Aufgaben: Kernphysik, Radioaktivität und ionisierende Strahlung

Radium-226 ($^{226}_{88}\mathrm{Ra}$) ist ein $\alpha$-Strahler. Kohlenstoff-14 ($^{14}_{6}\mathrm{C}$) wandelt sich durch $\beta^-$-Umwandlung um.

1. a) Stellen Sie unter Verwendung der Nuklidkarte die Reaktionsgleichungen für beide Umwandlungen auf.

1. b) Zeigen Sie an beiden Gleichungen, dass Nukleonenzahl und Ladung erhalten bleiben.

1. c) Beschreiben Sie die $\beta^-$-Umwandlung auf der Ebene der Quarks und nennen Sie die beteiligte Wechselwirkung und das Austauschteilchen.

Jod-131 wird in der Nuklearmedizin zur Behandlung der Schilddrüse eingesetzt. Die Halbwertszeit beträgt $T_{1/2} = 8{,}0\,\mathrm{d}$. Eine Probe hat zu Beginn die Aktivität $A_0 = 400\,\mathrm{kBq}$.

1. a) Berechnen Sie die Aktivität der Probe nach $16\,\mathrm{d}$ und nach $24\,\mathrm{d}$.

1. b) Bestimmen Sie die Zeit, nach der die Aktivität auf $12{,}5\,\mathrm{kBq}$ gesunken ist.

1. c) Erläutern Sie den Begriff Halbwertszeit und begründen Sie, weshalb sich für einzelne Atomkerne keine Aussage zum Zeitpunkt des Zerfalls machen lässt.

In einem Versuch mit einem Geiger-Müller-Zählrohr wird ein Präparat untersucht, das $\alpha$-, $\beta$- und $\gamma$-Strahlung aussendet. Der Nulleffekt beträgt $25$ Impulse pro Minute. Die gemessenen Zählraten (in Impulsen pro Minute) lauten:

Anordnung	Zählrate in 1/min
ohne Absorber	1.425
Blatt Papier	735
Aluminiumblech, 3 mm	125
Aluminiumblech, 3 mm und Bleiplatte, 5 cm	27

1. a) Berechnen Sie für jede Anordnung die um den Nulleffekt bereinigte Zählrate.

1. b) Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der $\alpha$-Strahlung und der $\beta$-Strahlung an der bereinigten Zählrate ohne Absorber und begründen Sie Ihr Vorgehen.

1. c) Erläutern Sie das Funktionsprinzip eines Geiger-Müller-Zählrohrs.

In Fusionsexperimenten wird die Reaktion

$$^{2}_{1}\mathrm{D} + {}^{3}_{1}\mathrm{T} \to {}^{4}_{2}\mathrm{He} + {}^{1}_{0}\mathrm{n}$$

untersucht. Die Atommassen betragen: $m(\mathrm{D}) = 2{,}014102\,\mathrm{u}$, $m(\mathrm{T}) = 3{,}016049\,\mathrm{u}$, $m(\mathrm{He}) = 4{,}002603\,\mathrm{u}$, $m(\mathrm{n}) = 1{,}008665\,\mathrm{u}$. Es gilt $1\,\mathrm{u} \,\widehat{=}\, 931{,}5\,\mathrm{MeV}$ sowie $1\,\mathrm{u} = 1{,}6605\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}$.

1. a) Berechnen Sie den Massendefekt bei dieser Reaktion und die freigesetzte Energie in $\mathrm{MeV}$ und in $\mathrm{J}$.

1. b) Berechnen Sie die Energie, die pro Kilogramm des Brennstoffgemischs aus Deuterium und Tritium freigesetzt wird.

1. c) Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Heizwert von Steinkohle ($29\,\mathrm{MJ/kg}$) und erklären Sie anhand von $E = m\,c^2$, weshalb die Energiefreisetzung bei Kernreaktionen so viel größer ist als bei chemischen Reaktionen.

Ein Uran-235-Kern spaltet sich nach Einfang eines Neutrons gemäß

$$^{235}_{92}\mathrm{U} + {}^{1}_{0}\mathrm{n} \to {}^{141}_{56}\mathrm{Ba} + {}^{92}_{36}\mathrm{Kr} + 3\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}.$$

Die Atommassen betragen: $m(\mathrm{U}) = 235{,}043930\,\mathrm{u}$, $m(\mathrm{Ba}) = 140{,}914411\,\mathrm{u}$, $m(\mathrm{Kr}) = 91{,}926156\,\mathrm{u}$, $m(\mathrm{n}) = 1{,}008665\,\mathrm{u}$. Es gilt $1\,\mathrm{u} \,\widehat{=}\, 931{,}5\,\mathrm{MeV}$ $1\,\mathrm{MeV} = 1{,}602\cdot10^{-13}\,\mathrm{J}$ und $1\,\mathrm{u} = 1{,}6605\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}$.

1. a) Zeigen Sie, dass die Reaktionsgleichung in Nukleonenzahl und Ladung ausgeglichen ist.

1. b) Berechnen Sie den Massendefekt und die je Spaltung freigesetzte Energie in $\mathrm{MeV}$.

1. c) Ein Kernkraftwerk (inzwischen stillgelegt) hatte eine thermische Leistung von $3{,}4\,\mathrm{GW}$. Berechnen Sie die Anzahl der Spaltungen pro Sekunde und die Masse an Uran-235, die an einem Tag gespalten wird. Nehmen Sie vereinfachend an, dass die gesamte Energie aus diesem Spaltprozess stammt.

