Röntgenspektrum
Beim Zahnarzt in Köln zeigt ein Röntgenbild die Zähne deutlich und das Zahnfleisch kaum. Wie entsteht eine Strahlung, die durch Gewebe dringt, und warum zeigt ihr Spektrum eine scharfe untere Grenze der Wellenlänge? Am Ende der Seite beantworten Sie das.
Erzeugung in der Röntgenröhre
In einer Röntgenröhre treten Elektronen aus einer geheizten Kathode aus. Zwischen Kathode und Anode liegt im Vakuum die Beschleunigungsspannung $U$ (typisch 20 kV bis 150 kV). Die Elektronen treffen mit hoher Energie auf die Anode und werden dort abgebremst. Dabei entsteht die Röntgenstrahlung.
Ein Elektron (Ladung $e$) durchläuft die Spannung $U$ und gewinnt dabei die Energie
$$E_\text{kin} = e \cdot U .$$Umrechnung: $1\ \text{eV} = 1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Das gilt, weil die Energie $e\cdot 1\ \text{V}$ der Ladung $e = 1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}$ entspricht.
In einer Röntgenröhre werden Elektronen mit der Spannung $U = 40\ \text{kV}$ beschleunigt. Berechnen Sie die kinetische Energie der Elektronen beim Auftreffen auf die…
In einer Röntgenröhre werden Elektronen mit der Spannung $U = 40\ \text{kV}$ beschleunigt. Berechnen Sie die kinetische Energie der Elektronen beim Auftreffen auf die Anode in eV und in J ($e = 1,60\cdot10^{-19}\ \text{C}$).
Bremsspektrum und Grenzwellenlänge
Treffen die Elektronen auf die Anode, werden sie im Feld der Atomkerne abgebremst. Die verlorene Energie wird als Photon abgestrahlt. Jedes Elektron verliert seine Energie anders: manche in einem Schritt, andere in vielen kleinen. Deshalb entstehen Photonen mit allen Energien von nahe null bis zu einem Höchstwert. Das ergibt ein kontinuierliches Spektrum, die Bremsstrahlung.
Die größte Photonenenergie entsteht, wenn ein Elektron seine gesamte Energie auf ein einziges Photon überträgt:
$$h f_\text{max} = e U \quad\Rightarrow\quad \lambda_\text{min} = \frac{h c}{e U}.$$Kürzere Wellenlängen kann es nicht geben, da kein Photon mehr Energie haben kann als das Elektron. Das ist die Grenzwellenlänge (Duane-Hunt'sches Gesetz).
Weil $\lambda_\text{min}\propto 1/U$ gilt, liefert die Auftragung von $\lambda_\text{min}$ gegen $1/U$ eine Ursprungsgerade mit der Steigung $h c/e$. So lässt sich das Plancksche Wirkungsquantum $h$ bestimmen: $h = \dfrac{e}{c}\cdot\text{Steigung}$.
Die Beschleunigungsspannung einer Röntgenröhre beträgt $U = 25\ \text{kV}$. Berechnen Sie die Grenzwellenlänge $\lambda_\text{min}=\dfrac{h c}{e U}$…
Die Beschleunigungsspannung einer Röntgenröhre beträgt $U = 25\ \text{kV}$. Berechnen Sie die Grenzwellenlänge $\lambda_\text{min}=\dfrac{h c}{e U}$ ($h=6,63\cdot10^{-34}\ \text{Js}$, $c = 3,00\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, $e = 1,60\cdot10^{-19}\ \text{C}$).
Ein Schüler bestimmt mit einer Röntgenröhre das Plancksche Wirkungsquantum. Er misst die Grenzwellenlänge bei verschiedenen Spannungen: | $U$ in kV | 15 | 20 | 25 | 30 |…
Ein Schüler bestimmt mit einer Röntgenröhre das Plancksche Wirkungsquantum. Er misst die Grenzwellenlänge bei verschiedenen Spannungen:
| $U$ in kV | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|
| $\lambda_\text{min}$ in pm | 83 | 62 | 50 | 41 |
- a) Begründen Sie, warum $\lambda_\text{min}$ gegen $1/U$ aufgetragen werden sollte.
- b) Bestimmen Sie aus den Werten $h$ ($c=3,00\cdot10^8\ \text{m/s}$, $e=1,60\cdot10^{-19}\ \text{C}$).
