Aufgaben: Zerfallsgesetz und Halbwertszeit

Ein radioaktives Präparat enthält zu Beginn $N_0 = 8,0\cdot 10^{12}$ Atomkerne eines Nuklids mit der Halbwertszeit $T_{1/2} = 6,0\ \text{h}$.

1. a) Berechnen Sie die Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne nach $18\ \text{h}$.
2. b) Berechnen Sie den Anteil der zerfallenen Kerne nach $12\ \text{h}$.

Das Zerfallsgesetz lautet $N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}$ mit $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$. Für Iod-131 beträgt die Halbwertszeit $8,0\ \text{d}$.

1. a) Berechnen Sie die Zerfallskonstante in $\text{d}^{-1}$.
2. b) Berechnen Sie, wie viel Prozent der Kerne nach $24\ \text{d}$ noch vorhanden sind.

Die Aktivität einer Probe beträgt $A_0 = 2,4\cdot 10^6\ \text{Bq}$. Die Halbwertszeit des Nuklids beträgt $30\ \text{min}$.

1. a) Erläutern Sie, was die Einheit Becquerel bedeutet.
2. b) Berechnen Sie die Aktivität nach $2,0\ \text{h}$.

Mit einem Geiger-Müller-Zählrohr wird die Zählrate einer Probe gemessen. Nach Abzug des Nulleffekts ergeben sich:

$t$ in min	0	10	20	30
Zählrate in $\text{min}^{-1}$	960	600	375	235

1. a) Bestimmen Sie aus den Messwerten die Halbwertszeit.
2. b) Berechnen Sie die zu erwartende Zählrate nach $50\ \text{min}$.
3. c) Erklären Sie, warum der Nulleffekt vor der Auswertung abgezogen werden muss.

Die Nuklidkarte zeigt für Kohlenstoff-14 ($^{14}_{6}\text{C}$) einen $\beta^-$-Zerfall.

1. a) Stellen Sie die Zerfallsgleichung auf und nennen Sie das Tochternuklid.
2. b) Eine Holzprobe aus einem Pfahlbau am Bodensee hat noch $62\ \%$ der Aktivität lebenden Holzes. Bestimmen Sie das Alter der Probe ($T_{1/2} = 5.730\ \text{a}$).

Radium-226 ($^{226}_{88}\text{Ra}$) zerfällt durch $\alpha$-Zerfall.

1. a) Stellen Sie die Zerfallsgleichung auf (Tochterkern: Radon).
2. b) Berechnen Sie die Anzahl der Atome in $1,0\ \text{g}$ Radium-226 ($M = 226\ \text{g/mol}$, $N_A = 6,02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$).
3. c) Berechnen Sie die Aktivität dieser Probe mit $T_{1/2} = 1.600\ \text{a}$ ($1\ \text{a}=3,16\cdot 10^{7}\ \text{s}$).

In der Nuklearmedizin eines Klinikums wird Technetium-99m ($T_{1/2} = 6,0\ \text{h}$) mit einer Anfangsaktivität von $600\ \text{MBq}$ geliefert. Für eine Untersuchung benötigt man zum Zeitpunkt der Injektion mindestens $150\ \text{MBq}$.

1. a) Berechnen Sie, bis wann nach Lieferung das Präparat verwendbar ist.
2. b) Berechnen Sie die Anzahl der zu Beginn vorhandenen Kerne.
3. c) Begründen Sie, warum für die Diagnostik ein Nuklid mit kurzer Halbwertszeit gewählt wird.

Eine Probe enthält zwei Nuklide A und B mit $T_A = 2,0\ \text{h}$ und $T_B = 8,0\ \text{h}$. Zu Beginn haben beide die gleiche Aktivität $A_0 = 100\ \text{kBq}$.

1. a) Berechnen Sie die Gesamtaktivität nach $8,0\ \text{h}$.
2. b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Aktivität von A nur noch $10\ \%$ der Aktivität von B beträgt.
3. c) Erläutern Sie, warum die Gesamtaktivität nicht mit einer einzigen Halbwertszeit abnimmt.

Die Zerfallsreihe von Uran-238 beginnt mit $^{238}_{92}\text{U}\to{}^{234}_{90}\text{Th}+\ldots$ Anschließend zerfällt $^{234}_{90}\text{Th}$ durch $\beta^-$ zu Protactinium und dieses durch $\beta^-$ weiter.

1. a) Vervollständigen Sie die drei Zerfallsgleichungen (Kernladungszahl, Massenzahl).
2. b) Zeigen Sie, welche Nuklidart nach den drei Schritten entsteht, und vergleichen Sie sie mit dem Ausgangsnuklid.
3. c) Ein Uranerz enthält Uran-238 ($T_{1/2}=4,5\cdot10^{9}\ \text{a}$). Es ist noch $87,5\ \%$ des ursprünglichen Urans vorhanden. Berechnen Sie das Alter des Erzes.