Kernphysik, Radioaktivität und ionisierende Strahlung
Vor einer Untersuchung in einer Klinik in Münster wird einem Patienten ein radioaktives Präparat mit der Halbwertszeit 6 Stunden gespritzt. Am nächsten Tag soll davon kaum noch etwas strahlen. Wie viel ist nach 24 Stunden noch da? Und woher kommt die Energie, wenn ein Atomkern zerfällt, sich spaltet oder verschmilzt? Diese Seite fasst für die Abiturvorbereitung zusammen, was Sie dafür brauchen.
Kernumwandlungen und Erhaltungssätze
Ein Nuklid wird als ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$ geschrieben. $A$ ist die Massenzahl (Nukleonenzahl), $Z$ die Kernladungszahl. In der Nuklidkarte liest man ab, in welches Nuklid sich ein instabiler Kern umwandelt.
| Umwandlung | Teilchen | Änderung im Kern | Beispiel |
|---|---|---|---|
| $\alpha$ | ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$-Kern | $A$ sinkt um 4, $Z$ um 2 | ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{222}_{86}\mathrm{Rn} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ |
| $\beta^-$ | Elektron und Antineutrino | $A$ bleibt, $Z$ steigt um 1 | ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + \mathrm{e}^- + \bar{\nu}_\mathrm{e}$ |
| $\gamma$ | Photon | Kern geht in einen energieärmeren Zustand über, $A$ und $Z$ bleiben | Folgeprozess nach $\alpha$ oder $\beta$ |
Probe für Kohlenstoff-14: oben $14 = 14 + 0 + 0$, unten $6 = 7 + (-1) + 0$. Beides stimmt.
Die $\beta^-$-Umwandlung bei den Quarks
Das Proton besteht aus den Quarks uud (Ladung $+\tfrac{2}{3}e+\tfrac{2}{3}e-\tfrac{1}{3}e = +e$), das Neutron aus udd. Bei der $\beta^-$-Umwandlung wandelt sich ein d-Quark in ein u-Quark um:
$$\mathrm{d} \to \mathrm{u} + \mathrm{W}^- \qquad \mathrm{W}^- \to \mathrm{e}^- + \bar{\nu}_\mathrm{e}$$Aus dem Neutron udd wird so ein Proton uud. Verantwortlich ist die schwache Wechselwirkung, ihr Austauschteilchen ist das $\mathrm{W}^-$-Boson. Die Ladung bleibt erhalten: $-\tfrac{1}{3}e \to +\tfrac{2}{3}e + (-e)$.
Radium-226 ($^{226}{88}\mathrm{Ra}$) ist ein $\alpha$-Strahler. Kohlenstoff-14 ($^{14}{6}\mathrm{C}$) wandelt sich durch $\beta^-$-Umwandlung um. a) Stellen Sie unter…
Radium-226 ($^{226}_{88}\mathrm{Ra}$) ist ein $\alpha$-Strahler. Kohlenstoff-14 ($^{14}_{6}\mathrm{C}$) wandelt sich durch $\beta^-$-Umwandlung um.
- a) Stellen Sie unter Verwendung der Nuklidkarte die Reaktionsgleichungen für beide Umwandlungen auf.
- b) Zeigen Sie an beiden Gleichungen, dass Nukleonenzahl und Ladung erhalten bleiben.
- c) Beschreiben Sie die $\beta^-$-Umwandlung auf der Ebene der Quarks und nennen Sie die beteiligte Wechselwirkung und das Austauschteilchen.
Zerfallsgesetz und Halbwertszeit
Ob ein bestimmter Kern in der nächsten Sekunde zerfällt, ist reiner Zufall. Bei sehr vielen Kernen ergibt sich aber ein regelmäßiges Bild. Probieren Sie es aus: Jede Teilung entspricht einer Halbwertszeit.
Altersbestimmung mit der C-14-Methode
Lebende Organismen nehmen ständig ${}^{14}\mathrm{C}$ auf, nach dem Tod nicht mehr. Die Aktivität pro Gramm Kohlenstoff sinkt dann nach dem Zerfallsgesetz mit $T_{1/2} = 5.730\,\mathrm{a}$.
Zurück zum Anfang: Nach 24 Stunden sind es $4$ Halbwertszeiten, also noch $\left(\tfrac{1}{2}\right)^4 = \tfrac{1}{16}$ der ursprünglichen Aktivität, das sind etwa $6\,\%$.
