Bruchterme

Berechne den Wert des Bruchterms $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ für $x = -2$.

Prüfe durch Kreuzmultiplikation, ob die Bruchterme $\frac{x-3}{x+1}$ und $\frac{x^2-9}{x^2+4x+3}$ äquivalent sind.

Die Grundseite einer rechteckigen Solarzelle misst $x+5$ Meter und ihre Höhe $x-5$ Meter. Die Seite einer quadratischen Solarzelle misst $x$ Meter. Schreibe den Bruchterm auf, der den Quotienten aus dem Flächeninhalt der rechteckigen und dem der quadratischen Solarzelle darstellt. Berechne den Wert dieses Bruchterms für $x = 10$ Meter.

Kürze den folgenden Bruchterm, indem du im Zähler und im Nenner ausklammerst: $\frac{4x^3 - 2x^2}{6x^2 - 2x}$

Vereinfache den folgenden Bruchterm mithilfe der binomischen Formeln: $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$

Lea soll in einer Klassenarbeit den Bruchterm $\dfrac{x^2+4x}{x^2+6x+8}$ vereinfachen und schreibt Folgendes auf ihr Blatt:

1. a) Erkenne den grundlegenden Fehler, den Lea in ihrem ersten Schritt gemacht hat, und erkläre ausführlich, warum es mathematisch nicht zulässig ist, den Term $x^2$ zu streichen. Gib ein einfaches Zahlenbeispiel als Gegenbeispiel an (mit einem Bruch aus konkreten Zahlen und Summen), das zeigt, dass das Streichen von Summanden zu einem falschen Ergebnis führt.
2. b) Vereinfache korrekt, indem du Zähler und Nenner faktorisierst, und gib an, welche Werte von $x$ nicht zur Definitionsmenge des ursprünglichen Bruchterms gehören.

Vereinfache den folgenden Bruchterm, indem du zuvor Zähler und Nenner faktorisierst: $\frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}$

Bestimme den Wert des Parameters $k$ so, dass sich der Bruchterm $\frac{x^2 - kx + 10}{x-5}$ kürzen lässt (also der Zähler durch den Nenner teilbar ist). Schreibe, nachdem du $k$ bestimmt hast, den vereinfachten Term auf.

Multipliziere die folgenden Bruchterme und gib das Ergebnis so weit wie möglich vereinfacht an: $\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2}$

Dividiere die Bruchterme und vereinfache: $\frac{2x+2}{x-1} : \frac{4x+4}{x^2-1}$

Die Gesamtkosten in Euro für die Herstellung von $x$ Fahrrädern werden durch das Polynom $C(x) = 3x^2 + 150x$ angegeben. Die Gesamteinnahmen in Euro aus dem Verkauf dieser $x$ Fahrräder werden durch das Polynom $I(x) = 5x^2 + 200x$ ausgedrückt. Schreibe den vollständig gekürzten Bruchterm auf, der das Verhältnis von Einnahmen zu Kosten darstellt.

Bestimme das Polynom $P(x)$, für das die folgende Gleichheit von Bruchtermen wahr ist: $\frac{x^2-9}{P(x)} = \frac{x-3}{x^2+2x}$

Addiere die folgenden Bruchterme und vereinfache das Ergebnis: $\frac{3x+2}{x-2} + \frac{-x-6}{x-2}$

Führe die folgende Rechnung aus und vereinfache das Ergebnis: $\frac{x^2+5x}{x+3} - \frac{x^2-9}{x+3}$

Führe die folgenden Rechnungen aus, indem du auf den Hauptnenner bringst, und vereinfache das Ergebnis: $\frac{2}{x-1} + \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$

Führe die folgende Subtraktion von Bruchtermen aus und vereinfache so weit wie möglich: $\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$

Um die Differenz $\dfrac{x}{x^2-9} - \dfrac{1}{2x+6}$ zu berechnen und zu vereinfachen, schlagen zwei Schüler der Klasse 10 unterschiedliche Strategien vor:

• Mats schlägt vor, die beiden Nenner direkt miteinander zu multiplizieren, um einen gemeinsamen Nenner zu erhalten: $(x^2-9) \cdot (2x+6) = 2x^3+6x^2-18x-54$.

