Elektromagnetischer Schwingkreis

Der Schwingkreis: Energie pendelt hin und her

Ein elektromagnetischer Schwingkreis besteht aus einem Kondensator (Kapazität $C$) und einer Spule (Induktivität $L$), die zu einem geschlossenen Kreis verbunden sind.

Wir laden den Kondensator auf und schließen dann den Kreis. Was passiert?

1. Start: Der Kondensator ist voll geladen, $U = U_0$, es fließt noch kein Strom. Die Energie steckt im elektrischen Feld: $E_\mathrm{el} = \tfrac12 C U^2$.

2. Entladen: Der Kondensator entlädt sich über die Spule. Der Strom wächst, die Spule baut ein Magnetfeld auf (die Induktion bremst den Anstieg).

3. Nach einer Viertelperiode: Der Kondensator ist leer, $U = 0$, der Strom ist maximal. Die ganze Energie steckt im Magnetfeld: $E_\mathrm{mag} = \tfrac12 L I^2$.

4. Weiter: Das zusammenbrechende Magnetfeld induziert eine Spannung, die den Strom weitertreibt. Der Kondensator wird mit umgekehrter Polung wieder aufgeladen.

5. Nach einer halben Periode: Der Kondensator ist wieder voll geladen, aber umgekehrt gepolt. Dann läuft alles rückwärts.

Das ist das elektrische Gegenstück zum Federpendel: Kondensator ↔ gespannte Feder, Spule ↔ bewegte Masse.

Eigenfrequenz und Thomson-Gleichung

Wie schnell schwingt der Kreis? Je größer $L$, desto langsamer baut sich der Strom auf und ab (träger). Je größer $C$, desto mehr Ladung muss hin und her fließen, desto länger dauert es. Beides verlängert die Periodendauer.

Die Gleichung gilt für den ungedämpften Kreis (und nähert den schwach gedämpften gut). Die Frequenz hängt nicht von der Anfangsspannung ab, nur von $L$ und $C$.

Schwingkreise im Einsatz: Abstimmung und Sensor

Das Radio vom Anfang: Ein Drehkondensator verändert $C$, damit ändert sich $f_0$. Stimmt $f_0$ mit der Frequenz des Senders überein, schwingt der Kreis besonders stark mit (Resonanz). Andere Sender regen ihn kaum an.

Die Kapazität eines Plattenkondensators ist

Vergrößert man den Plattenabstand $d$, sinkt $C$ und $f_0$ steigt. Schiebt man ein Dielektrikum ($\varepsilon_r>1$) ein, steigt $C$ und $f_0$ sinkt. So lassen sich Abstände, Füllstände oder Feuchtigkeit über eine Frequenzänderung messen.

Messung am Oszilloskop und Dämpfung

Auf dem Oszilloskop sieht man die Kondensatorspannung $U_C(t)$ als Sinuskurve. Um $T$ genau zu messen, misst man mehrere Perioden und teilt: Dauern 10 Schwingungen $6{,}3\,\mathrm{ms}$, ist $T = 0{,}63\,\mathrm{ms}$. Dann folgt $C = \dfrac{T^2}{4\pi^2 L}$.

In echten Schwingkreisen nimmt die Amplitude ab: Die Spule und die Leitungen haben einen Widerstand $R$. Dort wird Energie in Wärme umgewandelt. Man spricht von einer gedämpften Schwingung. Die Frequenz bleibt bei schwacher Dämpfung nahezu gleich.

Oft verkleinert sich die Amplitude pro Periode um denselben Faktor $q<1$: $\hat U_{k+1} = q\cdot\hat U_k$. Das ist eine geometrische Folge. Da die Energie proportional zu $\hat U^2$ ist, gilt für sie der Faktor $q^2$.

Soll die Schwingung ungedämpft bleiben, muss man die Verluste ausgleichen. Bei einer Rückkopplung (Meißner-Schaltung) steuert der Schwingkreis selbst einen Transistor, der im richtigen Takt, also immer in der passenden Phase, Energie aus einer Spannungsquelle nachliefert. So entstehen ungedämpfte Schwingungen für Sender und Oszillatoren.

Auf einen Blick