Das Standardmodell und die fundamentalen Teilchen

Das Standardmodell beschreibt die gewöhnliche Materie mithilfe weniger Elementarteilchen: der Quarks und der Leptonen. Es gibt sechs Quarksorten: Up ($\text{u}$), Down ($\text{d}$), Strange ($\text{s}$), Charm ($\text{c}$), Bottom ($\text{b}$) und Top ($\text{t}$); die ersten beiden mit den Ladungen $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ und $q_d = -\frac{1}{3}\,e$ bilden die Protonen und Neutronen.

1. a) Wie viele Quarksorten gibt es und welche bilden die gewöhnliche Materie um uns herum?
2. b) Was bedeutet es, dass Quarks „elementare“ Teilchen sind?
3. c) Geben Sie die elektrische Ladung der Quarks $\text{u}$ und $\text{d}$ in Einheiten der Elementarladung $e$ an.

Ein Proton besteht aus drei Quarks: zwei Quarks $\text{u}$ und einem Quark $\text{d}$ (Kombination $\text{uud}$). Gegeben: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$ und $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$. Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Addieren Sie die Ladungen seiner drei Quarks und geben Sie die Gesamtladung des Protons in Abhängigkeit von $e$ an.
2. b) Berechnen Sie den Wert dieser Ladung in Coulomb.
3. c) Warum sagt man, das Proton sei kein Elementarteilchen?

Ein Neutron besteht aus einem Quark $\text{u}$ und zwei Quarks $\text{d}$ (Kombination $\text{udd}$). Gegeben: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ und $q_d = -\frac{1}{3}\,e$.

1. a) Berechnen Sie die Gesamtladung des Neutrons, indem Sie die Ladungen seiner drei Quarks addieren.
2. b) Erklären Sie anhand des Ergebnisses, warum das Neutron elektrisch neutral ist, obwohl es aus geladenen Teilchen besteht.
3. c) Enthält das Neutron in seinem Inneren elektrische Ladung? Begründen Sie Ihre Antwort anhand Ihrer Rechnung.

Die Hadronen werden in zwei große Gruppen eingeteilt: die Baryonen, die aus drei Quarks bestehen, und die Mesonen, die aus einem Quark und einem Antiquark bestehen. Betrachten Sie die Skizze eines Mesons:

1. a) Zu welcher der beiden Gruppen gehören Proton und Neutron?
2. b) Das Pion $\pi^+$ ist ein Meson aus einem Quark $\text{u}$ und einem Antiquark $\bar{\text{d}}$. Mit $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ und der Tatsache, dass ein Antiquark die entgegengesetzte Ladung seines Quarks hat, berechnen Sie die Ladung des Pions in Abhängigkeit von $e$.
3. c) Begründen Sie, ob das erhaltene Ergebnis mit dem Namen des Pions, $\pi^+$, vereinbar ist.

Die Delta-Baryonen sind Kombinationen aus drei Quarks $\text{u}$ und $\text{d}$: Das $\Delta^{++}$ ist $\text{uuu}$, das $\Delta^{+}$ ist $\text{uud}$, das $\Delta^{0}$ ist $\text{udd}$ und das $\Delta^{-}$ ist $\text{ddd}$. Gegeben: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$ und $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Berechnen Sie die elektrische Ladung jedes der vier Delta-Baryonen in Abhängigkeit von $e$.
2. b) Geben Sie diese Ladungen in Coulomb an.
3. c) Erklären Sie, warum der Exponent jedes Teilchens ($++$, $+$, $0$, $-$) mit dem Ergebnis Ihrer Rechnung übereinstimmt.

Ein Meson besteht aus einem Quark und einem Antiquark. Betrachten Sie nur Quarks und Antiquarks der Sorten $\text{u}$ und $\text{d}$. Gegeben: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$, und die Ladung eines Antiquarks ist der seines Quarks entgegengesetzt.

