Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
Drei Kinokarten für Erwachsene und zwei Kinderkarten kosten zusammen 34 €. Diesen Satz kannst du als $3x + 2y = 34$ schreiben. Hier gibt es zwei Variablen, aber nur eine Gleichung. Also gibt es nicht nur eine einzige Lösung, sondern ganz viele Zahlenpaare $(x\mid y)$, die passen. Was das bedeutet und wie du damit umgehst, lernst du hier.
Was ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen?
Eine solche Gleichung hat unendlich viele Lösungen: Du wählst einen Wert für $x$, und daraus ergibt sich der passende Wert für $y$ (oder umgekehrt).
Eine Lösung überprüfst du durch Einsetzen (Probe): $(4\mid 11)$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 4 + 2 \cdot 11 = 12 + 22 = 34$ ✓. Dagegen ist $(3\mid -1)$ keine, denn $3 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 7 \ne 34$.
Nicht jede Gleichung mit $x$ und $y$ ist linear: $x^2 + y = 7$ (Exponent 2) und $x \cdot y = 12$ (Produkt der Variablen) sind es nicht. Dagegen ist $3x - \frac{y}{4} = 1$ linear, denn $\frac{y}{4}=\frac14 y$ hat nur Exponent 1.
Prüfe, ob die Wertepaare $(1|2)$, $(3|-1)$ und $(0|4)$ Lösungen der linearen Gleichung $3x + 2y = 7$ sind.
Prüfe, ob die Wertepaare $(1|2)$, $(3|-1)$ und $(0|4)$ Lösungen der linearen Gleichung $3x + 2y = 7$ sind.
Gib mit Begründung an, welche der folgenden Gleichungen lineare Gleichungen mit zwei Variablen sind: a) $x^2 + y = 7$ b) $3x - \frac{y}{4} = 1$ c) $x \cdot y = 12$ d)…
Gib mit Begründung an, welche der folgenden Gleichungen lineare Gleichungen mit zwei Variablen sind:
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a) $x^2 + y = 7$
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b) $3x - \frac{y}{4} = 1$
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c) $x \cdot y = 12$
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d) $-x + 6y = 0$
Bestimme den Wert, den der Koeffizient $c$ haben muss, damit das Wertepaar $(-2|5)$ eine Lösung der Gleichung $4x - 3y = c$ ist.
Bestimme den Wert, den der Koeffizient $c$ haben muss, damit das Wertepaar $(-2|5)$ eine Lösung der Gleichung $4x - 3y = c$ ist.
Der Graph: eine Gerade
Zeichnest du alle Wertepaare $(x\mid y)$, die $ax + by = c$ erfüllen, als Punkte in ein Koordinatensystem, liegen sie auf einer Geraden. Daher kommt der Name „linear".
Zum Zeichnen reichen zwei Punkte. Am bequemsten sind die Achsenschnittpunkte: Setze zuerst $x = 0$, dann $y = 0$.
Sonderfälle: waagerechte und senkrechte Geraden
Ist $b = 0$, steht in der Gleichung kein $y$: $ax = c$ ergibt $x = \frac{c}{a}$. Jedes Paar $(x\mid y)$ mit diesem $x$-Wert ist eine Lösung, und $y$ darf beliebig sein. Der Graph ist eine senkrechte Gerade, parallel zur y-Achse. Ist $a = 0$, erhältst du $y = \frac{c}{b}$, eine waagerechte Gerade parallel zur x-Achse.
Bestimme für die Gleichung $7x + 3y = 21$ den Wert von $y$ für $x = 0$ und den Wert von $x$ für $y = 0$.
Bestimme für die Gleichung $7x + 3y = 21$ den Wert von $y$ für $x = 0$ und den Wert von $x$ für $y = 0$.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das der Graph der Gleichung $8x + 5y = 40$ mit den Koordinatenachsen $X$ und $Y$ bildet.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das der Graph der Gleichung $8x + 5y = 40$ mit den Koordinatenachsen $X$ und $Y$ bildet.
Betrachte die Gerade im folgenden Koordinatensystem. Bestimme die lineare Gleichung mit zwei Variablen, die zu dieser Geraden gehört, und gib sie in der Form…
Betrachte die Gerade im folgenden Koordinatensystem.
Bestimme die lineare Gleichung mit zwei Variablen, die zu dieser Geraden gehört, und gib sie in der Form $ax + by = c$ mit ganzzahligen Koeffizienten an. Berechne mithilfe der erhaltenen Gleichung den Wert von $y$ für $x = 12$.
