Zerfallsgesetz und Halbwertszeit
Im Nuklearmedizinischen Institut eines Klinikums in NRW wird ein Präparat am Morgen geliefert und muss bis zum Abend verbraucht sein, sonst ist es unbrauchbar. Warum „verfällt“ ein radioaktiver Stoff, und wie lässt sich vorhersagen, wie viel am Abend noch übrig ist? Diese Frage klären wir am Ende der Seite.
Zerfallsprozesse und Zerfallsgleichungen
Ein instabiler Atomkern wandelt sich spontan in einen anderen Kern um und sendet dabei Strahlung aus. Welche Kerne das sind, zeigt die Nuklidkarte: Sie ordnet alle Nuklide nach Protonenzahl $Z$ und Neutronenzahl $N$ und gibt für jedes die Zerfallsart an.
Zwei Zerfallsarten brauchen Sie hier:
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$\alpha$-Zerfall: Der Kern sendet einen Heliumkern ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ aus. Die Massenzahl sinkt um 4, die Kernladungszahl um 2.
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$\beta^-$-Zerfall: Ein Neutron wandelt sich um: $\mathrm{n} \to \mathrm{p} + \mathrm{e}^- + \bar{\nu}_\mathrm{e}$. Die Massenzahl bleibt gleich, die Kernladungszahl steigt um 1.
In jeder Zerfallsgleichung bleiben die Summe der Massenzahlen und die Summe der Kernladungszahlen erhalten.
Das Zerfallsgesetz
Ein einzelner Kern zerfällt zu einem nicht vorhersagbaren Zeitpunkt. Bei sehr vielen Kernen gilt aber: In jedem Zeitabschnitt zerfällt immer derselbe Bruchteil der noch vorhandenen Kerne. Mit $N$ Kernen sind das pro Zeitintervall $\Delta t$ etwa $\Delta N = -\lambda\, N\, \Delta t$. Je mehr Kerne da sind, desto mehr zerfallen pro Sekunde, und die Kurve flacht ab.
Für $\Delta t \to 0$ wird daraus die differentielle Form des Zerfallsgesetzes: $\dot N(t) = -\lambda\, N(t)$. Die Aktivität ist genau die Zerfallsrate: $A = -\dot N = \lambda N$. Die Lösung dieser Gleichung ist die Exponentialfunktion:
Im Versuch sehen Sie 100 Kerne, die zufällig zerfallen. Starten Sie ihn mehrmals: Die Einzelwerte streuen, die Kurve $N(t)$ folgt aber stets dem Gesetz.
Halbwertszeit und Aktivität
Die Halbwertszeit $T_{1/2}$ ist die Zeit, nach der von einer Menge gleichartiger Kerne nur noch die Hälfte nicht zerfallen ist. Nach jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der Rest erneut:
$$N(t) = N_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$Setzt man $N(T_{1/2}) = \tfrac12 N_0$ im Zerfallsgesetz ein, folgt der Zusammenhang
$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$Die Aktivität $A$ gibt an, wie viele Kerne pro Sekunde zerfallen: $A = -\dot N = \lambda\, N$. Einheit: Becquerel, $1\,\mathrm{Bq} = 1\,\mathrm{s^{-1}}$, also ein Zerfall pro Sekunde. Da $A \sim N$ gilt, folgt die Aktivität demselben Gesetz:
$$A(t) = A_0 \cdot \mathrm{e}^{-\lambda t} = A_0 \cdot \left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$$Ein radioaktives Präparat enthält zu Beginn $N_0 = 8,0\cdot 10^{12}$ Atomkerne eines Nuklids mit der Halbwertszeit $T_{1/2} = 6,0\ \text{h}$. a) Berechnen Sie die Anzahl…
Ein radioaktives Präparat enthält zu Beginn $N_0 = 8,0\cdot 10^{12}$ Atomkerne eines Nuklids mit der Halbwertszeit $T_{1/2} = 6,0\ \text{h}$.
- a) Berechnen Sie die Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne nach $18\ \text{h}$.
- b) Berechnen Sie den Anteil der zerfallenen Kerne nach $12\ \text{h}$.
Das Zerfallsgesetz lautet $N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}$ mit $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$. Für Iod-131 beträgt die Halbwertszeit $8,0\ \text{d}$. a) Berechnen Sie die…
Das Zerfallsgesetz lautet $N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}$ mit $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$. Für Iod-131 beträgt die Halbwertszeit $8,0\ \text{d}$.
- a) Berechnen Sie die Zerfallskonstante in $\text{d}^{-1}$.
- b) Berechnen Sie, wie viel Prozent der Kerne nach $24\ \text{d}$ noch vorhanden sind.