1. a) Welche Quark-Antiquark-Kombination ergibt ein Meson der Ladung $-e$? Überprüfen Sie dies durch Addieren der Ladungen.
2. b) Welche Kombinationen ergeben neutrale Mesonen? Überprüfen Sie dies.
3. c) Begründen Sie anhand der möglichen Ladungen, warum kein Meson die Ladung $+2\,e$ haben kann.

Neben den Quarks enthält das Standardmodell eine weitere Familie von Materieteilchen: die Leptonen. Das Elektron, das Myon und das Tau sind zusammen mit ihren drei zugehörigen Neutrinos Leptonen.

1. a) Welche gemeinsame Eigenschaft haben die Leptonen, die sie von den Quarks unterscheidet? (Überlegen Sie, ob sie aus weiteren Teilchen aufgebaut sind und welche Wechselwirkungen sie spüren.)
2. b) Welches ist das einzige geladene Lepton in der gewöhnlichen Materie?
3. c) Nennen Sie zwei Eigenschaften, die die Neutrinos von den übrigen Leptonen unterscheiden.

Im Standardmodell gibt es neben den Materieteilchen (Quarks und Leptonen) die Bosonen. Das Photon, die Bosonen $\text{W}$ und $\text{Z}$ und die Gluonen sind Austauschteilchen der Wechselwirkungen; das Higgs-Boson ist ebenfalls ein Boson, vermittelt aber keine der fundamentalen Wechselwirkungen.

1. a) Nennen Sie das Austauschboson der elektromagnetischen Wechselwirkung.
2. b) Welches Boson des Standardmodells hängt damit zusammen, dass Teilchen Masse besitzen?
3. c) Erklären Sie mit eigenen Worten den Unterschied zwischen der Rolle eines Austauschbosons und der eines Materieteilchens wie eines Leptons.

In einem Detektor eines teilchenphysikalischen Labors werden diese sechs Teilchen registriert: Elektron, Proton, Neutron, Photon, Neutrino und Higgs-Boson.

1. a) Welche davon sind Leptonen?
2. b) Welche sind Hadronen, also aus Quarks aufgebaut?
3. c) Welche sind Austauschbosonen oder einem Feld zugeordnet?

Jede Sekunde durchqueren etwa $10^{14}$ Neutrinos aus den Kernreaktionen der Sonne unseren Körper, ohne dass wir irgendetwas davon bemerken.

1. a) Erklären Sie anhand ihrer Eigenschaften (Ladung, Masse und Art der Wechselwirkung, der sie unterliegen), warum Neutrinos die gesamte Erde durchdringen, ohne nennenswert zu wechselwirken.
2. b) Zu welcher Familie des Standardmodells gehören die Neutrinos und wodurch unterscheiden sie sich von den Quarks?
3. c) Begründen Sie, warum Neutrinodetektoren wie Super-Kamiokande in Japan riesige Wassertanks verwenden, die tief unter der Erde installiert sind.

Bis 2012 war das Higgs-Boson das einzige Teil des Standardmodells ohne experimentelle Bestätigung. Seine Existenz erklärt, warum Elementarteilchen Masse haben. Gegeben: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ und $m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Erklären Sie qualitativ die Rolle des Higgs-Feldes: Warum hat das Photon, das nicht mit diesem Feld wechselwirkt, keine Masse, während die Bosonen $\text{W}$ und $\text{Z}$, die mit ihm wechselwirken, sehr massereich sind?
2. b) Die Masse des Higgs-Bosons beträgt $125\ \text{GeV}/c^2$: Berechnen Sie seine Ruheenergie in Joule und seine Masse in Kilogramm.
3. c) Wie viel mal massereicher ist das Higgs-Boson als ein Proton? Erläutern Sie, warum der leistungsstärkste Beschleuniger der Welt nötig war, um es zu erzeugen.

In der Teilchenphysik werden Energien in Elektronenvolt und ihren Vielfachen angegeben: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$, $1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$.