Jod-131 wird in der Nuklearmedizin zur Behandlung der Schilddrüse eingesetzt. Die Halbwertszeit beträgt $T_{1/2} = 8{,}0\,\mathrm{d}$. Eine Probe hat zu Beginn die…
Jod-131 wird in der Nuklearmedizin zur Behandlung der Schilddrüse eingesetzt. Die Halbwertszeit beträgt $T_{1/2} = 8{,}0\,\mathrm{d}$. Eine Probe hat zu Beginn die Aktivität $A_0 = 400\,\mathrm{kBq}$.
- a) Berechnen Sie die Aktivität der Probe nach $16\,\mathrm{d}$ und nach $24\,\mathrm{d}$.
- b) Bestimmen Sie die Zeit, nach der die Aktivität auf $12{,}5\,\mathrm{kBq}$ gesunken ist.
- c) Erläutern Sie den Begriff Halbwertszeit und begründen Sie, weshalb sich für einzelne Atomkerne keine Aussage zum Zeitpunkt des Zerfalls machen lässt.
Lebende Organismen nehmen ständig Kohlenstoff auf, darunter das radioaktive Isotop $^{14}{6}\mathrm{C}$ mit der Halbwertszeit $T_{1/2} = 5.730\,\mathrm{a}$. In lebendem…
Lebende Organismen nehmen ständig Kohlenstoff auf, darunter das radioaktive Isotop $^{14}_{6}\mathrm{C}$ mit der Halbwertszeit $T_{1/2} = 5.730\,\mathrm{a}$. In lebendem Material beträgt die Aktivität des $^{14}\mathrm{C}$ etwa $0{,}23\,\mathrm{Bq}$ pro Gramm Kohlenstoff. Nach dem Tod endet die Aufnahme. Bei einer Holzprobe aus einem archäologischen Fund bei Haltern am See wird für $5{,}0\,\mathrm{g}$ Kohlenstoff eine Aktivität von $0{,}80\,\mathrm{Bq}$ gemessen (bereits um den Nulleffekt bereinigt).
- a) Bestimmen Sie das Alter der Probe.
- b) Berechnen Sie die Zerfallskonstante $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$ in $1/\mathrm{s}$ (ein Jahr entspricht $3{,}156\cdot10^{7}\,\mathrm{s}$) und die Anzahl der $^{14}\mathrm{C}$-Kerne, die in $5{,}0\,\mathrm{g}$ Kohlenstoff einer lebenden Pflanze enthalten sind (Zusammenhang $A = \lambda\,N$).
- c) Begründen Sie, weshalb sich die Radiocarbonmethode nicht zur Altersbestimmung einer Probe mit einem Alter von $500.000\,\mathrm{a}$ eignet.
- d) Geben Sie die Zerfallsgleichung des $^{14}\mathrm{C}$ an.
Für ein radioaktives Präparat, das in der Nuklearmedizin verwendet werden soll, wird mit einem Zählrohr die Zählrate $Z$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ gemessen. Der…
Für ein radioaktives Präparat, das in der Nuklearmedizin verwendet werden soll, wird mit einem Zählrohr die Zählrate $Z$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ gemessen. Der Nulleffekt beträgt $Z_0 = 5\,\mathrm{s^{-1}}$.
| $t$ in min | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| gemessene Zählrate in 1/s | 85 | 62 | 45 | 33 | 25 | 15 |
- a) Bereinigen Sie die Zählraten um den Nulleffekt und bestimmen Sie daraus die Halbwertszeit des Präparats. Begründen Sie Ihr Vorgehen.
- b) Berechnen Sie die bereinigte und die gemessene Zählrate zur Zeit $t = 100\,\mathrm{min}$ und die Zeit, nach der die bereinigte Zählrate gleich dem Nulleffekt ist.
- c) Erläutern Sie, weshalb die Messwerte um die erwartete Kurve schwanken, obwohl der Zerfall jedes einzelnen Kerns einem festen Gesetz der Wahrscheinlichkeit folgt.
- d) Beurteilen Sie, weshalb für diagnostische Anwendungen am Patienten Nuklide mit kurzer Halbwertszeit von Vorteil sind, und nennen Sie einen Nachteil.