Bestimme für die lineare Gleichung mit Parameter $(k-1)x + (k+2)y = 3k$ den Wert des Parameters $k$, für den die zugehörige Gerade parallel zur y-Achse ($Y$) verläuft.…
Bestimme für die lineare Gleichung mit Parameter $(k-1)x + (k+2)y = 3k$ den Wert des Parameters $k$, für den die zugehörige Gerade parallel zur y-Achse ($Y$) verläuft. Wie lautet die Gleichung für diesen Wert von $k$ und welche Besonderheit haben alle ihre Lösungen?
Nach einer Variablen auflösen und Lösungen erzeugen
Um bequem Lösungen zu finden, löst du die Gleichung nach einer Variablen (meist $y$) auf. Dann kannst du für $x$ beliebige Werte einsetzen. Das ist auch der Weg zur Form $y = mx + b$, aus der du Steigung $m$ und y-Achsenabschnitt $b$ ablesen kannst.
Ganzzahlige Lösungen finden
Manchmal sind nur Lösungen gefragt, bei denen $x$ und $y$ ganze Zahlen sind (zum Beispiel beim Kaufen von Stückzahlen). Dann hilft die Teilbarkeit: Löse nach der Variablen auf, die einen kleinen Nenner ergibt, und probiere ganze Zahlen für die andere Variable. Gibt es einen gemeinsamen Teiler von $a$ und $b$, der nicht in $c$ steckt, gibt es keine ganzzahlige Lösung. Denn die linke Seite ist dann immer durch diesen Teiler teilbar, die rechte nicht.
Kennst du eine ganzzahlige Lösung $(p\mid q)$ von $ax + by = c$, findest du daraus weitere: Jedes Paar $(p + n \cdot b\mid q - n \cdot a)$ mit ganzzahligem $n$ ist ebenfalls eine Lösung. Denn beim Einsetzen heben sich die zusätzlichen Terme auf: $a(p + nb) + b(q - na) = ap + anb + bq - bna = ap + bq = c$.
Löse die lineare Gleichung mit zwei Variablen $5x - 2y = 10$ nach $y$ in Abhängigkeit von $x$ auf.
Löse die lineare Gleichung mit zwei Variablen $5x - 2y = 10$ nach $y$ in Abhängigkeit von $x$ auf.
Finde drei verschiedene Lösungen der linearen Gleichung $-2x + 4y = 8$.
Finde drei verschiedene Lösungen der linearen Gleichung $-2x + 4y = 8$.
Bestimme für die lineare Gleichung $4x - y = 18$ die Lösung, bei der beide Variablen genau denselben Wert haben (also $x = y$).
Bestimme für die lineare Gleichung $4x - y = 18$ die Lösung, bei der beide Variablen genau denselben Wert haben (also $x = y$).
Äquivalente Gleichungen
Hat die Gleichung Brüche, multiplizierst du mit dem Hauptnenner, um sie zu beseitigen. So wird aus $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$ durch Multiplikation mit $6$ die Gleichung $3x + 2y = 6$.
Schreibe zwei Gleichungen auf, die zu $6x - 9y = 15$ äquivalent sind. Die eine erhältst du, indem du alle Terme mit einer ganzen Zahl multiplizierst, die andere, indem…
Schreibe zwei Gleichungen auf, die zu $6x - 9y = 15$ äquivalent sind. Die eine erhältst du, indem du alle Terme mit einer ganzen Zahl multiplizierst, die andere, indem du sie dividierst.
Mateo möchte die lineare Gleichung mit zwei Variablen $2x + 4y = 12$ vereinfachen, um leichter Lösungspaare zu finden. In seinem Heft hat er Folgendes gerechnet: „Ich…
Mateo möchte die lineare Gleichung mit zwei Variablen $2x + 4y = 12$ vereinfachen, um leichter Lösungspaare zu finden. In seinem Heft hat er Folgendes gerechnet:
„Ich dividiere durch $2$, damit die Zahlen kleiner werden: $x + 2y = 12$.
Nun wähle ich den Wert $y = 3$ und setze ein: $x + 2 \cdot 3 = 12 \implies x + 6 = 12 \implies x = 6$.
Also ist das Paar $(6|3)$ eine Lösung der ursprünglichen Gleichung."
- a) Finde den Fehler, den Mateo beim Suchen einer äquivalenten Gleichung gemacht hat, und erkläre, warum sein Vorgehen die Waagenregel verletzt.