1. a) Die Ruheenergie des Elektrons beträgt $0,511\ \text{MeV}$: Geben Sie sie in Joule an.
2. b) Die Ruheenergie des Protons beträgt $938\ \text{MeV}$: Geben Sie sie in Joule an.
3. c) Wievielmal größer ist die Ruheenergie des Protons als die des Elektrons? Geben Sie das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.

Nach der Relativitätstheorie besitzt jedes ruhende Teilchen eine mit seiner Masse verbundene Energie $E_0 = m \cdot c^2$. Gegeben: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ und $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Berechnen Sie die Ruheenergie des Elektrons in Joule.
2. b) Rechnen Sie das Ergebnis in $\text{MeV}$ um und überprüfen Sie, dass es näherungsweise mit dem anerkannten Wert $0,511\ \text{MeV}$ übereinstimmt.
3. c) Wiederholen Sie die Rechnung für das Proton ($m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$) und vergleichen Sie das Ergebnis mit $938\ \text{MeV}$.

Bei der Positronen-Emissions-Tomografie (PET), einem medizinischen Diagnoseverfahren, wird dem Patienten ein Radiotracer injiziert, der Positronen aussendet. Jedes Positron vernichtet sich mit einem Elektron des Gewebes und es werden zwei Gammaphotonen in entgegengesetzten Richtungen ausgesandt. Gegeben: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ und $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Unter der Annahme, dass Elektron und Positron praktisch in Ruhe sind, berechnen Sie die bei der Vernichtung insgesamt freigesetzte Energie in Joule.
2. b) Welche Energie trägt jedes der beiden Photonen? Geben Sie sie in $\text{MeV}$ an.
3. c) Erklären Sie mithilfe der Impulserhaltung, warum die beiden Photonen in entgegengesetzte Richtungen davonfliegen und warum das dem PET-Gerät erlaubt, den Ort der Vernichtung zu bestimmen.

1932 entdeckte Carl Anderson in der kosmischen Strahlung das Positron: ein Teilchen, das dem Elektron gleicht, aber positiv geladen ist. Es war das erste beobachtete Antiteilchen.

1. a) Welche Eigenschaften haben ein Teilchen und sein Antiteilchen gemeinsam und in welcher Eigenschaft unterscheiden sie sich?
2. b) Geben Sie an, wie das Antiteilchen des Protons heißt und welche Ladung es hat.
3. c) Was geschieht, wenn ein Teilchen und sein Antiteilchen aufeinandertreffen?

Im Standardmodell werden die Massen der Teilchen üblicherweise in $\text{MeV}/c^2$ angegeben. Gegeben: Masse des Elektrons $m_e = 0,511\ \text{MeV}/c^2$, Masse des Myons $m_\mu = 105,7\ \text{MeV}/c^2$, $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ und $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Erklären Sie, was es bedeutet, eine Masse in $\text{MeV}/c^2$ anzugeben, und welcher Zusammenhang mit der Gleichung $E_0 = m \cdot c^2$ besteht.
2. b) Berechnen Sie die Masse des Myons in Kilogramm.
3. c) Wievielmal massereicher ist das Myon als das Elektron? Dieses Ergebnis, nahe bei $207$, führte dazu, dass das Myon in den 1930er-Jahren zunächst mit dem von Yukawa vorhergesagten Teilchen verwechselt wurde, was später wegen seiner schwachen Wechselwirkung mit den Atomkernen verworfen wurde.

Im ALPHA-Experiment am CERN werden Antiwasserstoffatome, die einfachste mögliche Antimaterie, hergestellt, indem ein Antiproton mit einem Positron kombiniert wird. Gegeben: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$, und die Ladung eines Antiquarks ist der seines Quarks entgegengesetzt.

1. a) Geben Sie die Zusammensetzung des Antiwasserstoffs an und begründen Sie, welche Nettoladung er hat.
2. b) Das Antiproton besteht aus zwei Antiquarks $\bar{\text{u}}$ und einem Antiquark $\bar{\text{d}}$: Berechnen Sie seine Ladung in Abhängigkeit von $e$.
3. c) Erklären Sie, warum die Speicherung von Antimaterie so schwierig ist und welche Techniken (extremes Vakuum, Magnetfallen) dafür eingesetzt werden.