- c) Beurteilen Sie die Genauigkeit und nennen Sie zwei mögliche Fehlerquellen.
Charakteristische Röntgenstrahlung
Dem kontinuierlichen Spektrum sind bei hohen Spannungen scharfe Linien überlagert. Sie sind charakteristisch für das Anodenmaterial.
Entstehung der Linien:
-
Ein schnelles Elektron schlägt ein Elektron aus einer inneren Schale (z. B. der K-Schale) des Anodenatoms heraus. Dazu braucht es mindestens die Bindungsenergie dieser Schale.
-
Ein Elektron aus einer höheren Schale (L, M) fällt in die freie Stelle.
-
Das Atom gibt die Energiedifferenz als Photon ab:
Fällt das Elektron von L nach K, entsteht die $K_\alpha$-Linie; von M nach K die $K_\beta$-Linie. Die Energien der Schalen sind für jedes Element fest. Deshalb liegen die Linien fest und verschieben sich bei Spannungsänderung nicht. Nur ihre Intensität ändert sich. Sie erscheinen erst, wenn $e U$ mindestens der Bindungsenergie der K-Schale entspricht.
Erklären Sie in je zwei bis drei Sätzen, wie Bremsstrahlung und charakteristische Röntgenstrahlung entstehen und woran man sie im Spektrum erkennt.
Erklären Sie in je zwei bis drei Sätzen, wie Bremsstrahlung und charakteristische Röntgenstrahlung entstehen und woran man sie im Spektrum erkennt.
Eine Röntgenröhre mit Kupferanode wird bei $U = 30\ \text{kV}$ betrieben. Die $K_\alpha$-Linie von Kupfer hat die Wellenlänge $0,154\ \text{nm}$. Die Ionisierungsenergie…
Eine Röntgenröhre mit Kupferanode wird bei $U = 30\ \text{kV}$ betrieben. Die $K_\alpha$-Linie von Kupfer hat die Wellenlänge $0,154\ \text{nm}$. Die Ionisierungsenergie der K-Schale von Kupfer beträgt $8,98\ \text{keV}$.
- a) Berechnen Sie die Photonenenergie der $K_\alpha$-Linie in keV.
- b) Berechnen Sie die Grenzwellenlänge des Bremsspektrums.
- c) Geben Sie an, ob die $K_\alpha$-Linie bei $U = 30\ \text{kV}$ angeregt werden kann, und begründen Sie, dass die Linie ihre Lage bei Spannungsänderung beibehält.
Ein Elektron fällt in einem Atom von der L-Schale (Bindungsenergie $-0,95\ \text{keV}$) in eine freie Stelle der K-Schale (Bindungsenergie $-8,98\ \text{keV}$). a)…
Ein Elektron fällt in einem Atom von der L-Schale (Bindungsenergie $-0,95\ \text{keV}$) in eine freie Stelle der K-Schale (Bindungsenergie $-8,98\ \text{keV}$).
- a) Berechnen Sie die Energie und die Wellenlänge des emittierten Photons ($hc = 1,24\ \text{keV·nm}$).
- b) Benennen Sie die entstehende Linie.
- c) Beschreiben Sie, wie die freie Stelle in der K-Schale entsteht.
Anspruchsvoller: Beim Wolfram-Spektrum (Anodenspannung 50 kV bzw. 80 kV) müssen Sie Grenzwellenlänge, Anregungsschwelle der K-Linien und deren physikalische Deutung verbinden.
Bei einer Röntgenröhre mit Wolframanode wird das Spektrum bei zwei Spannungen aufgenommen. Bei $U_1 = 50\ \text{kV}$ liegt die Grenzwellenlänge bei $\lambda_1$, bei…
Bei einer Röntgenröhre mit Wolframanode wird das Spektrum bei zwei Spannungen aufgenommen. Bei $U_1 = 50\ \text{kV}$ liegt die Grenzwellenlänge bei $\lambda_1$, bei $U_2=80\ \text{kV}$ bei $\lambda_2$. Bei $U_2$ erscheinen zusätzlich die $K_\alpha$-Linie ($59\ \text{keV}$) und die $K_\beta$-Linie ($67\ \text{keV}$); bei $U_1$ erscheinen sie nicht. Die Ionisierungsenergie der K-Schale von Wolfram beträgt $E_K = 69,5\ \text{keV}$.