Nachweis, Absorption und Wirkung der Strahlung
Ionisierende Strahlung kann Atome ionisieren. Das nutzt das Geiger-Müller-Zählrohr: Ein Teilchen ionisiert das Gas im Rohr, es entsteht ein kurzer Stromimpuls, der gezählt wird. Auch ohne Präparat registriert das Zählrohr Impulse aus natürlicher Strahlung und kosmischer Strahlung. Diese Rate heißt Nulleffekt. Er wird von jeder Messung abgezogen.
| Strahlung | Teilchen | Reichweite in Luft | Abschirmung |
|---|---|---|---|
| $\alpha$ | He-Kerne | wenige cm | Blatt Papier |
| $\beta^-$ | Elektronen | Meter | einige mm Aluminium |
| $\gamma$ | Photonen | sehr groß | dicke Bleiplatte (wird nur geschwächt) |
Röntgenstrahlung
In der Röntgenröhre werden Elektronen mit der Spannung $U$ beschleunigt und treffen auf die Anode. Beim Abbremsen entsteht kontinuierliche Bremsstrahlung. Zusätzlich treten scharfe Linien der charakteristischen Röntgenstrahlung auf, wenn Elektronen innerer Schalen herausgeschlagen werden und Elektronen aus höheren Schalen nachrücken. Die Linien hängen vom Anodenmaterial ab.
Ein Elektron kann höchstens seine gesamte kinetische Energie $e\cdot U$ an ein Photon abgeben:
$$E_\mathrm{max} = e\cdot U \qquad \lambda_\mathrm{min} = \frac{h\cdot c}{e\cdot U}$$Für $U = 30\,\mathrm{kV}$ gilt $E_\mathrm{max} = 30\,\mathrm{keV}$ und $\lambda_\mathrm{min} = \dfrac{1\,240\,\mathrm{eV\,nm}}{30\,000\,\mathrm{eV}} = 0{,}041\,\mathrm{nm}$.
Biologische Wirkung und Dosis
Die effektive Dosis (Einheit Sievert, Sv) berücksichtigt Strahlungsart und Empfindlichkeit der Organe. Beispiel: Eine Computertomographie mit $7\,\mathrm{mSv}$ entspricht bei $2{,}1\,\mathrm{mSv}$ natürlicher Belastung pro Jahr etwa $\dfrac{7}{2{,}1} \approx 3{,}3$ Jahren. Strahlenschutz beruht auf Abstand, Abschirmung, kurzer Aufenthaltsdauer und kleiner Aktivität.
In einem Versuch mit einem Geiger-Müller-Zählrohr wird ein Präparat untersucht, das $\alpha$-, $\beta$- und $\gamma$-Strahlung aussendet. Der Nulleffekt beträgt $25$…
In einem Versuch mit einem Geiger-Müller-Zählrohr wird ein Präparat untersucht, das $\alpha$-, $\beta$- und $\gamma$-Strahlung aussendet. Der Nulleffekt beträgt $25$ Impulse pro Minute. Die gemessenen Zählraten (in Impulsen pro Minute) lauten:
| Anordnung | Zählrate in 1/min |
|---|---|
| ohne Absorber | 1.425 |
| Blatt Papier | 735 |
| Aluminiumblech, 3 mm | 125 |
| Aluminiumblech, 3 mm und Bleiplatte, 5 cm | 27 |
- a) Berechnen Sie für jede Anordnung die um den Nulleffekt bereinigte Zählrate.
- b) Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der $\alpha$-Strahlung und der $\beta$-Strahlung an der bereinigten Zählrate ohne Absorber und begründen Sie Ihr Vorgehen.
- c) Erläutern Sie das Funktionsprinzip eines Geiger-Müller-Zählrohrs.
Eine Tabelle enthält typische effektive Dosen: | Ereignis | Effektive Dosis in mSv | |---|---| | Röntgenaufnahme des Brustkorbs | 0,02 | | Computertomographie des…
Eine Tabelle enthält typische effektive Dosen:
| Ereignis | Effektive Dosis in mSv |
|---|---|
| Röntgenaufnahme des Brustkorbs | 0,02 |
| Computertomographie des Bauchraums | 10 |
| natürliche Strahlenbelastung in Deutschland pro Jahr | 2,1 |
| Grenzwert für beruflich strahlenexponierte Personen pro Jahr | 20 |
Eine Röntgenröhre in einer Klinik in Münster wird mit der Beschleunigungsspannung $U = 80\,\mathrm{kV}$ betrieben.
- a) Berechnen Sie, wie vielen Röntgenaufnahmen des Brustkorbs die Dosis einer Computertomographie entspricht und wie vielen Jahren natürlicher Strahlenbelastung.
