Der Funktionsbegriff

Betrachte die folgenden Zuordnungen zwischen Größen und entscheide jeweils, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht:

1. a) Jeder Handynummer ordnen wir den Namen ihres Besitzers im Adressbuch zu.
2. b) Jeder Schülerin und jedem Schüler deiner Klasse ordnen wir die in Zentimetern gemessene Körpergröße zu.
3. c) Jedem Strichcode in einem Supermarkt ordnen wir den Preis des zugehörigen Produkts zu.
4. d) Jeder Person ordnen wir die Augenfarbe ihrer Geschwister zu.

An einer Schule werden verschiedene Zuordnungen zwischen Größen untersucht. Bestimme begründet, welche der folgenden Situationen eine Funktion darstellen, und gib in diesem Fall die unabhängige und die abhängige Variable an:

1. a) Jeder Personalausweisnummer der Schülerinnen und Schüler wird ihr aktuelles Alter zugeordnet.
2. b) Jeder an einem Tag auf dem Schulhof erreichten Höchsttemperatur werden die Uhrzeiten zugeordnet, zu denen diese Temperatur gemessen wurde.
3. c) Der verbrauchten Datenmenge in Gigabyte ($GB$) eines Handytarifs wird der monatliche Rechnungsbetrag zugeordnet.
4. d) Jeder natürlichen Zahl werden ihre Teiler zugeordnet.

In einem App-Store hat jedes Premium-Spiel einen festen Preis von $2,50$ €. Wir wollen den Zusammenhang zwischen der Anzahl der gekauften Spiele und den Gesamtkosten des Einkaufs untersuchen.

1. a) Bestimme die unabhängige und die abhängige Variable.
2. b) Ist diese Zuordnung eine Funktion? Begründe deine Antwort anhand der Definition einer Funktion.
3. c) Schreibe den Term (die Formel) auf, der beide Größen verbindet. Nenne dabei die Anzahl der Spiele $x$ und die Gesamtkosten $y$.

Gegeben ist die Funktion mit dem Term $f(x) = 3x - 2$. Vervollständige die folgende Wertetabelle in deinem Heft:

Gib nach dem Vervollständigen an, welcher Funktionswert zu $x = -1$ gehört.

Der Preis eines monatlichen Abonnements für eine Streaming-Plattform beträgt $9$ €, aber im ersten Monat gibt es ein Angebot und es kostet nur $3$ €.

1. a) Erstelle eine Tabelle, die die Anzahl der Abo-Monate (von $1$ bis $4$ Monaten) den insgesamt angefallenen Kosten zuordnet.
2. b) Zeichne diese vier Punkte in ein Koordinatensystem.
3. c) Ist es sinnvoll, die Punkte mit einer durchgezogenen Linie zu verbinden? Erkläre, warum.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 4}{2}$. Bearbeite die folgenden Aufgaben:

1. a) Berechne die Funktionswerte für $x = 0$, $x = 2$ und $x = -4$.
2. b) Bestimme den Wert $x$ (Urbild), dessen Funktionswert $f(x) = 6$ ist.
3. c) Liegt der Punkt $P(-1|-1,5)$ auf dem Graphen der Funktion? Begründe deine Antwort durch die nötigen Rechnungen.

Ein Kurierdienst mit Drohnen berechnet seine Leistungen so: eine feste Gebühr von $5\,€$ für die Abwicklung und zusätzlich $2\,€$ pro Kilogramm Gewicht. Wiegt das Paket jedoch mehr als $10\,\text{kg}$, halbiert sich der Preis für jedes zusätzliche Kilogramm (nur die Kilogramm über 10).

1. a) Gib die Funktion $P(x)$ an, die den Gesamtpreis der Sendung in Abhängigkeit vom Gewicht $x$ des Pakets in Kilogramm beschreibt. Achtung: Die Funktion hat zwei Terme (abschnittsweise definierte Funktion).

1. b) Berechne $P(8)$ und $P(15)$.

1. c) Zeichne den Graphen der Funktion.

1. d) Ein Kunde hat $31\,€$ bezahlt. Wie viele Kilogramm wog sein Paket?

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Damit ein Graph eine Funktion darstellt, muss jede senkrechte Gerade, die wir zeichnen, den Graphen in genau einem Punkt schneiden. Entscheide mit diesem „Vertikalentest“, welcher der folgenden Graphen keine Funktion ist:

Begründe deine Wahl, indem du erklärst, was beim gewählten Graphen passiert, wenn man eine senkrechte Gerade zeichnet.

Betrachte die folgenden Graphen im Koordinatensystem. Gib mithilfe des Vertikalentests begründet an, welcher von ihnen eine Funktion darstellt und welcher nicht.

Untersuche die folgenden Graphen und entscheide, ob sie eine Funktion darstellen oder nicht. Begründe deine Antwort mit dem Begriff der Zuordnung zwischen unabhängiger und abhängiger Variable.