- a) Berechnen Sie $\lambda_1$ und $\lambda_2$ ($hc=1,24\ \text{keV·nm}$).
- b) Begründen Sie, warum die K-Linien bei $50\ \text{kV}$ fehlen.
- c) Bestimmen Sie die Mindestspannung, bei der die K-Linien (also auch $K_\beta$) gerade auftreten, und deuten Sie die Grenze physikalisch. Erläutern Sie, warum dafür nicht die Photonenenergie von $K_\beta$ maßgeblich ist.
Leistungsbilanz und Kühlung
Der Strom der Elektronen beträgt $I$, jedes trägt die Energie $eU$. Die zugeführte elektrische Leistung ist
$$P_\text{el} = U \cdot I .$$Nur ein kleiner Teil, etwa 1 %, wird als Röntgenstrahlung abgegeben. Der Rest (etwa 99 %) erwärmt die Anode, weil die meisten Elektronen ihre Energie über viele Stöße mit Gitteratomen in Wärme umsetzen.
Eine Röntgenröhre wird mit konstanter Anodenstromstärke $I = 10\ \text{mA}$ bei $U = 80\ \text{kV}$ betrieben. Nur $1,0\ \%$ der zugeführten elektrischen Leistung wird…
Eine Röntgenröhre wird mit konstanter Anodenstromstärke $I = 10\ \text{mA}$ bei $U = 80\ \text{kV}$ betrieben. Nur $1,0\ \%$ der zugeführten elektrischen Leistung wird als Röntgenstrahlung abgegeben.
- a) Berechnen Sie die zugeführte Leistung und die Röntgenleistung.
- b) Berechnen Sie die Wärmeleistung an der Anode.
- c) Erläutern Sie, welche Konsequenz sich daraus für die Kühlung der Anode ergibt.
Schwächung in Materie
Beim Durchgang durch Materie nimmt die Intensität der Röntgenstrahlung exponentiell ab:
$$I = I_0\cdot e^{-\mu x}$$Dabei ist $x$ die Schichtdicke und $\mu$ der Schwächungskoeffizient (Einheit $\text{cm}^{-1}$). Er hängt vom Material (vor allem von der Dichte und Ordnungszahl) und von der Photonenenergie ab. Knochen enthalten Calcium und schwächen stärker als Weichteilgewebe. Daraus entsteht der Kontrast im Röntgenbild.
Niederenergetische Photonen werden stärker absorbiert. Sie erreichen den Detektor nicht, tragen nicht zum Bild bei, belasten aber den Körper (Dosis). Deshalb filtert man sie mit einem dünnen Metallblech (z. B. Aluminium) aus dem Strahl heraus.
Röntgenstrahlung wird in der Medizin zur Bildgebung verwendet. Knochen schwächen die Strahlung stärker als Weichteilgewebe. Die Schwächung folgt $I = I_0e^{-\mu x}$ mit…
Röntgenstrahlung wird in der Medizin zur Bildgebung verwendet. Knochen schwächen die Strahlung stärker als Weichteilgewebe. Die Schwächung folgt $I = I_0e^{-\mu x}$ mit $\mu_\text{Knochen} = 0,50\ \text{cm}^{-1}$ und $\mu_\text{Gewebe} = 0,20\ \text{cm}^{-1}$ bei gegebener Photonenenergie.
- a) Berechnen Sie die durchgelassenen Anteile für $4,0\ \text{cm}$ Knochen und für $4,0\ \text{cm}$ Gewebe.
- b) Berechnen Sie das Intensitätsverhältnis beider Anteile und erläutern Sie, warum dadurch ein Kontrast im Bild entsteht.
- c) Erklären Sie, warum bei der Aufnahme niederenergetische Photonen durch ein Filter entfernt werden.
Zurück zum Anfang: Beim Zahnarzt werden Elektronen mit etwa 60 kV beschleunigt. Ein Elektron kann höchstens ein Photon mit 60 keV erzeugen. Daraus folgt die Grenzwellenlänge von etwa 21 pm. Zähne schwächen die Strahlung stärker als Zahnfleisch, deshalb zeichnen sie sich im Bild deutlich ab.