Kongruenz, Thales, Bruchgleichungen und Ratenkauf · Bruchgleichungen
Elementare Bruchgleichungen
Lena braucht allein 3 Stunden, um die Aula für das Schulfest zu schmücken. Jonas schafft es allein in 6 Stunden. Wie lange dauert es, wenn beide zusammenarbeiten? Mit einer gewöhnlichen linearen Gleichung kommst du hier nicht weit, denn die gesuchte Zeit steckt in einem Nenner. Am Ende der Seite löst du diese Aufgabe.
Was ist eine Bruchgleichung?
Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, in der die Variable mindestens einmal im Nenner eines Bruchterms steht. Beispiele:
Ein Nenner darf nie $0$ sein, denn durch $0$ kann man nicht teilen. Deshalb gibt es Zahlen, die du für $x$ gar nicht einsetzen darfst. Alle erlaubten Zahlen bilden die Definitionsmenge $\mathbb{D}$.
Die Bruchgleichung $\frac{3}{x-2}=6$ kannst du dir auch als Schnittpunktproblem vorstellen: Der Graph von $x\mapsto \frac{3}{x-2}$ und die Gerade $y=6$ schneiden sich. An der Stelle $x=2$ hat der Graph eine Lücke (eine senkrechte „Sperrstelle“).
Üben★☆☆Nicht begonnen
Gib für die Gleichung $\dfrac{3}{x - 2} = 6$ die Definitionsmenge an und löse die Gleichung.
Gib für die Gleichung $\dfrac{3}{x - 2} = 6$ die Definitionsmenge an und löse die Gleichung.
Brüche stören beim Auflösen. Die Idee: Du multiplizierst beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner, also dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Nenner. Das ist eine Äquivalenzumformung, solange der Hauptnenner nicht $0$ ist. Genau das garantiert die Definitionsmenge. Danach sind alle Nenner weg, und es bleibt eine Gleichung ohne Brüche.
Üben★☆☆Nicht begonnen
Löse die Gleichung $\dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{6} = 5$.
Löse die Gleichung $\dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{6} = 5$.
Binomische Formeln, Scheinlösungen und Sonderfälle
Oft sind die Nenner nicht gleich, stehen aber in einem Zusammenhang. Besonders häufig ist ein Nenner wie $x^2-1$. Mit der dritten binomischen Formel zerlegst du ihn:
$$x^2-1=(x-1)(x+1)$$
Dann ist $(x-1)(x+1)$ der Hauptnenner für Brüche mit den Nennern $x-1$, $x+1$ und $x^2-1$. Auch das Ausklammern hilft, zum Beispiel $x^2-2x=x(x-2)$.
Zwei weitere Sonderfälle können vorkommen:
Nach dem Umformen steht eine wahre Aussage wie $x^2-4=x^2-4$. Dann ist jede Zahl aus $\mathbb{D}$ eine Lösung, also $L=\mathbb{D}$.
Nach dem Umformen steht eine falsche Aussage wie $0=-4$. Dann gilt $L=\{\}$.
Manchmal steht in der Gleichung noch ein Buchstabe als Parameter, zum Beispiel $a$. Du löst dann nach $x$ auf und behandelst $a$ wie eine feste Zahl. Beim Teilen durch einen Term mit $a$ musst du prüfen, wann dieser Term $0$ ist.
Üben★★☆Nicht begonnen
Löse die Gleichung und gib die Definitionsmenge an: $\dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{3}{x + 1} = \dfrac{10}{x^2 - 1}$
Löse die Gleichung und gib die Definitionsmenge an:
Löse die Gleichung und überprüfe die Lösung mit der Definitionsmenge: $\dfrac{x}{x - 2} - \dfrac{4}{x^2 - 2x} = 1 + \dfrac{2}{x}$ Begründe, falls eine rechnerisch…
Löse die Gleichung und überprüfe die Lösung mit der Definitionsmenge:
Gegeben ist die Gleichung $\dfrac{a}{x - 1} = \dfrac{2}{x + 1}$ mit dem Parameter $a \in \mathbb{Q}$. a) Löse die Gleichung in Abhängigkeit von $a$. b) Für welchen Wert…
Gegeben ist die Gleichung $\dfrac{a}{x - 1} = \dfrac{2}{x + 1}$ mit dem Parameter $a \in \mathbb{Q}$.
a) Löse die Gleichung in Abhängigkeit von $a$.
b) Für welchen Wert von $a$ ist die rechnerisch gefundene Zahl keine Lösung? Begründe.
Bruchgleichungen entstehen vor allem bei zwei Typen von Aufgaben.
Gemeinsame Arbeit: Wenn eine Person die ganze Arbeit in $a$ Stunden schafft, erledigt sie pro Stunde $\frac{1}{a}$ der Arbeit. Bei zwei Personen addieren sich diese Anteile. Brauchen sie gemeinsam $t$ Stunden, gilt:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{t}$$
Bewegung: Aus $v=\frac{s}{t}$ folgt $t=\frac{s}{v}$. Die Zeit steht also im Zähler und die Geschwindigkeit im Nenner.
Gehe wie bei jeder Modellierungsaufgabe vor: Variable festlegen, Gleichung aufstellen, lösen, Probe am Sachverhalt, Antwortsatz.
Üben★★☆Nicht begonnen
Anna und Ben streichen gemeinsam einen Zaun. Anna würde allein $6$ Stunden brauchen, Ben allein $4$ Stunden. a) Stelle eine Bruchgleichung für die Zeit $t$ (in Stunden)…
Anna und Ben streichen gemeinsam einen Zaun. Anna würde allein $6$ Stunden brauchen, Ben allein $4$ Stunden.
a) Stelle eine Bruchgleichung für die Zeit $t$ (in Stunden) auf, die beide gemeinsam benötigen.
b) Löse die Gleichung und gib die Zeit in Stunden und Minuten an.
Ein Zug fährt eine Strecke von $200$ km mit der konstanten Geschwindigkeit $v$ (in km/h). Würde er $20$ km/h schneller fahren, wäre er $20$ Minuten eher am Ziel. a)…
Ein Zug fährt eine Strecke von $200$ km mit der konstanten Geschwindigkeit $v$ (in km/h). Würde er $20$ km/h schneller fahren, wäre er $20$ Minuten eher am Ziel.
a) Stelle eine Bruchgleichung für $v$ auf.
b) Löse sie und gib die ursprüngliche Geschwindigkeit an. Begründe, warum eine negative Lösung nicht in Frage kommt.