1. a) $x^2 + y^2 = 25$ (Ein Kreis mit Radius 5 um den Ursprung.)
2. b) $y = \sqrt{x}$ (Nur die positive Wurzel wird betrachtet.)
3. c) Eine senkrechte Gerade im Koordinatensystem, die durch $x = 4$ verläuft.
4. d) Eine liegende Parabel mit der Gleichung $x = y^2$.

Lea kontrolliert den Akkuverbrauch ihres Smartphones, während sie ein Videospiel spielt. Der folgende Graph zeigt den verbleibenden Akkustand in Prozent in Abhängigkeit von der Spielzeit (in Minuten):

Beantworte anhand des Graphen:

1. a) Wie viel Prozent Akku hatte sie zu Spielbeginn (Zeit = $0$)?
2. b) Wie viel Akku bleibt ihr nach $20$ Minuten Spielzeit?
3. c) Wenn der Akku bei $0\%$ angekommen ist, wie viele Minuten hat sie dann insgesamt gespielt?

Ein Wanderer steigt auf einem Pfad einen Berg hinauf. Die Funktion, die seine Höhe über dem Meeresspiegel $H$ (in Metern) und die zurückgelegte horizontale Entfernung $d$ (in Kilometern) verbindet, ist $H(d) = 400 + 150d$.

1. a) In welcher Höhe liegt der Startpunkt der Route ($d = 0$)?
2. b) Wenn der Wanderer horizontal $3$ km zurückgelegt hat, in welcher Höhe befindet er sich?
3. c) Bestimme die Variablen der Funktion und erkläre ihre Bedeutung im Sachzusammenhang.

Betrachte die Punkte im folgenden Koordinatensystem, die die Temperatur in einem Gewächshaus in den ersten Stunden am Morgen zeigen:

Gib die Koordinaten $(x|y)$ der vier im Graphen markierten Punkte an und erkläre, was jede davon im Sachzusammenhang bedeutet. (Beispiel: Zur Uhrzeit $1$ beträgt die Temperatur … ).

Ein Verleih für E-Scooter verlangt eine feste Gebühr von $1,20$ € für das Entsperren des Fahrzeugs und zusätzlich $0,15$ € für jede Minute Nutzung.

1. a) Gib die beiden beteiligten Variablen an und ordne sie als abhängig bzw. unabhängig ein.
2. b) Schreibe den Funktionsterm (die Formel) auf, mit dem sich die Gesamtkosten $y$ der Miete in Abhängigkeit von der Nutzungsdauer $x$ in Minuten berechnen lassen.
3. c) Berechne, wie viel ein Schüler bezahlt, der den Scooter $22$ Minuten lang für den Weg von zu Hause zur Schule nutzt.

Die folgende Tabelle zeigt die Wassermenge (in Litern), die in einem mobilen Pool übrig bleibt, während er mit einer Pumpe leergepumpt wird:

1. a) Handelt es sich um eine Funktion? Erkläre, warum.
2. b) Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und wähle einen geeigneten Maßstab.
3. c) Wie lange dauert es, bis der Pool vollständig leer ist, wenn die Entwicklung gleich bleibt?
4. d) Wie viel Wasser ist $12$ Minuten nach Beginn des Leerpumpens noch im Pool?

Du kannst die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto deiner Lösung schicken.

Der Flächeninhalt eines Rechtecks, dessen Grundseite doppelt so lang ist wie seine Höhe, lässt sich als Funktion darstellen.

1. a) Nenne die Höhe des Rechtecks $x$ und schreibe den Funktionsterm der Flächeninhaltsfunktion $A(x)$ auf.
2. b) Welche Variable ist die unabhängige und welche die abhängige?
3. c) Berechne den Flächeninhalt, wenn die Höhe $4,5$ $cm$ beträgt.
4. d) Wenn der Flächeninhalt des Rechtecks $50$ $cm^2$ beträgt, wie groß ist dann seine Höhe?

Ein Wanderer notiert den Akkustand seines Smartphones in Prozent während einer Bergwanderung. Der entstandene Graph sieht so aus:

Beantworte anhand des Graphen:

1. a) Was sind die unabhängige und die abhängige Variable? Gib die Maßeinheiten an.
2. b) Wie hoch war der Akkustand zu Beginn der Wanderung?
3. c) Ist die Funktion monoton steigend oder fallend? Was bedeutet das im Sachzusammenhang?
4. d) Schätze, wie viel Zeit vergangen ist, wenn das Handy noch genau $50$ % Ladung hat.

Betrachte die Zuordnung, die jeder ganzen Zahl $x$ ihren Betrag plus drei zuordnet, also $y = |x| + 3$.

1. a) Erstelle eine Wertetabelle für die ganzen Zahlen zwischen $-3$ und $3$.
2. b) Zeichne die erhaltenen Punkte in ein Koordinatensystem.
3. c) Ist es sinnvoll, die Punkte mit einer durchgezogenen Linie zu verbinden, wenn in der Aufgabe steht, dass $x$ eine ganze Zahl ist? Erkläre, warum.
4. d) Gib die Wertemenge (Menge der Werte der abhängigen Variablen) anhand deiner Tabelle und deines Graphen an.

