Kongruenzsätze
Für das Schützenfest schneidet die Klasse 8b Stoffwimpel aus. Lena schickt Ben nur drei Maße des Musterwimpels, und Ben soll genau gleiche Wimpel zuschneiden. Welche drei Angaben reichen aus? Und bei welchen drei Angaben können ganz verschiedene Wimpel herauskommen? Genau das klären die Kongruenzsätze.
Was heißt „kongruent“?
Zwei Figuren sind kongruent (deckungsgleich), wenn du die eine durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln genau auf die andere legen kannst. Dann stimmen alle Seitenlängen und alle Winkel überein.
Die Reihenfolge der Buchstaben ist wichtig: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ bedeutet, dass $A$ auf $D$, $B$ auf $E$ und $C$ auf $F$ passt. Dann ist $a = d$, $b = e$, $c = f$ und $\alpha = \delta$, $\beta = \varepsilon$, $\gamma = \varphi$.
Es wäre mühsam, immer alle sechs Angaben zu prüfen. Die Kongruenzsätze zeigen, dass drei passende Angaben schon genügen, wenn es die richtigen sind.
Zwei Dreiecke $ABC$ und $DEF$ stimmen in den Seitenlängen $a = d = 5$ cm, $b = e = 6$ cm und $c = f = 7$ cm überein. Nenne den Kongruenzsatz, mit dem du die Kongruenz…
Zwei Dreiecke $ABC$ und $DEF$ stimmen in den Seitenlängen $a = d = 5$ cm, $b = e = 6$ cm und $c = f = 7$ cm überein. Nenne den Kongruenzsatz, mit dem du die Kongruenz der Dreiecke begründen kannst.
Die vier Kongruenzsätze
Jeder Satz sagt: Stimmen zwei Dreiecke in diesen drei Stücken überein, sind sie kongruent. Es kommt auf die Lage der Stücke an.
Warum reichen drei Stücke? Du kannst das Dreieck daraus konstruieren, und die Konstruktion liefert immer dasselbe Dreieck:
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SSS: Zeichne $c$. Die Kreise um $A$ mit Radius $b$ und um $B$ mit Radius $a$ schneiden sich in $C$. Das Spiegelbild von $C$ an $AB$ liefert ein Dreieck, das zum ersten kongruent ist.
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SWS: Die Schenkel des Winkels und die beiden Seitenlängen legen $B$ und $C$ fest.
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WSW: Die beiden Schenkel an den Enden der Seite schneiden sich in genau einem Punkt.
Aus der Winkelsumme $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ folgt: Kennst du zwei Winkel, kennst du auch den dritten. Deshalb reicht auch „eine Seite und zwei beliebige Winkel“. Im Fall WSW rechnest du sonst erst den fehlenden Winkel aus.
Von zwei Dreiecken $ABC$ und $PQR$ ist bekannt: $c = 8$ cm $= r$, $\alpha = 50^\circ = \varphi$ und $\beta = 70^\circ = \psi$, wobei $\alpha, \beta$ die Winkel bei…
Von zwei Dreiecken $ABC$ und $PQR$ ist bekannt: $c = 8$ cm $= r$, $\alpha = 50^\circ = \varphi$ und $\beta = 70^\circ = \psi$, wobei $\alpha, \beta$ die Winkel bei $A, B$ und $\varphi, \psi$ die Winkel bei $P, Q$ sind. Die Seite $c$ liegt zwischen $A$ und $B$, die Seite $r$ zwischen $P$ und $Q$.
Nenne den Kongruenzsatz, der hier anwendbar ist.
Ein Dreieck hat die Seiten $a = 4$ cm und $b = 6$ cm und den eingeschlossenen Winkel $\gamma = 40^\circ$. Ein zweites Dreieck hat ebenfalls zwei Seiten $4$ cm und $6$ cm…
Ein Dreieck hat die Seiten $a = 4$ cm und $b = 6$ cm und den eingeschlossenen Winkel $\gamma = 40^\circ$. Ein zweites Dreieck hat ebenfalls zwei Seiten $4$ cm und $6$ cm und den von ihnen eingeschlossenen Winkel $40^\circ$. Sind die Dreiecke kongruent? Begründe mit einem Kongruenzsatz.
Ein Landvermesser möchte die Entfernung zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ an gegenüberliegenden Ufern der Ruhr bestimmen. Er steckt eine Standlinie $AC$ mit $|AC| = 60$…
Ein Landvermesser möchte die Entfernung zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ an gegenüberliegenden Ufern der Ruhr bestimmen. Er steckt eine Standlinie $AC$ mit $|AC| = 60$ m am Ufer ab und misst $\angle BAC = 70^\circ$ und $\angle ACB = 50^\circ$. Auf seinem Papierplan zeichnet er das Dreieck im Maßstab $1:1000$.
- a) Welchen Kongruenz- bzw. Konstruktionssatz nutzt er?
- b) Wie lang ist die Strecke $AC$ im Plan?
- c) Begründe, warum das Plandreieck eindeutig ist.
Der Satz SsW und sein Haken
Bei SsW passt nicht jeder Winkel. Der Winkel muss der größeren der beiden Seiten gegenüberliegen. Warum?
Probiere es mit $a = 6$ cm, $b = 9$ cm und $\alpha = 30^\circ$. Der Winkel $\alpha$ liegt der kleineren Seite $a$ gegenüber. Konstruiere so:
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Zeichne den Winkel $\alpha = 30^\circ$ mit Scheitel $A$.
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Trage auf einem Schenkel $b = 9$ cm ab. Du erhältst $C$.