- b) Beschreiben Sie drei Maßnahmen des Strahlenschutzes beim Umgang mit einer Strahlungsquelle und erläutern Sie jeweils das Prinzip.
- c) Berechnen Sie die kleinste Wellenlänge und die größte Photonenenergie der von der Röhre ausgesandten Röntgenstrahlung.
- d) Bewerten Sie, ob die Dosis der Computertomographie in Teilaufgabe a) bei begründetem Verdacht auf eine Erkrankung vertretbar ist.
Energie aus Kernen: Massendefekt, Spaltung und Fusion
Die Masse eines Kerns ist kleiner als die Summe der Massen seiner Nukleonen. Die Differenz ist der Massendefekt:
$$\Delta m = Z\cdot m_\mathrm{p} + N\cdot m_\mathrm{n} - m_\mathrm{Kern} \qquad E_\mathrm{B} = \Delta m\cdot c^2$$Die Masse $\Delta m$ ist bei der Bildung des Kerns als Energie abgegeben worden. Diese Bindungsenergie muss man aufwenden, um den Kern wieder in seine Nukleonen zu zerlegen. Praktisch rechnet man mit $1\,\mathrm{u} \,\widehat{=}\, 931{,}5\,\mathrm{MeV}$. Rechnet man mit Atommassen, nimmt man statt $m_\mathrm{p}$ die Masse des Wasserstoffatoms $m({}^1\mathrm{H})$. Die Atommasse enthält die $Z$ Elektronen der Hülle. Mit $m({}^1\mathrm{H})$ statt $m_\mathrm{p}$ zählt man ebenfalls $Z$ Elektronenmassen auf der Seite der Einzelteile mit, sodass sich die Elektronenmassen beim Bilden der Differenz gegenseitig aufheben.
Warum setzen Spaltung und Fusion Energie frei?
Die Bindungsenergie pro Nukleon hat bei Kernen um ${}^{56}\mathrm{Fe}$ ihr Maximum von etwa $8{,}8\,\mathrm{MeV}$. Sehr schwere Kerne (z. B. Uran) haben weniger, sehr leichte (z. B. Wasserstoff, Deuterium) ebenfalls.
-
Kernspaltung: Ein schwerer Kern zerfällt in mittelschwere Kerne mit größerer Bindungsenergie pro Nukleon. Die Differenz wird frei.
-
Kernfusion: Leichte Kerne verschmelzen zu einem Kern mit größerer Bindungsenergie pro Nukleon. Auch hier wird Energie frei.
In beiden Fällen gilt: Die Summe der Ruhemassen nach der Reaktion ist kleiner als vorher. Die frei werdende Energie ist $E = \Delta m\cdot c^2$ mit $\Delta m = m_\mathrm{vorher} - m_\mathrm{nachher}$.
Energiebilanz bei der $\beta^-$-Umwandlung
Beim Zerfall des freien Neutrons ist $\Delta m = m_\mathrm{n} - m_\mathrm{p} - m_\mathrm{e} = 0{,}000840\,\mathrm{u}$, das entspricht $0{,}78\,\mathrm{MeV}$. Diese Energie verteilt sich auf das Elektron und das Antineutrino. Würde nur das Elektron die Energie bekommen, hätten alle Elektronen die gleiche Energie. Gemessen wird aber ein kontinuierliches Spektrum bis zu einem Höchstwert. Daraus schloss man auf ein drittes, nahezu masseloses und ungeladenes Teilchen, das Neutrino.
In Fusionsexperimenten wird die Reaktion $$^{2}{1}\mathrm{D} + {}^{3}{1}\mathrm{T} \to {}^{4}{2}\mathrm{He} + {}^{1}{0}\mathrm{n}$$ untersucht. Die Atommassen betragen:…
In Fusionsexperimenten wird die Reaktion
$$^{2}_{1}\mathrm{D} + {}^{3}_{1}\mathrm{T} \to {}^{4}_{2}\mathrm{He} + {}^{1}_{0}\mathrm{n}$$untersucht. Die Atommassen betragen: $m(\mathrm{D}) = 2{,}014102\,\mathrm{u}$, $m(\mathrm{T}) = 3{,}016049\,\mathrm{u}$, $m(\mathrm{He}) = 4{,}002603\,\mathrm{u}$, $m(\mathrm{n}) = 1{,}008665\,\mathrm{u}$. Es gilt $1\,\mathrm{u} \,\widehat{=}\, 931{,}5\,\mathrm{MeV}$ sowie $1\,\mathrm{u} = 1{,}6605\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}$.