• Mia schlägt vor, zuerst jeden Nenner zu faktorisieren, was $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ und $2x+6 = 2(x+3)$ ergibt, und daraus das kleinste gemeinsame Vielfache ($\text{kgV}$) zu bestimmen.

1. a) Vergleiche beide Vorgehensweisen und begründe, welche von beiden vorzuziehen ist, um den Rechenaufwand zu minimieren und unnötig hohe Polynomgrade zu vermeiden.
2. b) Führe die Rechnung mit der günstigeren Methode durch, vereinfache das Ergebnis zu einem vollständig gekürzten Bruch und gib an, welche Werte von $x$ aus dem Term ausgeschlossen werden müssen.

Führe die folgende Rechnung aus und vereinfache so weit wie möglich: $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \left( \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x} \right)$

Ein Warmwasserhahn braucht $x$ Stunden, um eine Badewanne zu füllen, der Kaltwasserhahn $x+3$ Stunden. Schreibe einen vereinfachten Bruchterm auf, der den Teil der Badewanne darstellt, der in einer Stunde gefüllt wird, wenn beide Hähne gleichzeitig geöffnet sind.

Aus einem rechteckigen Pappstück mit den Maßen $x+6$ und $x+4$ Zentimeter soll eine oben offene Schachtel gebaut werden, indem man an den vier Ecken Quadrate mit der Seitenlänge $2$ cm ausschneidet und die Seitenteile hochfaltet. Schreibe den vollständig gekürzten Bruchterm auf, der das Verhältnis des Volumens der Schachtel zum Flächeninhalt ihrer Grundfläche darstellt.

Ein Zug legt eine Strecke von $120$ km mit einer konstanten Geschwindigkeit von $v$ km/h zurück. Auf der Rückfahrt verringert sich seine Geschwindigkeit wegen Regens um $10$ km/h. Schreibe den Bruchterm auf, der die Gesamtfahrzeit für Hin- und Rückfahrt in Abhängigkeit von $v$ darstellt, und fasse ihn zu einem einzigen Bruch zusammen.

In einem Chemielabor werden $x$ Liter einer Lösung A, die $\frac{20}{x}$ Euro pro Liter kostet, mit $x+4$ Litern einer Lösung B, die $\frac{30}{x+4}$ Euro pro Liter kostet, gemischt. Schreibe den Bruchterm auf, der den Preis pro Liter der entstandenen Lösung darstellt, und vereinfache den Term so weit wie möglich.

Ein Regionalzug legt eine Hin- und Rückfahrt zwischen zwei Städten zurück, die durch eine Strecke der Länge $120\text{ km}$ verbunden sind. Auf der Hinfahrt fährt er mit einer konstanten Geschwindigkeit $v$ (in $\text{km/h}$), auf der Rückfahrt mit einer höheren Geschwindigkeit von $(v + 20)\text{ km/h}$.

1. a) Die Zeit berechnet sich als Quotient aus Strecke und Geschwindigkeit. Schreibe den Bruchterm auf, der die Gesamtzeit der Hin- und Rückfahrt $T(v)$ darstellt, indem du die Zeiten beider Fahrten über das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer Nenner addierst.
2. b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit der gesamten Fahrt ist definiert als die insgesamt zurückgelegte Strecke geteilt durch die insgesamt benötigte Zeit: $V_m(v) = \dfrac{240}{T(v)}$. Vereinfache diesen Doppelbruch und zeige, dass sich die Durchschnittsgeschwindigkeit als $V_m(v) = \dfrac{v(v+20)}{v+10}$ ausdrücken lässt.
3. c) Ein Reisender behauptet: „Da wir auf der Hinfahrt mit $v$ und auf der Rückfahrt mit $v+20$ gefahren sind, ist die Durchschnittsgeschwindigkeit der gesamten Fahrt genau das gewöhnliche arithmetische Mittel: $\dfrac{v + (v+20)}{2} = v + 10$.“ Zeige algebraisch, indem du die Differenz $V_m(v) - (v+10)$ zu einem einzigen vollständig gekürzten Bruch zusammenfasst, dass diese Behauptung falsch ist, und leite her, ob die tatsächliche Durchschnittsgeschwindigkeit für jede Geschwindigkeit $v > 0$ immer echt größer oder echt kleiner als dieses arithmetische Mittel ist.