Lineare Funktionen

Gib für jede der folgenden Funktionen den Wert der Steigung und des y-Achsenabschnitts an und entscheide, ob ihr Graph steigt oder fällt:

1. a) $y = 4x - 3$

1. b) $y = -2x + 7$

1. c) $y = \frac{1}{3}x$

1. d) $y = 5 - x$

Gib an, welche der folgenden Gleichungen zu einer proportionalen Funktion, welche zu einer linearen Funktion der Form y = mx + b gehören und welche weder noch sind. Begründe deine Antwort.

1. a) $y = -3x$

1. b) $y = x^2 + 1$

1. c) $y = \frac{x}{2} - 4$

1. d) $y = \frac{2}{x}$

1. e) $y = 7$

In der Abbildung sind drei Geraden $a$, $b$ und $c$ zu sehen, wie unten gezeigt.

1. a) Ordne jeder Geraden ihre Gleichung aus diesen dreien zu: $y = 2x + 1$, $y = -x + 3$, $y = \frac{1}{2}x - 2$.

1. b) Erkläre, wie du das Vorzeichen der Steigung und den y-Achsenabschnitt für deine Entscheidung genutzt hast.

Berechne die Steigung der Geraden durch jeweils zwei Punkte:

1. a) $A(2|5)$ und $B(6|13)$

1. b) $P(-1|4)$ und $Q(3|-8)$

1. c) $M(0|-2)$ und $N(5|-2)$

Die Gerade in der Abbildung stellt eine lineare Funktion dar, wie unten gezeigt.

1. a) Finde zwei Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, durch die die Gerade verläuft.

1. b) Berechne ihre Steigung mithilfe dieser Punkte.

1. c) Gib die Funktionsgleichung an.

Bestimme die Gleichung der Geraden durch die Punkte $A(1|2)$ und $B(3|8)$ in folgenden Schritten:

1. a) Berechne die Steigung $m$.

1. b) Setze die Koordinaten eines der Punkte in $y = mx + b$ ein, um $b$ zu bestimmen.

1. c) Gib die endgültige Gleichung an und überprüfe, dass auch der andere Punkt sie erfüllt.

1. a) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die Punkte $A(-1|7)$ und $B(2|-5)$.

1. b) Überprüfe, ob der Punkt $C(5|-17)$ auf einer Geraden mit $A$ und $B$ liegt.

1. c) Und der Punkt $D(0|5)$? Begründe deine Antwort ohne Zeichnung.

Prüfe durch Einsetzen der Koordinaten in die Gleichung, ob die Punkte $A(3|4)$ und $B(-2|11)$ auf der Geraden $y = -3x + 5$ liegen.

Übertrage die Wertetabelle der Funktion $y = -2x + 6$ für $x = -1$, $0$, $1$, $2$ und $3$ in dein Heft und vervollständige sie. Zeichne die Gerade in ein Koordinatensystem. In welchem Punkt schneidet sie die $X$-Achse?

Der Graph zeigt eine lineare Funktion, wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Wie lautet der y-Achsenabschnitt?

1. b) Um wie viel nimmt $y$ zu, wenn $x$ um eine Einheit zunimmt? Wie groß ist die Steigung?

1. c) Gib ihre Funktionsgleichung an.

Der Graph zeigt den Kontostand von Adrians digitaler Spardose in den letzten Wochen, wie in der Abbildung dargestellt.

Welche dieser drei Funktionsgleichungen gehört zum Graphen? Begründe deine Wahl, indem du die beiden anderen ausschließt.

• $y = 5x + 10$

• $y = -5x + 40$

• $y = 10x - 5$

Ein Obststand verkauft Orangen für $1,80\ \text{€}$ das Kilogramm.

1. a) Lege in deinem Heft eine Tabelle mit dem Preis für $1$, $2$, $3$, $4$ und $5$ kg Orangen an.

1. b) Stelle die Funktionsgleichung auf, die das Gewicht $x$ in Kilogramm dem Preis $y$ in Euro zuordnet.

1. c) Ist es eine proportionale Funktion? Wie groß ist ihre Steigung und was bedeutet sie?

Ein Fitnessstudio verlangt eine Anmeldegebühr von $20\ \text{€}$ und $15\ \text{€}$ pro Monat.

1. a) Stelle die Gleichung auf, die die Gesamtkosten $y$ in Euro in Abhängigkeit von der Anzahl der Monate $x$ angibt.

1. b) Wie groß ist der y-Achsenabschnitt und was bedeutet er in diesem Zusammenhang?

1. c) Und die Steigung? Was bedeutet sie?

Ein Radfahrer fährt mit der konstanten Geschwindigkeit $24\ \text{km/h}$. Wir bezeichnen mit $x$ die Zeit in Stunden und mit $y$ die zurückgelegte Strecke in Kilometern.

1. a) Vervollständige in deinem Heft die Wertetabelle für $x = 0$, $0,5$, $1$, $1,5$ und $2$.

1. b) Stelle die Funktionsgleichung auf.

1. c) Der Radfahrer startet von zu Hause, das $6\ \text{km}$ vom Punkt entfernt ist, an dem die Streckenmessung beginnt. Wie lautet nun die Gleichung für die Entfernung von zu Hause? Um welche Art von Funktion handelt es sich?

Ein Taxi verlangt $3,50\ \text{€}$ Grundgebühr und $1,20\ \text{€}$ für jeden gefahrenen Kilometer.

1. a) Stelle die Funktion auf, die den Preis $y$ einer Fahrt von $x$ Kilometern angibt.

1. b) Wie viel kostet eine Fahrt von $12\ \text{km}$?

1. c) Eine Fahrt hat $16,70\ \text{€}$ gekostet. Wie viele Kilometer wurden zurückgelegt?

Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $y = 2x + 1$ und $y = -x + 7$:

1. a) Stelle die Gleichung auf, die sich durch Gleichsetzen der beiden Terme ergibt, und löse sie.

1. b) Berechne die y-Koordinate des Schnittpunkts.

1. c) Überprüfe das Ergebnis, indem du in beide Gleichungen einsetzt.

Um Grad Celsius in Grad Fahrenheit umzurechnen, verwendet man die Funktion $F = 1,8C + 32$.

1. a) Wie viel Grad Fahrenheit sind $25\ \text{°C}$?

1. b) Was bedeutet der Koeffizient $1,8$? Und der Summand $32$?

1. c) Die Vorhersage meldet $86\ \text{°F}$ in einer Stadt in den USA. Wie viel Grad Celsius sind das?

Ein Telefonanbieter bietet zwei Tarife an, wie in der Abbildung gezeigt (horizontale Achse: Gesprächsminuten pro Monat; vertikale Achse: monatliche Kosten in Euro):

• Tarif A: Grundgebühr von $12\ \text{€}$ pro Monat und $0,04\ \text{€}$ pro Gesprächsminute.

• Tarif B: keine Grundgebühr, $0,08\ \text{€}$ pro Minute.

1. a) Stelle für jeden Tarif die Funktion der monatlichen Kosten in Abhängigkeit von den verbrauchten Minuten auf.

1. b) Ab wie vielen Minuten pro Monat ist Tarif A günstiger?

1. c) Lina telefoniert durchschnittlich $250$ Minuten pro Monat. Welcher Tarif lohnt sich für sie und wie viel spart sie pro Jahr?