Thaleskreis und Umkehrung
Lena baut im Werkunterricht ein Regal und will prüfen, ob eine Ecke wirklich rechtwinklig ist. Ihr Geodreieck ist zu klein, aber sie hat einen Kreis mit einem Durchmesser aus Pappe. Sie legt die beiden Enden des Durchmessers an die Ecken des Bretts und schaut, ob die dritte Ecke genau auf der Kreislinie liegt. Warum funktioniert das? Am Ende dieser Seite kannst du es erklären.
Der Satz des Thales
Zeichne eine Strecke $AB$ und einen Kreis, dessen Durchmesser $AB$ ist. Dieser Kreis heißt Thaleskreis über $AB$. Sein Mittelpunkt $M$ ist die Mitte von $AB$ und sein Radius ist $r=\frac{|AB|}{2}$.
Wähle nun einen Punkt $C$ auf der Kreislinie, aber nicht $A$ oder $B$. Miss den Winkel $\gamma$ bei $C$. Du erhältst immer $90^\circ$, egal wo $C$ liegt.
Man sagt auch: Der Winkel im Halbkreis ist ein rechter Winkel. Die Strecke $AB$ ist dann die Hypotenuse des Dreiecks. Die beiden anderen Winkel ergänzen sich zu $90^\circ$, denn die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180^\circ$.
Die Strecke $AB$ mit $|AB| = 10$ cm ist der Durchmesser eines Kreises. Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis ($C \neq A, B$). Wie groß ist der Winkel $\gamma$ bei $C$? Nenne…
Die Strecke $AB$ mit $|AB| = 10$ cm ist der Durchmesser eines Kreises. Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis ($C \neq A, B$). Wie groß ist der Winkel $\gamma$ bei $C$? Nenne den verwendeten Satz.
Ein Dreieck $ABC$ ist so in einen Halbkreis über der Strecke $AB$ eingezeichnet, dass $C$ auf dem Halbkreis liegt. Es gilt $\alpha = 35^\circ$. Berechne $\beta$ und…
Ein Dreieck $ABC$ ist so in einen Halbkreis über der Strecke $AB$ eingezeichnet, dass $C$ auf dem Halbkreis liegt. Es gilt $\alpha = 35^\circ$. Berechne $\beta$ und $\gamma$.
Gegeben ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r = 6,5$ cm. Die Sehne $AB$ ist ein Durchmesser, $C$ liegt auf dem Kreis mit $|AC| = 5$ cm. a) Berechne…
Gegeben ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r = 6,5$ cm. Die Sehne $AB$ ist ein Durchmesser, $C$ liegt auf dem Kreis mit $|AC| = 5$ cm.
- a) Berechne $|BC|$.
- b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.
Warum gilt der Satz? Der Beweis
Im Mathematikunterricht reicht Messen nicht aus, du musst den Satz begründen. Der Beweis nutzt den Mittelpunkt $M$ und die Strecke $MC$.
Der Schlüssel ist, dass $M$ von $A$, $B$ und $C$ gleich weit entfernt ist. Dadurch entstehen gleichschenklige Dreiecke.
Beweise den Satz des Thales: Liegt $C$ auf dem Kreis mit dem Durchmesser $AB$, so ist $\gamma = 90^\circ$. Verwende den Mittelpunkt $M$ und die Strecke $MC$, die…
Beweise den Satz des Thales: Liegt $C$ auf dem Kreis mit dem Durchmesser $AB$, so ist $\gamma = 90^\circ$. Verwende den Mittelpunkt $M$ und die Strecke $MC$, die gleichschenklige Teildreiecke erzeugt, sowie die Winkelsumme im Dreieck.
Die Umkehrung: Der Thaleskreis als Ortslinie
Bisher galt: Kreis $\Rightarrow$ rechter Winkel. Gilt es auch andersherum?