Eine Tabelle enthält typische effektive Dosen:

Ereignis	Effektive Dosis in mSv
Röntgenaufnahme des Brustkorbs	0,02
Computertomographie des Bauchraums	10
natürliche Strahlenbelastung in Deutschland pro Jahr	2,1
Grenzwert für beruflich strahlenexponierte Personen pro Jahr	20

Eine Röntgenröhre in einer Klinik in Münster wird mit der Beschleunigungsspannung $U = 80\,\mathrm{kV}$ betrieben.

1. a) Berechnen Sie, wie vielen Röntgenaufnahmen des Brustkorbs die Dosis einer Computertomographie entspricht und wie vielen Jahren natürlicher Strahlenbelastung.

1. b) Beschreiben Sie drei Maßnahmen des Strahlenschutzes beim Umgang mit einer Strahlungsquelle und erläutern Sie jeweils das Prinzip.

1. c) Berechnen Sie die kleinste Wellenlänge und die größte Photonenenergie der von der Röhre ausgesandten Röntgenstrahlung.

1. d) Bewerten Sie, ob die Dosis der Computertomographie in Teilaufgabe a) bei begründetem Verdacht auf eine Erkrankung vertretbar ist.

Lebende Organismen nehmen ständig Kohlenstoff auf, darunter das radioaktive Isotop $^{14}_{6}\mathrm{C}$ mit der Halbwertszeit $T_{1/2} = 5.730\,\mathrm{a}$. In lebendem Material beträgt die Aktivität des $^{14}\mathrm{C}$ etwa $0{,}23\,\mathrm{Bq}$ pro Gramm Kohlenstoff. Nach dem Tod endet die Aufnahme. Bei einer Holzprobe aus einem archäologischen Fund bei Haltern am See wird für $5{,}0\,\mathrm{g}$ Kohlenstoff eine Aktivität von $0{,}80\,\mathrm{Bq}$ gemessen (bereits um den Nulleffekt bereinigt).

1. a) Bestimmen Sie das Alter der Probe.

1. b) Berechnen Sie die Zerfallskonstante $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$ in $1/\mathrm{s}$ (ein Jahr entspricht $3{,}156\cdot10^{7}\,\mathrm{s}$) und die Anzahl der $^{14}\mathrm{C}$-Kerne, die in $5{,}0\,\mathrm{g}$ Kohlenstoff einer lebenden Pflanze enthalten sind (Zusammenhang $A = \lambda\,N$).

1. c) Begründen Sie, weshalb sich die Radiocarbonmethode nicht zur Altersbestimmung einer Probe mit einem Alter von $500.000\,\mathrm{a}$ eignet.

1. d) Geben Sie die Zerfallsgleichung des $^{14}\mathrm{C}$ an.

Für ein radioaktives Präparat, das in der Nuklearmedizin verwendet werden soll, wird mit einem Zählrohr die Zählrate $Z$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ gemessen. Der Nulleffekt beträgt $Z_0 = 5\,\mathrm{s^{-1}}$.

$t$ in min	0	10	20	30	40	60
gemessene Zählrate in 1/s	85	62	45	33	25	15

1. a) Bereinigen Sie die Zählraten um den Nulleffekt und bestimmen Sie daraus die Halbwertszeit des Präparats. Begründen Sie Ihr Vorgehen.

1. b) Berechnen Sie die bereinigte und die gemessene Zählrate zur Zeit $t = 100\,\mathrm{min}$ und die Zeit, nach der die bereinigte Zählrate gleich dem Nulleffekt ist.

1. c) Erläutern Sie, weshalb die Messwerte um die erwartete Kurve schwanken, obwohl der Zerfall jedes einzelnen Kerns einem festen Gesetz der Wahrscheinlichkeit folgt.

1. d) Beurteilen Sie, weshalb für diagnostische Anwendungen am Patienten Nuklide mit kurzer Halbwertszeit von Vorteil sind, und nennen Sie einen Nachteil.

Bei der $\beta^-$-Umwandlung wird beobachtet, dass die Elektronen nicht mit einer festen Energie emittiert werden. Im gemessenen Energiespektrum des Elektrons treten alle kinetischen Energien von nahezu $0\,\mathrm{MeV}$ bis zu einem Höchstwert auf. Beim Zerfall des freien Neutrons gilt $\mathrm{n} \to \mathrm{p} + \mathrm{e}^- + \bar{\nu}_\mathrm{e}$ mit den Massen $m_\mathrm{n} = 1{,}008665\,\mathrm{u}$, $m_\mathrm{p} = 1{,}007276\,\mathrm{u}$ und $m_\mathrm{e} = 0{,}000549\,\mathrm{u}$. Die Masse des Antineutrinos ist vernachlässigbar klein. Es gilt $1\,\mathrm{u} \,\widehat{=}\, 931{,}5\,\mathrm{MeV}$.

1. a) Berechnen Sie den Massendefekt und die bei der Umwandlung freigesetzte Energie in $\mathrm{MeV}$.

1. b) Erläutern Sie, welchen Höchstwert der kinetischen Energie des Elektrons Sie erwarten, und begründen Sie anhand des kontinuierlichen Elektronenspektrums, weshalb ein weiteres Teilchen an der Umwandlung beteiligt sein muss.

1. c) Beschreiben Sie die Umwandlung auf der Ebene der Quarks und erläutern Sie die Rolle der schwachen Wechselwirkung.

1. d) Erläutern Sie qualitativ, welche Rolle die starke Wechselwirkung für die Stabilität von Atomkernen spielt, obwohl sich die positiv geladenen Protonen im Kern elektrisch abstoßen.