Du kannst die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto deiner Lösung schicken.

Ein Spieleprogrammierer entwirft das Belohnungssystem für ein neues Level. Die Anzahl der „Sternenkredite" ($C$), die ein Spieler erhält, hängt von der Zeit ($t$) in Minuten ab, die er für eine Mission braucht, gemäß der Beziehung:

Die Abbildung zeigt den Graphen dieser Beziehung für die Zeiten, die das Spiel zulässt.

1. a) Begründe, ob diese Beziehung für jeden Wert von $t$ größer als null eine Funktion ist.

1. b) Die kürzestmögliche Zeit, um die Mission abzuschließen, beträgt 6 Minuten, die vom Server erlaubte Höchstzeit 60 Minuten. Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge dieser Funktion in diesem Sachzusammenhang.

1. c) Was geschieht mit der Belohnung, wenn sich der Spieler der Zeit von 5 Minuten nähert? Wäre es sinnvoll, wenn die Definitionsmenge den Wert $t = 5$ enthielte?

Betrachte die Zuordnung, die jeder reellen Zahl $x$ ihren Abstand zur nächsten ganzen Zahl zuordnet. Zum Beispiel: Für $x = 2,3$ ist der Abstand zur nächsten ganzen Zahl (2) gleich $0,3$. Für $x = 2,8$ ist der Abstand zur nächsten ganzen Zahl (3) gleich $0,2$.

1. a) Zeichne den Graphen dieser Zuordnung im Intervall $x \in [0;3]$.
2. b) Erkläre, warum diese Zuordnung eine Funktion ist.
3. c) Bestimme die Wertemenge der Funktion.
4. d) Ist sie eine periodische Funktion? Wenn ja, gib ihre Periode an.

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Es soll ein rechteckiger Holzrahmen für einen Spiegel gebaut werden. Zur Verfügung steht eine Holzleiste mit einer Gesamtlänge von $4$ Metern für den gesamten Rahmen.

1. a) Die Länge der Grundseite des Rahmens (in Metern) sei $x$. Gib die Funktion $A(x)$ an, die den vom Rahmen eingeschlossenen Flächeninhalt berechnet.
2. b) Wie lautet die Definitionsmenge dieser Funktion unter Berücksichtigung der Bedingungen des Sachzusammenhangs?
3. c) Berechne den Flächeninhalt für die Grundseite $0,5 m$ und für $1,5 m$.
4. d) Für welchen Wert von $x$ ist der Flächeninhalt maximal? Welche geometrische Form hat der Rahmen dann?

Ein Wasserbehälter hat die Form eines auf der Spitze stehenden Kegels. Er wird mit konstanter Geschwindigkeit mit Wasser gefüllt. Der Zusammenhang zwischen dem Wasservolumen ($V$) und der Füllhöhe ($h$) wird durch die Funktion beschrieben:

1. a) Vereinfache den Term der Funktion $V(h)$.
2. b) Ist sie eine lineare Funktion? Begründe, indem du den Grad der Variablen $h$ betrachtest.
3. c) Berechne das Urbild von $V = \frac{2\pi}{3}$, also die Höhe $h$, die für dieses Volumen nötig ist.
4. d) Der Behälter hat eine Gesamthöhe von $4\,\text{m}$. Wie lauten Definitionsmenge und Wertemenge der Funktion in dieser Situation?

Betrachte die folgende Wertetabelle, die zwei Größen $A$ und $B$ einander zuordnet:

1. a) Finde einen Funktionsterm (eine Formel), der $y$ und $x$ miteinander verbindet.
2. b) Gib an, ob es sich um eine Funktion handelt, und begründe deine Antwort.
3. c) Bestimme die Schnittpunkte mit den Achsen.
4. d) Wir erweitern die Tabelle um den Wert $x = 1$ und ordnen ihm $y = 3$ zu. Wäre es dann immer noch eine Funktion? Begründe.

Ein Telefonanbieter bietet einen Tarif für Jugendliche namens „Gamer Pro“ an. Die monatlichen Kosten ($C$) in Euro hängen von den verbrauchten Gigabyte ($g$) ab:

• Die ersten $20\ \text{GB}$ sind kostenlos (in der Grundgebühr von $15\ €$ enthalten).

• Ab $20\ \text{GB}$ kostet jedes zusätzliche Gigabyte $1,5\ €$, aber nur bis zu einem Gesamtverbrauch von höchstens $50\ \text{GB}$.

• Wird mehr als $50\ \text{GB}$ verbraucht, wird die Geschwindigkeit gedrosselt und es wird nichts mehr berechnet.

1. a) Zeichne den Graphen der Funktion $C(g)$ für einen Verbrauch zwischen $0$ und $80\ \text{GB}$.

1. b) Gib die Funktion durch einen abschnittsweise definierten Funktionsterm an.

1. c) Gib die Intervalle an, in denen die Funktion konstant ist und in denen sie monoton steigend ist.

1. d) Wie lauten die Definitionsmenge und die Wertemenge dieser Funktion?

Du kannst die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto deiner Lösung schicken.