im Drehstromnetz; SuedLink ist dagegen als Gleichstromleitung geplant). Abwärtstransformatoren senken sie in mehreren Stufen auf 230 V im Haushalt. Das geht nur mit Wechselspannung, und das ist der Grund für unser Wechselstromnetz.
Ein Kraftwerk überträgt die Leistung $P = 50\ \text{MW}$ über eine Freileitung mit dem Gesamtwiderstand $R = 8,0\ \Omega$. a) Berechnen Sie die Stromstärke in der…
Ein Kraftwerk überträgt die Leistung $P = 50\ \text{MW}$ über eine Freileitung mit dem Gesamtwiderstand $R = 8,0\ \Omega$.
- a) Berechnen Sie die Stromstärke in der Leitung und die Verlustleistung $P_V = I^2 R$ bei einer Übertragungsspannung von $110\ \text{kV}$.
- b) Berechnen Sie dieselben Größen bei $380\ \text{kV}$.
- c) Erläutern Sie anhand der Ergebnisse, warum Energie über große Entfernungen mit Hochspannung übertragen wird.
In einem Modellexperiment zur Freileitung wird eine Glühlampe ($12\ \text{V}$, $24\ \text{W}$) über zwei lange Leitungen mit dem Gesamtwiderstand $2,0\ \Omega$ an ein…
In einem Modellexperiment zur Freileitung wird eine Glühlampe ($12\ \text{V}$, $24\ \text{W}$) über zwei lange Leitungen mit dem Gesamtwiderstand $2,0\ \Omega$ an ein Netzgerät angeschlossen. Anschließend wird dieselbe Anordnung mit je einem Transformator (Übersetzungsverhältnis $1:10$ am Anfang, $10:1$ am Ende der Leitung) betrieben. Die Lampe soll jeweils mit ihrer Nennleistung leuchten. Die Transformatoren seien ideal.
- a) Berechnen Sie die Stromstärke in der Leitung und die Verlustleistung in der Leitung ohne Transformatoren.
- b) Berechnen Sie die Stromstärke in der Leitung und die Verlustleistung in der Leitung mit Transformatoren.
- c) Vergleichen Sie die Ergebnisse und deuten Sie sie.
Ein Windpark in Schleswig-Holstein speist $P = 30\ \text{MW}$ über eine $60\ \text{km}$ lange Doppelleitung ein. Der Leitungswiderstand beträgt $0,12\ \Omega$ pro…
Ein Windpark in Schleswig-Holstein speist $P = 30\ \text{MW}$ über eine $60\ \text{km}$ lange Doppelleitung ein. Der Leitungswiderstand beträgt $0,12\ \Omega$ pro Kilometer (für die gesamte Hin- und Rückleitung). Die Verlustleistung in der Leitung soll höchstens $2,0\ \%$ der übertragenen Leistung betragen.
- a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Leitung.
- b) Berechnen Sie die maximal zulässige Stromstärke.
- c) Bestimmen Sie die dafür mindestens erforderliche Übertragungsspannung (Näherung: Spannungsabfall in der Leitung vernachlässigbar).
- d) Beurteilen Sie, welche Folgen es hätte, die Spannung zu halbieren.
Mit Transformatoren an beiden Enden der Leitung (Modellexperiment): Die Lampe braucht die Leistung $P$ bei ihrer Nennspannung $U_\text{L}$; der Spannungsabfall in der Leitung wird als klein vernachlässigt (Näherung). Am Anfang der Leitung setzt ein Aufwärtstransformator (Übersetzungsverhältnis $1:10$) die Spannung auf $10\cdot U_\text{L}$ hinauf. In der Leitung fließt dann nur ein Zehntel der Stromstärke. Am Ende setzt ein Abwärtstransformator ($10:1$) die Spannung wieder auf $U_\text{L}$ herunter. Die Verlustleistung ist $P_V = I_\text{Leitung}^2\cdot R_\text{Leitung}$ mit dem kleinen Leitungsstrom. Beispiel: $P = 10\,\mathrm{W}$ bei $U_\text{L} = 5\,\mathrm{V}$ und Leitungswiderstand $1{,}0\,\Omega$. Ohne Transformatoren (Näherung): $I = 2{,}0\,\mathrm{A}$, $P_V \approx 4{,}0\,\mathrm{W}$. Mit Transformatoren liegen in der Leitung $50\,\mathrm{V}$, also $I = 10\,\mathrm{W}/50\,\mathrm{V} = 0{,}20\,\mathrm{A}$ und $P_V = (0{,}20\,\mathrm{A})^2\cdot 1{,}0\,\Omega = 0{,}040\,\mathrm{W}$.
Zurück zum Anfang: Das Laptop-Netzteil senkt die Spannung durch ein Windungsverhältnis, das Kraftwerk steigert sie, damit bei kleiner Stromstärke wenig Leistung in der Leitung verloren geht.