Zinseszins und prozentuale Veränderung

Schreibe den Wachstumsfaktor auf, der zu jeder dieser prozentualen Veränderungen gehört:

1. a) Eine Zunahme um $25\ \%$.

1. b) Eine Abnahme um $15\ \%$.

1. c) Eine Zunahme um $3\ \%$.

1. d) Eine Abnahme um $60\ \%$.

1. e) Eine Zunahme um $130\ \%$.

Wende den passenden Wachstumsfaktor an, um den Endwert zu berechnen:

1. a) Eine Festivalkarte, die $80\ \text{€}$ kostet, wird um $15\ \%$ teurer.

1. b) Turnschuhe für $64\ \text{€}$ werden um $25\ \%$ reduziert.

1. c) Die Miete von $950\ \text{€}$ pro Monat für ein Ladenlokal steigt um $4\ \%$.

Die zweimonatliche Wasserrechnung einer Familie ist wegen eines außerordentlichen Dürrezuschlags um $5\ \%$ gestiegen und beträgt nun $42\ \text{€}$.

1. a) Schätze im Kopf, bevor du komplizierte Rechnungen durchführst: Lag der Preis vor der Erhöhung bei ungefähr $40\ \text{€}$, $35\ \text{€}$ oder darunter? Begründe deine Antwort, indem du im Kopf berechnest, wie viel eine Erhöhung um $5\ \%$ auf $40\ \text{€}$ ausmachen würde.
2. b) Schreibe den zur Erhöhung gehörenden Wachstumsfaktor auf und berechne den genauen ursprünglichen Preis, indem du den Endbetrag durch diesen Faktor teilst.
3. c) Prüfe, ob das exakte Ergebnis deine Schätzung bestätigt. Wenn du von den $42\ \text{€}$ am Ende direkt die $5\ \%$ ($42 \cdot 0,95$) abziehen würdest, würdest du dann den ursprünglichen Preis erhalten? Führe die Probe numerisch durch und begründe, warum die Werte nicht übereinstimmen.

Nach einer Preissenkung von $25\ \%$ kostet ein Mantel $54\ \text{€}$.

1. a) Wie lautet der Wachstumsfaktor der Preissenkung?

1. b) Berechne den Anfangspreis, indem du durch den Wachstumsfaktor teilst.

1. c) Überprüfe das Ergebnis, indem du die Preissenkung auf den von dir erhaltenen Anfangspreis anwendest.

In einem Bekleidungsgeschäft während des Ausverkaufs kostet ein Mantel anfangs $90\ \text{€}$. In der ersten Woche wird ein Rabatt von $20\ \%$ gewährt, und in der zweiten Woche ein zusätzlicher Rabatt von $15\ \%$ auf den bereits reduzierten Preis.

Leon berechnet den Endpreis, indem er beide Prozentsätze addiert: $20\ \% + 15\ \% = 35\ \%$. Er wendet daher einen einzigen Wachstumsfaktor von $1 - 0,35 = 0,65$ an und behauptet, der Mantel koste $90 \cdot 0,65 = 58,50\ \text{€}$.

1. a) Finde und erkläre begründet den begrifflichen Fehler von Leon. Auf welchen Betrag muss der zweite Rabatt tatsächlich angewendet werden?
2. b) Schreibe die Wachstumsfaktoren der einzelnen Preissenkungen auf und berechne mithilfe verketteter Faktoren den richtigen Endpreis des Mantels.
3. c) Begründe, ohne dich nur auf die erhaltene Zahl zu stützen, warum der tatsächliche Preis höher ausfällt, als Leon berechnet hat.

Ein Geschäft erhöht die Preise seiner Produkte um $20\ \%$ und senkt sie einen Monat später um $20\ \%$.

1. a) Kopfhörer kosteten anfangs $50\ \text{€}$. Wie viel kosten sie nach der Erhöhung? Und nach der Senkung?

1. b) Berechne den gesamten Wachstumsfaktor, indem du die Faktoren der einzelnen Veränderungen multiplizierst.

1. c) Sind die Preise wieder auf den Anfangswert zurückgekehrt? Wie groß war die prozentuale Gesamtveränderung?

Der Preis der Nahverkehrskarte einer Stadt ist durch eine öffentliche Förderung um $20\ \%$ gesunken.

1. a) Wenn der Einzelfahrschein früher $1,55\ \text{€}$ gekostet hat, wie viel kostet er jetzt?

1. b) Die Förderung wird gestrichen und der Preis soll wieder auf den ursprünglichen Wert steigen. Um wie viel Prozent muss der aktuelle Preis steigen, damit der ursprüngliche Preis wieder erreicht wird?

1. c) Begründe mithilfe von Wachstumsfaktoren, warum die Antwort nicht $20\ \%$ lautet, und formuliere die allgemeine Regel: Um wie viel Prozent muss der Preis nach einer Senkung um $r\ \%$ steigen, damit er wieder den Anfangswert erreicht?

Ein Sparer legt $2.000\ \text{€}$ auf einem Konto mit $4\ \%$ jährlichem Zinseszins an, das heißt, jedes Jahr werden die Zinsen zum Kapital addiert und bringen ebenfalls Zinsen.

1. a) Auf wie viel wächst das Kapital am Ende des ersten Jahres?

1. b) Und am Ende des zweiten Jahres?

1. c) Warum ist die Zunahme im zweiten Jahr größer als im ersten, obwohl der Prozentsatz derselbe ist?

Großeltern zahlen für ihre Enkelin $3.000\ \text{€}$ auf ein Sparkonto mit $5\ \%$ jährlichem Zinseszins ein.

1. a) Schreibe den Term auf, der das Endkapital nach $4$ Jahren mithilfe einer Potenz angibt.

1. b) Berechne das Endkapital mit dem Taschenrechner.

1. c) Wie viele Euro entfallen auf Zinsen?

Vergleiche zwei Arten, $1.000\ \text{€}$ über $3$ Jahre mit $6\ \%$ pro Jahr anzulegen, wie in der Abbildung gezeigt:

• Einfache Zinsen: Jedes Jahr entstehen auf das Anfangskapital dieselben Zinsen.

• Zinseszins: Jedes Jahr werden die Zinsen zum Kapital addiert.

1. a) Berechne das Endkapital bei einfachen Zinsen.

1. b) Berechne das Endkapital bei Zinseszins.

1. c) Welchen Unterschied gibt es? Woher kommt dieser Unterschied?

Eine Bank bietet eine Geldanlage von $1.200\ \text{€}$ mit $6\ \%$ pro Jahr und monatlicher Zinszahlung an (monatlicher Zinseszins).

1. a) Welcher Zinssatz wird jeden Monat angewendet?

1. b) Schreibe den Term für das Endkapital nach $2$ Jahren auf, wobei es $24$ monatliche Zeiträume gibt.

1. c) Berechne das Endkapital und vergleiche es mit dem, das man bei jährlicher Zinszahlung erhielte: $1.200 \cdot 1,06^2$. Welches ist größer?