Die Aktivität einer Probe beträgt $A_0 = 2,4\cdot 10^6\ \text{Bq}$. Die Halbwertszeit des Nuklids beträgt $30\ \text{min}$. a) Erläutern Sie, was die Einheit Becquerel…
Die Aktivität einer Probe beträgt $A_0 = 2,4\cdot 10^6\ \text{Bq}$. Die Halbwertszeit des Nuklids beträgt $30\ \text{min}$.
- a) Erläutern Sie, was die Einheit Becquerel bedeutet.
- b) Berechnen Sie die Aktivität nach $2,0\ \text{h}$.
Messung, Auswertung und Altersbestimmung
Mit dem Geiger-Müller-Zählrohr misst man die Zählrate, die proportional zur Aktivität ist. Vor der Auswertung muss man den Nulleffekt abziehen: Das ist die Zählrate ohne Präparat, verursacht durch natürliche Umgebungsstrahlung (kosmische Strahlung, Gestein, Radon). Er gehört nicht zur Probe und würde das exponentielle Abklingen verfälschen.
Halbwertszeit aus Messwerten: Suchen Sie die Zeit, in der die Zählrate auf die Hälfte sinkt, oder berechnen Sie $\lambda$ aus zwei Werten:
$$\lambda = \frac{\ln\!\big(N_0/N(t)\big)}{t}, \qquad T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$Altersbestimmung: Löst man das Zerfallsgesetz nach $t$ auf, erhält man
$$t = \frac{T_{1/2}}{\ln 2}\cdot \ln\frac{N_0}{N}$$Lebende Organismen nehmen ständig Kohlenstoff-14 auf; nach dem Tod nicht mehr. Aus der Restaktivität einer Holzprobe ergibt sich das Alter (C-14-Methode).
Mit einem Geiger-Müller-Zählrohr wird die Zählrate einer Probe gemessen. Nach Abzug des Nulleffekts ergeben sich: | $t$ in min | 0 | 10 | 20 | 30 | |---|---|---|---|---|…
Mit einem Geiger-Müller-Zählrohr wird die Zählrate einer Probe gemessen. Nach Abzug des Nulleffekts ergeben sich:
| $t$ in min | 0 | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|
| Zählrate in $\text{min}^{-1}$ | 960 | 600 | 375 | 235 |
- a) Bestimmen Sie aus den Messwerten die Halbwertszeit.
- b) Berechnen Sie die zu erwartende Zählrate nach $50\ \text{min}$.
- c) Erklären Sie, warum der Nulleffekt vor der Auswertung abgezogen werden muss.
Die Nuklidkarte zeigt für Kohlenstoff-14 ($^{14}{6}\text{C}$) einen $\beta^-$-Zerfall. a) Stellen Sie die Zerfallsgleichung auf und nennen Sie das Tochternuklid. b) Eine…
Die Nuklidkarte zeigt für Kohlenstoff-14 ($^{14}_{6}\text{C}$) einen $\beta^-$-Zerfall.
- a) Stellen Sie die Zerfallsgleichung auf und nennen Sie das Tochternuklid.
- b) Eine Holzprobe aus einem Pfahlbau am Bodensee hat noch $62\ \%$ der Aktivität lebenden Holzes. Bestimmen Sie das Alter der Probe ($T_{1/2} = 5.730\ \text{a}$).
Anwendungen und mehrere Nuklide
Aktivität aus der Kernzahl: Aus der Masse $m$ erhält man die Anzahl der Atome über $N = \dfrac{m}{M}\cdot N_\mathrm{A}$. Dann gilt $A = \lambda N$ mit $\lambda$ in $\mathrm{s^{-1}}$.
Nuklearmedizin: Technetium-99m ($T_{1/2} = 6{,}0\,\mathrm{h}$) wird für Untersuchungen genutzt. Eine kurze Halbwertszeit hat zwei Vorteile: Die Strahlung klingt schnell ab, die Belastung des Patienten bleibt klein, und die Aktivität reicht trotzdem für die Messung. Der Nachteil: Das Präparat muss zügig verwendet werden.
Zwei Nuklide in einer Probe: Die Aktivitäten addieren sich: $A_\mathrm{ges}(t) = A_{0,\mathrm A}(1/2)^{t/T_A} + A_{0,\mathrm B}(1/2)^{t/T_B}$. Zuerst klingt das kurzlebige Nuklid ab, später dominiert das langlebige. Die Summe ist keine Exponentialfunktion mit einer einzigen Halbwertszeit; im logarithmischen Diagramm ergibt sich ein Knick statt einer Geraden.
Zerfallsreihen: Das Tochternuklid ist oft selbst radioaktiv. Man schreibt Schritt für Schritt $\alpha$- und $\beta^-$-Gleichungen, bis ein stabiles Nuklid entsteht (bei Uran-238 ist das Blei).