Die Annihilation von Materie und Antimaterie wandelt $100\ \%$ der Masse in Energie um, den höchsten Wirkungsgrad, den die Physik zulässt. Gegeben: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; die Verbrennung von Benzin setzt etwa $4,5\cdot10^{7}\ \text{J/kg}$ frei.

1. a) Berechnen Sie die Energie, die frei wird, wenn $1\ \text{g}$ Antimaterie mit $1\ \text{g}$ gewöhnlicher Materie annihilieren. Beachten Sie, dass die Masse von beiden verschwindet.
2. b) Wie vielen Kilogramm Benzin entspricht diese Energie? Geben Sie das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.
3. c) Trotz dieses spektakulären Wirkungsgrads wird Antimaterie nie eine praktische Energiequelle sein: Begründen Sie, warum, und denken Sie dabei daran, woher man Antimaterie gewinnt und wie viel Energie ihre Herstellung kostet.

Die Masse des Protons beträgt $938\ \text{MeV}/c^2$, aber die Massen seiner drei Quarks (zwei $\text{u}$ und ein $\text{d}$) ergeben zusammen nur etwa $9\ \text{MeV}/c^2$, rund $1\ \%$ der Gesamtmasse. Gegeben: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Betrachten Sie das Diagramm:

1. a) Wenn die Ruhemasse des Protons nicht von der Masse seiner Quarks stammt, woher stammt sie dann im Wesentlichen? Erklären Sie Ihre Antwort mithilfe der Äquivalenz $E_0 = m \cdot c^2$ und der Energie der starken Wechselwirkung, die die Quarks bindet.
2. b) Berechnen Sie in Joule die der Masse des Protons entsprechende Energie.
3. c) Nehmen Sie kritisch Stellung zu der Aussage: „Die Masse gewöhnlicher Materie ist vor allem eingeschlossene Energie.“

Beim Betazerfall wandelt sich ein freies Neutron gemäß dem Prozess $\text{n} \rightarrow \text{p} + \text{e}^- + \bar{\nu}_e$ um, wobei $\bar{\nu}_e$ ein Elektron-Antineutrino ist. Gegeben: Das Neutron ist $\text{udd}$, das Proton ist $\text{uud}$, $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ und $q_d = -\frac{1}{3}\,e$. Betrachten Sie das Schema des Prozesses:

1. a) Überprüfen Sie, dass die elektrische Ladung bei dem Prozess erhalten bleibt, indem Sie die Ladungen vor und nach dem Zerfall addieren.
2. b) Welche Umwandlung erfährt eines der Quarks beim Zerfall, wenn Sie die Zusammensetzungen von Neutron und Proton vergleichen?
3. c) Das Neutron ist neutral und das Proton hat die Ladung $+e$. Erklären Sie, warum zwingend auch ein Elektron emittiert werden muss, und begründen Sie, welche Hinweise (Erhaltung von Energie und Impuls) dazu zwangen, zusätzlich das Antineutrino zu postulieren.

Es werden diese drei Reaktionen zwischen Teilchen vorgeschlagen ($\bar{\text{p}}$ steht für ein Antiproton mit der Ladung $-e$; das Antineutrino $\bar{\nu}_e$ und die Photonen $\gamma$ tragen keine Ladung):

• Reaktion 1: $\text{p} + \bar{\text{p}} \rightarrow \gamma + \gamma$

• Reaktion 2: $\text{n} \rightarrow \text{p} + \text{e}^-$

• Reaktion 3: $\text{e}^- + \text{e}^- \rightarrow \text{e}^-$

1. a) Überprüfen Sie für jede Reaktion, ob die elektrische Ladung erhalten bleibt.
2. b) Reaktion 2 erhält die Ladung und wird dennoch in der Natur nie so beobachtet: Unter den Produkten fehlt ein Antineutrino. Erklären Sie, welche Größen ohne es nicht erhalten wären (denken Sie an die Leptonenzahl, den Spin und daran, dass die Energie der emittierten Elektronen ein kontinuierliches Spektrum hat).
3. c) Berechnen Sie für die Proton-Antiproton-Annihilation in Reaktion 1 die gesamte für die Photonen verfügbare Energie in Joule und in $\text{GeV}$, wenn beide Teilchen praktisch in Ruhe sind. Gegeben: $m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ und $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