- a) Berechnen Sie den Massendefekt bei dieser Reaktion und die freigesetzte Energie in $\mathrm{MeV}$ und in $\mathrm{J}$.
- b) Berechnen Sie die Energie, die pro Kilogramm des Brennstoffgemischs aus Deuterium und Tritium freigesetzt wird.
- c) Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Heizwert von Steinkohle ($29\,\mathrm{MJ/kg}$) und erklären Sie anhand von $E = m\,c^2$, weshalb die Energiefreisetzung bei Kernreaktionen so viel größer ist als bei chemischen Reaktionen.
Ein Uran-235-Kern spaltet sich nach Einfang eines Neutrons gemäß $$^{235}{92}\mathrm{U} + {}^{1}{0}\mathrm{n} \to {}^{141}{56}\mathrm{Ba} + {}^{92}{36}\mathrm{Kr} +…
Ein Uran-235-Kern spaltet sich nach Einfang eines Neutrons gemäß
$$^{235}_{92}\mathrm{U} + {}^{1}_{0}\mathrm{n} \to {}^{141}_{56}\mathrm{Ba} + {}^{92}_{36}\mathrm{Kr} + 3\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}.$$Die Atommassen betragen: $m(\mathrm{U}) = 235{,}043930\,\mathrm{u}$, $m(\mathrm{Ba}) = 140{,}914411\,\mathrm{u}$, $m(\mathrm{Kr}) = 91{,}926156\,\mathrm{u}$, $m(\mathrm{n}) = 1{,}008665\,\mathrm{u}$. Es gilt $1\,\mathrm{u} \,\widehat{=}\, 931{,}5\,\mathrm{MeV}$ $1\,\mathrm{MeV} = 1{,}602\cdot10^{-13}\,\mathrm{J}$ und $1\,\mathrm{u} = 1{,}6605\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}$.
- a) Zeigen Sie, dass die Reaktionsgleichung in Nukleonenzahl und Ladung ausgeglichen ist.
- b) Berechnen Sie den Massendefekt und die je Spaltung freigesetzte Energie in $\mathrm{MeV}$.
- c) Ein Kernkraftwerk (inzwischen stillgelegt) hatte eine thermische Leistung von $3{,}4\,\mathrm{GW}$. Berechnen Sie die Anzahl der Spaltungen pro Sekunde und die Masse an Uran-235, die an einem Tag gespalten wird. Nehmen Sie vereinfachend an, dass die gesamte Energie aus diesem Spaltprozess stammt.
Bei der $\beta^-$-Umwandlung wird beobachtet, dass die Elektronen nicht mit einer festen Energie emittiert werden. Im gemessenen Energiespektrum des Elektrons treten…
Bei der $\beta^-$-Umwandlung wird beobachtet, dass die Elektronen nicht mit einer festen Energie emittiert werden. Im gemessenen Energiespektrum des Elektrons treten alle kinetischen Energien von nahezu $0\,\mathrm{MeV}$ bis zu einem Höchstwert auf. Beim Zerfall des freien Neutrons gilt $\mathrm{n} \to \mathrm{p} + \mathrm{e}^- + \bar{\nu}_\mathrm{e}$ mit den Massen $m_\mathrm{n} = 1{,}008665\,\mathrm{u}$, $m_\mathrm{p} = 1{,}007276\,\mathrm{u}$ und $m_\mathrm{e} = 0{,}000549\,\mathrm{u}$. Die Masse des Antineutrinos ist vernachlässigbar klein. Es gilt $1\,\mathrm{u} \,\widehat{=}\, 931{,}5\,\mathrm{MeV}$.
- a) Berechnen Sie den Massendefekt und die bei der Umwandlung freigesetzte Energie in $\mathrm{MeV}$.
- b) Erläutern Sie, welchen Höchstwert der kinetischen Energie des Elektrons Sie erwarten, und begründen Sie anhand des kontinuierlichen Elektronenspektrums, weshalb ein weiteres Teilchen an der Umwandlung beteiligt sein muss.
- c) Beschreiben Sie die Umwandlung auf der Ebene der Quarks und erläutern Sie die Rolle der schwachen Wechselwirkung.
- d) Erläutern Sie qualitativ, welche Rolle die starke Wechselwirkung für die Stabilität von Atomkernen spielt, obwohl sich die positiv geladenen Protonen im Kern elektrisch abstoßen.