Radium-226 ($^{226}{88}\text{Ra}$) zerfällt durch $\alpha$-Zerfall. a) Stellen Sie die Zerfallsgleichung auf (Tochterkern: Radon). b) Berechnen Sie die Anzahl der Atome…
Radium-226 ($^{226}_{88}\text{Ra}$) zerfällt durch $\alpha$-Zerfall.
- a) Stellen Sie die Zerfallsgleichung auf (Tochterkern: Radon).
- b) Berechnen Sie die Anzahl der Atome in $1,0\ \text{g}$ Radium-226 ($M = 226\ \text{g/mol}$, $N_A = 6,02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$).
- c) Berechnen Sie die Aktivität dieser Probe mit $T_{1/2} = 1.600\ \text{a}$ ($1\ \text{a}=3,16\cdot 10^{7}\ \text{s}$).
In der Nuklearmedizin eines Klinikums wird Technetium-99m ($T_{1/2} = 6,0\ \text{h}$) mit einer Anfangsaktivität von $600\ \text{MBq}$ geliefert. Für eine Untersuchung…
In der Nuklearmedizin eines Klinikums wird Technetium-99m ($T_{1/2} = 6,0\ \text{h}$) mit einer Anfangsaktivität von $600\ \text{MBq}$ geliefert. Für eine Untersuchung benötigt man zum Zeitpunkt der Injektion mindestens $150\ \text{MBq}$.
- a) Berechnen Sie, bis wann nach Lieferung das Präparat verwendbar ist.
- b) Berechnen Sie die Anzahl der zu Beginn vorhandenen Kerne.
- c) Begründen Sie, warum für die Diagnostik ein Nuklid mit kurzer Halbwertszeit gewählt wird.
Eine Probe enthält zwei Nuklide A und B mit $T_A = 2,0\ \text{h}$ und $T_B = 8,0\ \text{h}$. Zu Beginn haben beide die gleiche Aktivität $A_0 = 100\ \text{kBq}$. a)…
Eine Probe enthält zwei Nuklide A und B mit $T_A = 2,0\ \text{h}$ und $T_B = 8,0\ \text{h}$. Zu Beginn haben beide die gleiche Aktivität $A_0 = 100\ \text{kBq}$.
- a) Berechnen Sie die Gesamtaktivität nach $8,0\ \text{h}$.
- b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Aktivität von A nur noch $10\ \%$ der Aktivität von B beträgt.
- c) Erläutern Sie, warum die Gesamtaktivität nicht mit einer einzigen Halbwertszeit abnimmt.
Die Zerfallsreihe von Uran-238 beginnt mit $^{238}{92}\text{U}\to{}^{234}{90}\text{Th}+\ldots$ Anschließend zerfällt $^{234}{90}\text{Th}$ durch $\beta^-$ zu…
Die Zerfallsreihe von Uran-238 beginnt mit $^{238}_{92}\text{U}\to{}^{234}_{90}\text{Th}+\ldots$ Anschließend zerfällt $^{234}_{90}\text{Th}$ durch $\beta^-$ zu Protactinium und dieses durch $\beta^-$ weiter.
- a) Vervollständigen Sie die drei Zerfallsgleichungen (Kernladungszahl, Massenzahl).
- b) Zeigen Sie, welche Nuklidart nach den drei Schritten entsteht, und vergleichen Sie sie mit dem Ausgangsnuklid.
- c) Ein Uranerz enthält Uran-238 ($T_{1/2}=4,5\cdot10^{9}\ \text{a}$). Es ist noch $87,5\ \%$ des ursprünglichen Urans vorhanden. Berechnen Sie das Alter des Erzes.
Zurück zum Anfang: Das Präparat „verfällt“, weil sich seine Kerne nach dem Zerfallsgesetz umwandeln. Bei $T_{1/2} = 6\,\mathrm h$ bleibt nach 12 h nur ein Viertel der Aktivität, daher muss es am selben Tag verbraucht werden.
Auf einen Blick
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Zerfallsgleichungen: $A$ und $Z$ bleiben in der Summe erhalten. $\alpha$: $A-4$, $Z-2$. $\beta^-$: $A$ gleich, $Z+1$.
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Zerfallsgesetz: $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$, mit $\lambda = \ln 2 / T_{1/2}$.
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Halbwertszeit: Nach $T_{1/2}$ ist die Hälfte übrig, $N = N_0\,(1/2)^{t/T_{1/2}}$.
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Aktivität $A = \lambda N$ in Bq ($1\,\mathrm{Bq} = 1\,\mathrm{s^{-1}}$); sie folgt demselben Gesetz.
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Messung: Nulleffekt abziehen, dann $T_{1/2}$ aus der Zählrate. Alter: $t = \frac{T_{1/2}}{\ln 2}\ln\frac{N_0}{N}$.
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Mehrere Nuklide: Aktivitäten addieren, nicht die Halbwertszeiten.