Myonen sind instabile Leptonen mit einer mittleren Lebensdauer von nur $\tau = 2,2\ \mu\text{s}$. Sie entstehen in der oberen Atmosphäre in etwa $15\ \text{km}$ Höhe, wenn kosmische Strahlung auf Luftmoleküle trifft, und bewegen sich praktisch mit Lichtgeschwindigkeit. Gegeben: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; betrachten Sie ein Myon mit der Geschwindigkeit $v = 0,999\,c$. Betrachten Sie das Schema:

1. a) Berechnen Sie nach der klassischen Physik die Strecke, die das Myon im Mittel zurücklegen würde, bevor es zerfällt.
2. b) Vergleichen Sie diese Strecke mit den $15\ \text{km}$, die es vom Boden trennen, und erklären Sie, was die klassische Physik über die Möglichkeit vorhersagen würde, Myonen an der Erdoberfläche nachzuweisen.
3. c) An der Oberfläche werden Myonen tatsächlich in großer Zahl nachgewiesen: Erklären Sie qualitativ, welcher relativistische Effekt (Zeitdilatation oder gleichwertig Längenkontraktion) das ermöglicht.

Das freie Proton ist stabil, aber ein freies Neutron zerfällt im Mittel nach etwa $880\ \text{s}$. Gegeben (Ruheenergien): $E_0(\text{n}) = 939,6\ \text{MeV}$, $E_0(\text{p}) = 938,3\ \text{MeV}$, $E_0(\text{e}^-) = 0,511\ \text{MeV}$; die Ruheenergie des Antineutrinos ist praktisch null. Betrachten Sie das Energieniveauschema:

1. a) Überprüfen Sie anhand der Daten, dass der Zerfall $\text{n} \rightarrow \text{p} + \text{e}^- + \bar{\nu}_e$ energetisch möglich ist, und berechnen Sie die freigesetzte Energie.
2. b) Begründen Sie mit denselben Daten, warum der spontane Umkehrprozess $\text{p} \rightarrow \text{n} + \text{e}^+ + \nu_e$ für ein freies Proton nicht ablaufen kann.
3. c) Setzen Sie Ihre Schlussfolgerungen in Beziehung dazu, dass die stabile Materie des Universums aus Protonen und Elektronen und nicht aus freien Neutronen besteht.

Ein isoliertes Quark wurde noch nie beobachtet: Quarks existieren nur in Kombinationen (Baryonen aus drei Quarks oder Mesonen aus Quark und Antiquark). Diese Eigenschaft der starken Wechselwirkung nennt man Confinement. Gegeben: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ und $q_d = -\frac{1}{3}\,e$.

1. a) Erklären Sie, warum die elektrische Ladung jedes Teilchens, das frei beobachtet werden kann, stets ein ganzzahliges Vielfaches von $e$ ist, obwohl Quarks Ladungen von $\pm\frac{1}{3}\,e$ oder $\pm\frac{2}{3}\,e$ tragen. Überprüfen Sie dies an einem Baryon und an einem Meson.
2. b) Versucht man, zwei Quarks zu trennen, materialisiert sich die aufgewendete Energie in einem aus dem Vakuum erzeugten Quark-Antiquark-Paar, und statt freier Quarks erscheinen zwei neue Hadronen. Setzen Sie diese Tatsache in Beziehung zum Confinement und zur Gleichung $E = m \cdot c^2$.
3. c) Vergleichen Sie die Situation mit dem Durchbrechen eines Magneten in der Hoffnung, Nordpol und Südpol zu trennen: Nennen Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Phänomene.