Geradengleichung in der Punkt-Steigungs-Form
Eine Taxifahrt in Dortmund: Nach 9 km zeigt das Taxameter 13,05 € an, und jeder weitere Kilometer kostet 1,10 €. Die Grundgebühr kennst du nicht, trotzdem kannst du den Preis für jede Strecke berechnen. Wie das geht, ohne vorher den y-Achsenabschnitt zu bestimmen, zeigt dir die Punkt-Steigungs-Form.
Gerade aus Punkt und Steigung: die Punktprobe
Oft kennst du von einer Geraden nicht den y-Achsenabschnitt $b$, sondern nur einen Punkt $P(x_1\mid y_1)$ und die Steigung $m$. Dann schreibst du $y=mx+b$ mit dem bekannten $m$, setzt die Koordinaten von $P$ ein (Punktprobe) und löst nach $b$ auf: $b=y_1-m\cdot x_1$.
Berechne die Steigung der Geraden durch die Punkte $P(-1|4)$ und $Q(2|10)$ und stelle ihre Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form auf, indem du die Koordinaten des…
Berechne die Steigung der Geraden durch die Punkte $P(-1|4)$ und $Q(2|10)$ und stelle ihre Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form auf, indem du die Koordinaten des Punktes $P$ verwendest.
Die Punkt-Steigungs-Form
Die Punkt-Steigungs-Form ist eine Variante, die ohne Punktprobe auskommt und am Ende ebenfalls zu $y=mx+b$ umgeformt werden kann. Überlege: Ein weiterer Punkt $(x\mid y)$ liegt genau dann auf der Geraden, wenn das Steigungsdreieck von $P$ zu diesem Punkt die Steigung $m$ hat. Also gilt $\frac{y-y_1}{x-x_1}=m$. Multiplizierst du mit $x-x_1$, erhältst du die Form ohne Bruch.
Stelle die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungs-Form auf, die durch den Punkt $A(3|-2)$ verläuft und die Steigung $m = 4$ hat.
Stelle die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungs-Form auf, die durch den Punkt $A(3|-2)$ verläuft und die Steigung $m = 4$ hat.
Um die Gleichung einer barrierefreien Rampe zu bestimmen, die im Punkt $A(-3|1)$ beginnt und ein Gefälle von $5\,\%$ ($m = -0,05$) hat, schreibt David in sein Heft: $$y…
Um die Gleichung einer barrierefreien Rampe zu bestimmen, die im Punkt $A(-3|1)$ beginnt und ein Gefälle von $5\,\%$ ($m = -0,05$) hat, schreibt David in sein Heft:
$$y + 1 = -0,05(x - 3)$$- a) Bestimme die beiden Denkfehler, die David beim Einsetzen der Koordinaten des Punktes in die Punkt-Steigungs-Formel $y - y_1 = m(x - x_1)$ gemacht hat.
- b) Gib die richtige Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form an.
- c) Forme die Gleichung in die explizite Form ($y = mx + b$) um und überprüfe rechnerisch, dass die Koordinaten des Startpunkts $A(-3|1)$ die Gleichung erfüllen.
Von der Punkt-Steigungs-Form zu y = mx + b
Aus der Punkt-Steigungs-Form kannst du Punkt und Steigung direkt ablesen. Für den y-Achsenabschnitt multiplizierst du die Klammer aus und löst nach $y$ auf.
Auch Punktproben sind jetzt leicht: Ein Punkt liegt auf der Geraden, wenn seine Koordinaten die Gleichung erfüllen.
Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung $y - 5 = -2(x + 1)$. Gib einen Punkt an, durch den sie genau verläuft, und den Wert ihrer Steigung. Forme anschließend die…
Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung $y - 5 = -2(x + 1)$. Gib einen Punkt an, durch den sie genau verläuft, und den Wert ihrer Steigung. Forme anschließend die Gleichung um, sodass sie in der Normalform $y = mx + b$ dasteht.
Eine Gerade hat die Punkt-Steigungs-Gleichung $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 6)$. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt $C(8|-2)$ auf dieser Geraden liegt.
Eine Gerade hat die Punkt-Steigungs-Gleichung $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 6)$. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt $C(8|-2)$ auf dieser Geraden liegt.
Gerade durch zwei Punkte und aus Sachsituationen
Sind zwei Punkte $P(x_1\mid y_1)$ und $Q(x_2\mid y_2)$ gegeben, berechnest du zuerst die Steigung $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$ Dann nimmst du einen der beiden Punkte als Bezugspunkt. Beide Wahlen führen zur selben Geraden.
In Sachaufgaben ist die Steigung die Änderung pro Einheit, zum Beispiel 1,10 € pro km oder 15 cm pro Tag. Lege zuerst fest, was $x$ und $y$ bedeuten und welche Einheiten sie haben. Der bekannte Messwert ist dein Punkt. Beim Taxi: $P(9\mid 13{,}05)$ und $m=1{,}10$, also $y-13{,}05=1{,}10\,(x-9)$. Ausmultipliziert ergibt das $y=1{,}10x+3{,}15$. Die Grundgebühr beträgt also $3{,}15$ €. Damit ist der Anfang beantwortet.
