Lösen von Gleichungssystemen

Löse das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:

$\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 2x + 3y = 18 \end{cases}$

Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren:

$\begin{cases} x + 4y = 1 \\ x - 2y = 13 \end{cases}$

Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren:

$\begin{cases} 5x + 2y = 11 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases}$

Betrachte die beiden folgenden linearen Gleichungssysteme genau:

System A: $\begin{cases} x = 3y - 2 \\ 2x + 5y = 18 \end{cases}$

System B: $\begin{cases} 4x + 3y = 11 \\ 4x - 5y = -5 \end{cases}$

1. a) Analysiere, ohne sie bereits zu lösen, den Aufbau beider Systeme und gib begründet an, welches der drei grundlegenden algebraischen Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) für jedes von ihnen am schnellsten und direktesten ist. Erkläre, welches sichtbare Merkmal der Gleichungen deine Wahl begründet.
2. b) Wähle eines der beiden Systeme und löse es mit dem Verfahren, das du im vorigen Teil ausgewählt hast. Überprüfe am Ende, ob die erhaltene Lösung beide Gleichungen erfüllt.

Die Summe zweier Zahlen ist $45$ und ihre Differenz ist $11$. Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und bestimme diese Zahlen.

Löse die Klammern auf und löse das folgende lineare Gleichungssystem:

$\begin{cases} 2(x + 1) - 3(y - 2) = 16 \\ 5x + y = 3 \end{cases}$

Löse das folgende lineare Gleichungssystem, indem du zuvor mit den Nennern rechnest, um einfachere äquivalente Gleichungen zu erhalten:

$\begin{cases} \frac{x - 1}{3} + \frac{y + 2}{4} = 3 \\ \frac{2x + y}{7} - \frac{x - y}{2} = 3 \end{cases}$

Lea hat versucht, das folgende Gleichungssystem mit Nennern an der Tafel zu lösen:

$\begin{cases} \frac{x+1}{2} - \frac{y-2}{3} = 2 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$

In ihrem Heft hat sie diese Rechnung notiert:

• Schritt 1 (Nenner beseitigen, indem die erste Gleichung mit $6$ multipliziert wird): $3 \cdot (x + 1) - 2 \cdot (y - 2) = 12 \implies 3x + 3 - 2y - 4 = 12 \implies 3x - 2y = 13$.

• Schritt 2 ($y$ in der zweiten Gleichung auflösen): $y = 2x - 1$.

• Schritt 3 (in die vereinfachte erste Gleichung einsetzen): $3x - 2 \cdot (2x - 1) = 13 \implies 3x - 4x - 2 = 13 \implies -x = 15 \implies x = -15$.

• Schritt 4 (die verbleibende Unbekannte berechnen): $y = 2 \cdot (-15) - 1 = -31$.

1. a) Lea hat beim Auflösen von Klammern zwei typische Vorzeichenfehler gemacht. Finde heraus, in welchen Schritten sie stecken, und erkläre genau, welche mathematische Eigenschaft oder Regel sie jeweils nicht beachtet hat.
2. b) Korrigiere das Vorgehen und löse das Gleichungssystem richtig, um die korrekten Werte von $x$ und $y$ zu erhalten.

Löse das folgende Gleichungssystem in Stufenform mit drei Gleichungen und drei Unbekannten:

$\begin{cases} 2x - y + 3z = 14 \\ 5y - 2z = -3 \\ 4z = 16 \end{cases}$

Löse das folgende Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren oder durch schrittweises Einsetzen:

$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ 3x + y + z = 8 \end{cases}$

Löse das folgende nichtlineare Gleichungssystem, das aus der Gleichung einer Parabel und einer Geraden besteht:

$\begin{cases} y = x^2 - 4x + 3 \\ y = x - 1 \end{cases}$

Bestimme die Schnittpunkte zwischen der Hyperbel und der Geraden, die durch das folgende nichtlineare Gleichungssystem gegeben sind:

$\begin{cases} x \cdot y = 12 \\ 2x + y = 10 \end{cases}$

Löse das folgende Gleichungssystem mit Bruchtermen durch eine geeignete Substitution:

$\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 2 \\ \frac{4}{x} - \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \end{cases}$