- b) Prüfe durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung $2x + 4y = 12$, ob das von Mateo erhaltene Paar $(6|3)$ tatsächlich eine Lösung ist.
- c) Schreibe die richtig vereinfachte Gleichung auf und finde ein Paar $(x|y)$, das wirklich eine Lösung ist.
Bringe die lineare Gleichung mit Bruchkoeffizienten $\frac{x - 1}{2} + \frac{2y + 3}{5} = 1$ auf die allgemeine Form $ax + by = c$, indem du die Nenner beseitigst. Finde…
Bringe die lineare Gleichung mit Bruchkoeffizienten $\frac{x - 1}{2} + \frac{2y + 3}{5} = 1$ auf die allgemeine Form $ax + by = c$, indem du die Nenner beseitigst. Finde anschließend eine Lösung, bei der $x$ eine negative ganze Zahl ist.
Gleichungen aus Texten aufstellen
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Lege fest, wofür jede Variable steht, und schreibe es auf.
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Übersetze den Text Stück für Stück: „das Doppelte von", „die Summe aus", „insgesamt".
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Prüfe die Gleichung mit einem einfachen Zahlenpaar.
Oft kennst du zwei Wertepaare, etwa bei Tarifen mit Grundgebühr. Dann gilt $y = mx + b$: Aus den zwei Paaren berechnest du die Steigung $m$ (Preis pro Einheit) und danach $b$ (Grundgebühr) mit einer Punktprobe.
Gleichung aus zwei Lösungen bestimmen
Kennst du zwei Wertepaare, setzt du sie in $ax + by = c$ ein. Das ergibt zwei Gleichungen für $a$, $b$ und $c$. Weil man die Gleichung mit jeder Zahl ungleich null multiplizieren darf, wählst du einen Wert für einen Koeffizienten, zum Beispiel $a = 1$.
Finde eine lineare Gleichung der Form $ax + by = c$, die die Wertepaare $(2|3)$ und $(4|-1)$ als Lösungen hat.
Finde eine lineare Gleichung der Form $ax + by = c$, die die Wertepaare $(2|3)$ und $(4|-1)$ als Lösungen hat.
Übersetze den folgenden Satz in eine lineare Gleichung mit zwei Variablen: „Der Preis für drei Kinokarten für Erwachsene plus der Preis für zwei Kinderkarten beträgt…
Übersetze den folgenden Satz in eine lineare Gleichung mit zwei Variablen: „Der Preis für drei Kinokarten für Erwachsene plus der Preis für zwei Kinderkarten beträgt insgesamt 34 Euro."
Eine Klassenarbeit besteht aus Multiple-Choice-Fragen mit je 2 Punkten und Rechenaufgaben mit je 5 Punkten. Stelle eine lineare Gleichung auf, die die Anzahl der…
Eine Klassenarbeit besteht aus Multiple-Choice-Fragen mit je 2 Punkten und Rechenaufgaben mit je 5 Punkten. Stelle eine lineare Gleichung auf, die die Anzahl der Aufgaben jeder Art in Beziehung setzt, damit man die Höchstpunktzahl von 30 Punkten erreicht. Finde eine Lösung, bei der die Anzahl der Multiple-Choice-Fragen genau das Fünffache der Anzahl der Rechenaufgaben ist.
Ein Fahrradverleih verlangt eine feste Gebühr für die Versicherung und zusätzlich einen Betrag für jede Stunde der Nutzung. Wenn das Ausleihen eines Fahrrads für 3…
Ein Fahrradverleih verlangt eine feste Gebühr für die Versicherung und zusätzlich einen Betrag für jede Stunde der Nutzung. Wenn das Ausleihen eines Fahrrads für 3 Stunden 14 Euro und für 5 Stunden 22 Euro kostet, stelle eine lineare Gleichung auf, die die Gesamtkosten ($y$) mit der Nutzungsdauer in Stunden ($x$) verbindet. Wie hoch ist die feste Gebühr?
In einem Elektronikgeschäft werden USB-Sticks für 14 € und SD-Karten für 9 € verkauft. Eine Schule hat genau 195 € für diese Geräte ausgegeben. Schreibe die zugehörige…
In einem Elektronikgeschäft werden USB-Sticks für 14 € und SD-Karten für 9 € verkauft. Eine Schule hat genau 195 € für diese Geräte ausgegeben. Schreibe die zugehörige lineare Gleichung auf und bestimme ALLE möglichen Kombinationen von Sticks und Karten, die sie gekauft haben kann, wenn sie von jeder Sorte mindestens eine gekauft hat.