Problemlösen mit Gleichungssystemen
Lösen kannst du Gleichungssysteme schon. Schwieriger ist es, sie aufzustellen: Aus einem Text mit Zahlen müssen zwei richtige Gleichungen werden. Genau das trainierst du hier. Vorgestellt wird das am Beispiel Schulfest: Der Eintritt kostet für Kinder und Erwachsene unterschiedlich viel, und am Ende soll klar sein, wie viele Karten verkauft wurden. Wie kommst du von einem solchen Text zu den Gleichungen? Das klären wir Schritt für Schritt.
Strategie
Die Differenz zweier Zahlen beträgt $14$. Addiert man zur größeren Zahl das Doppelte der kleineren, erhält man $53$. Bestimme beide Zahlen, indem du ein Gleichungssystem…
Die Differenz zweier Zahlen beträgt $14$. Addiert man zur größeren Zahl das Doppelte der kleineren, erhält man $53$. Bestimme beide Zahlen, indem du ein Gleichungssystem aufstellst.
Hugo versucht, folgende Aufgabe aus seinem Buch zu lösen: „Marta ist derzeit dreimal so alt wie ihr Bruder Lucas. In $4$ Jahren ist Marta nur noch doppelt so alt wie…
Hugo versucht, folgende Aufgabe aus seinem Buch zu lösen: „Marta ist derzeit dreimal so alt wie ihr Bruder Lucas. In $4$ Jahren ist Marta nur noch doppelt so alt wie Lucas. Wie alt sind die beiden heute?“. Zur Lösung stellt Hugo folgendes Gleichungssystem auf, wobei er das heutige Alter von Marta mit $x$ und das von Lucas mit $y$ bezeichnet:
$$\begin{cases} x = 3y \\ x + 4 = 2y + 4 \end{cases}$$Wenn Hugo auf beiden Seiten der zweiten Gleichung $4$ subtrahiert, erhält er $x = 2y$, was im direkten Widerspruch zur ersten Gleichung ($x = 3y$) steht. Hugo behauptet daraufhin: „Die Aufgabe ist falsch formuliert und hat in der Realität keine sinnvolle Lösung.“
- a) Finde den Denkfehler, den Hugo bei der Übersetzung der Bedingung „in $4$ Jahren“ in die Sprache der Algebra gemacht hat.
- b) Erkläre mit eigenen Worten, warum sein Ansatz falsch ist, und schreibe die zweite Gleichung richtig auf.
- c) Löse das korrigierte Gleichungssystem und überprüfe, dass die berechneten Alter beide Aussagen der ursprünglichen Aufgabe genau erfüllen.
Altersaufgaben
Wichtig: „vor $n$ Jahren“ heißt, du subtrahierst $n$ vom heutigen Alter; „in $n$ Jahren“ heißt, du addierst $n$.
Die Summe der Alter von Salma und ihrem Großvater beträgt $72$ Jahre. Vor $6$ Jahren war der Großvater fünfmal so alt wie Salma. Stelle ein Gleichungssystem auf und…
Die Summe der Alter von Salma und ihrem Großvater beträgt $72$ Jahre. Vor $6$ Jahren war der Großvater fünfmal so alt wie Salma. Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme das heutige Alter der beiden.
Die Differenz zweier Zahlen beträgt $14$. Addiert man zur größeren Zahl das Doppelte der kleineren, erhält man $53$. Bestimme beide Zahlen, indem du ein Gleichungssystem…
Die Differenz zweier Zahlen beträgt $14$. Addiert man zur größeren Zahl das Doppelte der kleineren, erhält man $53$. Bestimme beide Zahlen, indem du ein Gleichungssystem aufstellst.
Zahlen- und Preisaufgaben
Bei „Heft und Kugelschreiber“, Eintrittspreisen oder Münzen gilt das Muster: Eine Gleichung zählt die Stück, die andere die Gesamtkosten (oder den Gesamtwert, die Punkte, die Räder …), die von der Stückzahl abhängen.