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Zeichne um $C$ einen Kreis mit Radius $a = 6$ cm.
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Der Kreis schneidet den anderen Schenkel in zwei Punkten $B_1$ und $B_2$.
Du erhältst zwei verschiedene Dreiecke $ABC$ mit denselben Angaben $a$, $b$, $\alpha$. Sie sind nicht kongruent: Die Seite $c$ ist unterschiedlich lang. Damit ist die Angabe „zwei Seiten und ein Winkel gegenüber der kleineren Seite“ kein Kongruenzsatz.
Liegt der Winkel dagegen der größeren Seite gegenüber, zum Beispiel $a = 9$ cm, $b = 6$ cm und $\alpha = 30^\circ$, dann schneidet der Kreis um $C$ mit Radius $9$ cm den Schenkel auf der Strahlseite nur einmal. Der zweite Schnittpunkt liegt auf der anderen Seite von $A$. Dort gehört er nicht zum Winkel. Das Dreieck ist eindeutig.
Gegeben sind die Dreiecke $ABC$ mit $a = 5$ cm, $b = 7$ cm, $\alpha = 40^\circ$ und $DEF$ mit $d = 5$ cm, $e = 7$ cm, $\delta = 40^\circ$. a) Erkläre, warum man nicht…
Gegeben sind die Dreiecke $ABC$ mit $a = 5$ cm, $b = 7$ cm, $\alpha = 40^\circ$ und $DEF$ mit $d = 5$ cm, $e = 7$ cm, $\delta = 40^\circ$.
- a) Erkläre, warum man nicht ohne Weiteres den Satz SsW anwenden kann (Hinweis zur Lage der Winkel: $\alpha$ liegt gegenüber von $a$).
- b) Welcher Seite muss der gegebene Winkel gegenüberliegen, damit SsW gilt? Prüfe, ob diese Bedingung hier erfüllt ist.
Zwei Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ stimmen in $a = a' = 6$ cm, $b = b' = 9$ cm und in den Winkeln $\alpha = \alpha' = 30^\circ$ überein (Winkel $\alpha$ liegt gegenüber…
Zwei Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ stimmen in $a = a' = 6$ cm, $b = b' = 9$ cm und in den Winkeln $\alpha = \alpha' = 30^\circ$ überein (Winkel $\alpha$ liegt gegenüber $a$).
- a) Begründe, dass die Dreiecke dennoch nicht kongruent sein müssen, indem du die Konstruktion beschreibst und zeigst, dass es zwei verschiedene Dreiecke gibt.
- b) Begründe, warum die Angaben $a = 9$ cm, $b = 6$ cm, $\alpha = 30^\circ$ (mit $\alpha$ gegenüber $a$) das Dreieck eindeutig festlegen.
Winkel allein genügen nicht
Du kannst eine Zeichnung mit einem Kopierer vergrößern. Alle Winkel bleiben gleich, aber die Seiten werden länger. Das Dreieck ist dann ähnlich, aber nicht kongruent.
Zwei Winkel genügen für die Form, weil der dritte aus der Winkelsumme folgt. Für die Kongruenz brauchst du zusätzlich eine Seite. Ist es die Seite zwischen den beiden Winkeln, hast du WSW. Liegt sie einem der Winkel gegenüber, bekommst du den dritten Winkel aus der Winkelsumme und kannst dann ebenfalls WSW verwenden.
In einem Dreieck $ABC$ sind $\alpha = 55^\circ$ und $\beta = 65^\circ$ gegeben. a) Berechne $\gamma$. b) Ein zweites Dreieck $DEF$ hat die Winkel $\delta = 55^\circ$,…
In einem Dreieck $ABC$ sind $\alpha = 55^\circ$ und $\beta = 65^\circ$ gegeben.
- a) Berechne $\gamma$.
- b) Ein zweites Dreieck $DEF$ hat die Winkel $\delta = 55^\circ$, $\varepsilon = 65^\circ$. Muss es zu $ABC$ kongruent sein? Begründe.
- c) Welche zusätzliche Angabe würde die Kongruenz sichern?
Mit Kongruenz begründen und beweisen
Mit den Kongruenzsätzen kannst du Aussagen beweisen. Der Ablauf:
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Zeichne eine Skizze und markiere, was gegeben ist.
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Wähle zwei Dreiecke, die du vergleichen willst. Oft hilft eine Hilfslinie (Diagonale, Höhe).
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Zeige drei passende Übereinstimmungen und nenne den Satz.
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Folgere: Dann stimmen auch die restlichen Stücke überein.
Beweise: Ein Dreieck, in dem zwei Winkel gleich groß sind, ist gleichschenklig. Verwende dazu die Kongruenzsätze und die Höhe (oder die Winkelhalbierende) durch die…
Beweise: Ein Dreieck, in dem zwei Winkel gleich groß sind, ist gleichschenklig. Verwende dazu die Kongruenzsätze und die Höhe (oder die Winkelhalbierende) durch die dritte Ecke.
Im Viereck $ABCD$ gilt $|AB| = |CD|$ und $|BC| = |AD|$. a) Zeige mithilfe der Diagonale $AC$, dass $\angle ABC = \angle CDA$ gilt. b) Begründe, dass auch…
Im Viereck $ABCD$ gilt $|AB| = |CD|$ und $|BC| = |AD|$.
- a) Zeige mithilfe der Diagonale $AC$, dass $\angle ABC = \angle CDA$ gilt.
- b) Begründe, dass auch $\angle BAD = \angle DCB$ gilt (Diagonale $BD$).