Zusammen gilt: Die Ortslinie aller Punkte $C$, von denen aus die Strecke $AB$ unter einem rechten Winkel erscheint, ist der Thaleskreis über $AB$ (ohne $A$ und $B$). Damit kannst du mit der Umkehrung rechte Winkel nachweisen und rechtwinklige Dreiecke konstruieren.
Beweise die Umkehrung des Satzes des Thales: Ist $ABC$ ein Dreieck mit einem rechten Winkel bei $C$, so liegt $C$ auf dem Kreis mit dem Durchmesser $AB$. Ergänze dazu…
Beweise die Umkehrung des Satzes des Thales: Ist $ABC$ ein Dreieck mit einem rechten Winkel bei $C$, so liegt $C$ auf dem Kreis mit dem Durchmesser $AB$. Ergänze dazu das Dreieck zu einem Rechteck und nutze, dass sich die Diagonalen im Rechteck halbieren und gleich lang sind.
Konstruieren mit dem Thaleskreis
Mit dem Thaleskreis kannst du rechte Winkel mit Zirkel und Lineal konstruieren. Dazu brauchst du zuerst den Mittelpunkt von $AB$.
Eine weitere Anwendung sind Tangenten von einem Punkt $P$ außerhalb eines Kreises. Eine Tangente steht senkrecht auf dem Radius zum Berührpunkt $T$. Das Dreieck $MTP$ hat also bei $T$ einen rechten Winkel, und $T$ liegt auf dem Thaleskreis über $MP$.
Konstruiere den Thaleskreis über der Strecke $AB$ mit $|AB| = 8$ cm. Beschreibe, wie du den Mittelpunkt und den Radius bestimmst, und gib den Radius an.
Konstruiere den Thaleskreis über der Strecke $AB$ mit $|AB| = 8$ cm. Beschreibe, wie du den Mittelpunkt und den Radius bestimmst, und gib den Radius an.
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $c = 9$ cm und der Kathete $a = 5$ cm. Beschreibe die Konstruktion mit dem Thaleskreis.
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $c = 9$ cm und der Kathete $a = 5$ cm. Beschreibe die Konstruktion mit dem Thaleskreis.
Von einem Punkt $P$ außerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M$ sollen die Tangenten an den Kreis konstruiert werden. Es gilt $|MP| = 8$ cm, $r = 3$ cm. a)…
Von einem Punkt $P$ außerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M$ sollen die Tangenten an den Kreis konstruiert werden. Es gilt $|MP| = 8$ cm, $r = 3$ cm.
- a) Beschreibe die Konstruktion mithilfe des Thaleskreises über $MP$.
- b) Berechne die Länge der Tangentenabschnitte vom Punkt $P$ zu den Berührpunkten.
Der Thaleskreis im Koordinatensystem
Im Koordinatensystem kannst du prüfen, ob ein Punkt auf dem Thaleskreis liegt. Du berechnest dazu seinen Abstand zum Mittelpunkt $M$ und vergleichst ihn mit dem Radius $r$. Der Abstand zweier Punkte folgt aus dem Satz des Pythagoras mit dem Steigungsdreieck als Hilfsdreieck.
Punkte $C(x\mid y)$ auf dem Thaleskreis erfüllen $(x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$. Wenn du $x$ kennst, kannst du $y$ ausrechnen.
Gegeben sind die Punkte $A(-2|0)$ und $B(6|0)$. a) Bestimme Mittelpunkt und Radius des Thaleskreises über $AB$. b) Prüfe, ob $C_1(2|4)$ und $C_2(4|3)$ auf dem…
Gegeben sind die Punkte $A(-2|0)$ und $B(6|0)$.
- a) Bestimme Mittelpunkt und Radius des Thaleskreises über $AB$.
- b) Prüfe, ob $C_1(2|4)$ und $C_2(4|3)$ auf dem Thaleskreis liegen und begründe, ob das Dreieck $ABC_i$ bei $C_i$ einen rechten Winkel hat.
- c) Bestimme alle Punkte $C(x|y)$ auf dem Thaleskreis mit $x = 5$.