In einem Schreibwarengeschäft kosten $3$ Hefte und $2$ Kugelschreiber zusammen $12$ Euro, während $4$ Hefte und $1$ Kugelschreiber $13,50$ Euro kosten. Wie teuer sind…
In einem Schreibwarengeschäft kosten $3$ Hefte und $2$ Kugelschreiber zusammen $12$ Euro, während $4$ Hefte und $1$ Kugelschreiber $13,50$ Euro kosten. Wie teuer sind ein Heft und ein Kugelschreiber?
Eine Spardose enthält $45$ Münzen mit einem Gesamtwert von $14,40$ Euro. Wenn alle Münzen entweder $20 \text{ Cent}$ oder $50 \text{ Cent}$ wert sind, bestimme, wie…
Eine Spardose enthält $45$ Münzen mit einem Gesamtwert von $14,40$ Euro. Wenn alle Münzen entweder $20 \text{ Cent}$ oder $50 \text{ Cent}$ wert sind, bestimme, wie viele Münzen es von jeder Sorte gibt.
Die Quersumme einer zweistelligen Zahl beträgt $12$. Vertauscht man die Reihenfolge ihrer Ziffern, erhält man eine neue Zahl, die um $18$ größer ist als die…
Die Quersumme einer zweistelligen Zahl beträgt $12$. Vertauscht man die Reihenfolge ihrer Ziffern, erhält man eine neue Zahl, die um $18$ größer ist als die ursprüngliche Zahl. Um welche Zahl handelt es sich?
Mischungsaufgaben
Hier gibt es meist zwei Gleichungen: eine für die Gesamtmenge und eine für den Gesamtpreis oder den Gesamtanteil (Prozent).
Ein Händler möchte $50 \text{ kg}$ einer Kaffeemischung herstellen. Er verwendet einen Kaffee zu $6 \text{ €/kg}$ und einen weiteren zu $8 \text{ €/kg}$. Der Preis der…
Ein Händler möchte $50 \text{ kg}$ einer Kaffeemischung herstellen. Er verwendet einen Kaffee zu $6 \text{ €/kg}$ und einen weiteren zu $8 \text{ €/kg}$. Der Preis der Mischung soll genau $7,20 \text{ €/kg}$ betragen. Wie viele Kilogramm von jeder Kaffeesorte muss er verwenden?
Eine Anlegerin verteilt ein Kapital von $20\,000 \text{ €}$ auf zwei Investmentfonds. Der erste bringt eine jährliche Rendite von $4\%$, der zweite von $6\%$. Nach einem…
Eine Anlegerin verteilt ein Kapital von $20\,000 \text{ €}$ auf zwei Investmentfonds. Der erste bringt eine jährliche Rendite von $4\%$, der zweite von $6\%$. Nach einem Jahr betragen die Gesamterträge beider Fonds $1\,050 \text{ €}$. Wie viel hat sie in jeden Fonds investiert?
Ein Goldschmied hat zwei Goldlegierungen. Die erste enthält $80\%$ Gold, die zweite $60\%$ Gold. Er möchte Teile von beiden einschmelzen, um $50 \text{ Gramm}$ einer…
Ein Goldschmied hat zwei Goldlegierungen. Die erste enthält $80\%$ Gold, die zweite $60\%$ Gold. Er möchte Teile von beiden einschmelzen, um $50 \text{ Gramm}$ einer neuen Legierung mit $75\%$ Gold zu erhalten. Wie viel Gramm von jeder Legierung muss er verwenden?
Nichtlineare Systeme
Ein Architekt entwirft einen rechteckigen Raum, dessen Flächeninhalt $108 \text{ m}^2$ betragen soll. Außerdem muss der Umfang des Raums, um das Budget für die…
Ein Architekt entwirft einen rechteckigen Raum, dessen Flächeninhalt $108 \text{ m}^2$ betragen soll. Außerdem muss der Umfang des Raums, um das Budget für die Fußleisten einzuhalten, genau $42 \text{ m}$ betragen. Stelle ein Gleichungssystem auf und berechne die Maße des Raums.