Der Wasserstand eines Stausees steigt gleichmäßig um $15$ cm pro Tag. Wenn der Pegel am Messtag $10$ bei $420$ cm lag, stelle die Punkt-Steigungs-Gleichung auf, die den…
Der Wasserstand eines Stausees steigt gleichmäßig um $15$ cm pro Tag. Wenn der Pegel am Messtag $10$ bei $420$ cm lag, stelle die Punkt-Steigungs-Gleichung auf, die den Wasserstand $y$ der Anzahl der vergangenen Tage $x$ zuordnet.
Ein Transporter-Verleih verlangt einen festen Betrag plus einen konstanten Preis pro gefahrenem Kilometer. Für eine Fahrt von $50$ km werden $65$ € berechnet und für…
Ein Transporter-Verleih verlangt einen festen Betrag plus einen konstanten Preis pro gefahrenem Kilometer. Für eine Fahrt von $50$ km werden $65$ € berechnet und für eine Fahrt von $120$ km $107$ €. Bestimme die Steigung der Kostenfunktion und stelle ihre Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form auf.
Auf der ICE-Schnellfahrstrecke Berlin–Köln fährt ein ICE auf freier Strecke mit konstanter Reisegeschwindigkeit. Das Telemetriesystem zeichnet auf, dass der Zug um 12:15…
Auf der ICE-Schnellfahrstrecke Berlin–Köln fährt ein ICE auf freier Strecke mit konstanter Reisegeschwindigkeit. Das Telemetriesystem zeichnet auf, dass der Zug um 12:15 Uhr ($x_1 = 15$ Minuten seit 12:00 Uhr) bei Kilometer $65$ der Strecke ($y_1 = 65$ km) vorbeifährt und um 12:45 Uhr ($x_2 = 45$ Minuten) den Streckenkilometer $185$ ($y_2 = 185$ km) passiert.
- a) Stelle die Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form auf, die die Streckenposition $y$ in Abhängigkeit von der vergangenen Zeit $x$ (in Minuten ab 12:00 Uhr) modelliert, wobei du die erste Telemetrie-Aufzeichnung als Bezugspunkt nimmst.
- b) Deute die physikalische Bedeutung der Steigung $m$ des Modells: Berechne ihren Wert in km/min, wandle sie in km/h um, indem du mit $60$ multiplizierst, und beurteile, ob das eine plausible Geschwindigkeit im Hinblick auf die zulässige Höchstgeschwindigkeit des ICE ($300$ km/h) ist.
- c) Forme die Gleichung in die explizite Form ($y = mx + b$) um und berechne den Wert von $y$ für $x = 0$ (um 12:00 Uhr). Erkläre, warum dieser mathematische Wert nicht die tatsächliche Position des Zuges im Startbahnhof beschreibt und was das für den Gültigkeitsbereich eines linearen Modells bedeutet.
- d) Der Zielbahnhof Köln Hbf liegt bei Streckenkilometer $385$. Berechne, um wie viel Uhr der Zug ankommt, wenn er diese Reisegeschwindigkeit bis zur Einfahrt ununterbrochen beibehält.
Parallele Geraden
Stelle die Gleichung der zu $y = 3x - 7$ parallelen Geraden durch den Punkt $B(-4|1)$ in der Punkt-Steigungs-Form auf.
Stelle die Gleichung der zu $y = 3x - 7$ parallelen Geraden durch den Punkt $B(-4|1)$ in der Punkt-Steigungs-Form auf.
Bestimme die Gleichung der zu $2x - 5y + 10 = 0$ parallelen Geraden in der Punkt-Steigungs-Form, die durch den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten $P(-1|-4)$ und…
Bestimme die Gleichung der zu $2x - 5y + 10 = 0$ parallelen Geraden in der Punkt-Steigungs-Form, die durch den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten $P(-1|-4)$ und $Q(7|2)$ verläuft.
Erweiterung: Senkrechte Geraden und Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ steht senkrecht auf ihr und geht durch ihren Mittelpunkt $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\mid \frac{y_A+y_B}{2}\right)$. Du brauchst also $M$ als Bezugspunkt und die senkrechte Steigung.
Bestimme die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungs-Form, die senkrecht zu $y = -\frac{1}{3}x + 5$ ist und durch den Schnittpunkt der Geraden $y = 2x - 1$ und…
Bestimme die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungs-Form, die senkrecht zu $y = -\frac{1}{3}x + 5$ ist und durch den Schnittpunkt der Geraden $y = 2x - 1$ und $y = x + 3$ verläuft.
Stelle die Gleichung der Mittelsenkrechten der Strecke mit den Endpunkten $A(-2|5)$ und $B(4|1)$ in der Punkt-Steigungs-Form auf. Denke daran: Die Mittelsenkrechte ist…
Stelle die Gleichung der Mittelsenkrechten der Strecke mit den Endpunkten $A(-2|5)$ und $B(4|1)$ in der Punkt-Steigungs-Form auf. Denke daran: Die Mittelsenkrechte ist die Gerade, die senkrecht zur Strecke durch deren Mittelpunkt verläuft.
Bestimme im Dreieck mit den Eckpunkten $A(-2|-1)$, $B(4|1)$ und $C(1|5)$ die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungs-Form, die die Höhe zur Ecke $C$ enthält.
Bestimme im Dreieck mit den Eckpunkten $A(-2|-1)$, $B(4|1)$ und $C(1|5)$ die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungs-Form, die die Höhe zur Ecke $C$ enthält.