In einem rechtwinkligen Dreieck misst die Hypotenuse $25 \text{ cm}$ und die Summe der Katheten beträgt $35 \text{ cm}$. Stelle ein nichtlineares Gleichungssystem auf,…
In einem rechtwinkligen Dreieck misst die Hypotenuse $25 \text{ cm}$ und die Summe der Katheten beträgt $35 \text{ cm}$. Stelle ein nichtlineares Gleichungssystem auf, um die Länge jeder Kathete zu bestimmen.
Der Flächeninhalt einer Raute beträgt $120 \text{ cm}^2$ und die Summe ihrer Diagonalen ist $34 \text{ cm}$. Stelle ein nichtlineares Gleichungssystem auf, um die Länge…
Der Flächeninhalt einer Raute beträgt $120 \text{ cm}^2$ und die Summe ihrer Diagonalen ist $34 \text{ cm}$. Stelle ein nichtlineares Gleichungssystem auf, um die Länge der Diagonalen zu bestimmen, und berechne anschließend den Umfang der Raute.
Arbeitsaufgaben
Bei Aufgaben wie „Zwei Hähne füllen ein Becken“ rechnest du mit dem Anteil pro Stunde: Braucht ein Hahn $t$ Stunden für das ganze Becken, schafft er $\frac{1}{t}$ des Beckens pro Stunde. Arbeiten zwei zusammen, addieren sich diese Anteile.
Ein Becken kann über zwei Hähne, A und B, gefüllt werden. Sind beide gleichzeitig geöffnet, ist das Becken in $6$ Stunden voll. Der Hahn A braucht allein $5$ Stunden…
Ein Becken kann über zwei Hähne, A und B, gefüllt werden. Sind beide gleichzeitig geöffnet, ist das Becken in $6$ Stunden voll. Der Hahn A braucht allein $5$ Stunden weniger als Hahn B, um das ganze Becken zu füllen. Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme, wie lange jeder Hahn allein zum Füllen brauchen würde.
Drei Arbeiter, Alba, Bernat und Karl, sollen ein Gebäude streichen. Arbeiten Alba und Bernat zusammen, brauchen sie $12$ Tage. Arbeiten Bernat und Karl zusammen,…
Drei Arbeiter, Alba, Bernat und Karl, sollen ein Gebäude streichen. Arbeiten Alba und Bernat zusammen, brauchen sie $12$ Tage. Arbeiten Bernat und Karl zusammen, brauchen sie $20$ Tage. Arbeiten Alba und Karl zusammen, brauchen sie $15$ Tage. Stelle ein Gleichungssystem auf, um herauszufinden, wie lange jeder allein arbeitend brauchen würde. (Tipp: Verwende als Variablen den Anteil der Arbeit, den jeder an einem Tag schafft).
Bewegungsaufgaben
Hier gilt $s=v\cdot t$. Bei Verfolgung, Gegenverkehr oder späterem Start entstehen verschiedene Gleichungen, aber oft mit derselben Strecke oder demselben Treffpunkt.
Ein Radfahrer fährt mit konstanter Geschwindigkeit von Stadt A nach Stadt B. Eine Stunde später fährt ein Motorradfahrer in A los, um ihn zu verfolgen, mit einer…
Ein Radfahrer fährt mit konstanter Geschwindigkeit von Stadt A nach Stadt B. Eine Stunde später fährt ein Motorradfahrer in A los, um ihn zu verfolgen, mit einer Geschwindigkeit, die um $15 \text{ km/h}$ höher ist als die des Radfahrers, und holt ihn genau bei der Ankunft in B ein. Wenn die Entfernung zwischen A und B $60 \text{ km}$ beträgt, stelle ein Gleichungssystem auf, um die Geschwindigkeiten beider und die Zeit zu bestimmen, die der Radfahrer für die Strecke gebraucht hat.
Zurück zum Schulfest vom Anfang: Mit zwei Variablen (Kinder-, Erwachsenenkarten), einer Gleichung für die Anzahl der Karten und einer für die Einnahmen ist der Text vollständig übersetzt, und die Probe am Text zeigt, ob das Ergebnis sinnvoll ist.