Dreieckskonstruktionen
Auf dem Schulhof in Köln soll Mia mit drei Seilen ein dreieckiges Beet abstecken. Die Seile sind 3 m, 4 m und 8 m lang. Egal wie sie zieht: Es wird kein Dreieck. Woran liegt das? Und wie viele verschiedene Dreiecke entstehen, wenn man andere Angaben hat, etwa zwei Seiten und einen Winkel? Das klärst du auf dieser Seite.
Wann gibt es ein Dreieck? Die Dreiecksungleichung
Ein Dreieck $ABC$ hat drei Seiten $a$, $b$, $c$. Der direkte Weg von $A$ nach $B$ ist immer kürzer als der Umweg über $C$. Deshalb gilt:
Die Figur zeigt, was bei $3$ cm, $4$ cm und $8$ cm passiert: Die Kreise um $A$ und $B$ treffen sich nicht, also gibt es keinen Punkt $C$.
Prüfe, ob sich ein Dreieck mit den folgenden Seitenlängen konstruieren lässt, und begründe mit der Dreiecksungleichung: a) $3$ cm, $4$ cm, $8$ cm b) $5$ cm, $5$ cm, $9$…
Prüfe, ob sich ein Dreieck mit den folgenden Seitenlängen konstruieren lässt, und begründe mit der Dreiecksungleichung:
- a) $3$ cm, $4$ cm, $8$ cm
- b) $5$ cm, $5$ cm, $9$ cm
- c) $4$ cm, $6$ cm, $10$ cm
Konstruktion aus drei Seiten (SSS)
Sind alle drei Seiten gegeben, ist das Dreieck bis auf Lage und Spiegelung festgelegt. Du konstruierst es mit Zirkel und Lineal, indem du zwei Kreisbögen schneidest.
Eine Konstruktionsbeschreibung nennt jeden Schritt mit Fachbegriffen: „Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit $c = 7$ cm. Zeichne um $A$ den Kreisbogen mit Radius $6$ cm …“. Auch der zweite Schnittpunkt der Bögen (Spiegelbild an $\overline{AB}$) liefert ein Dreieck. Beide sind kongruent, also zählt das als eine Lösung.
Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $a = 5$ cm, $b = 6$ cm und $c = 7$ cm. Beschreibe die einzelnen Konstruktionsschritte.
Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $a = 5$ cm, $b = 6$ cm und $c = 7$ cm. Beschreibe die einzelnen Konstruktionsschritte.
Zwei Seiten und ein Winkel, ein Winkel und eine Seite
Bei SWS sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben. Bei WSW sind eine Seite und die beiden anliegenden Winkel gegeben. In beiden Fällen entsteht genau ein Dreieck (bis auf Kongruenz). Die Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW und SsW (SsW nur mit dem Winkel gegenüber der größeren Seite) legen ein Dreieck bis auf Kongruenz fest: Stimmen zwei Dreiecke in diesen Angaben überein, sind sie kongruent.
Konstruieren im Maßstab
Reale Längen rechnest du in die Zeichnung um. Beim Maßstab $1:500$ ist $1$ cm in der Zeichnung gleich $500$ cm $= 5$ m in Wirklichkeit.
Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $c = 6$ cm, $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 60^\circ$. Beschreibe die Konstruktionsschritte.
Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $c = 6$ cm, $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 60^\circ$. Beschreibe die Konstruktionsschritte.
Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $b = 5$ cm, $c = 7$ cm und $\alpha = 55^\circ$. Beschreibe die Konstruktionsschritte.
Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $b = 5$ cm, $c = 7$ cm und $\alpha = 55^\circ$. Beschreibe die Konstruktionsschritte.
Ein dreieckiges Grundstück in Köln hat die Seiten $|AB| = 40$ m, $|AC| = 30$ m und den Winkel $\angle BAC = 70^\circ$. Es soll im Maßstab $1:500$ gezeichnet werden. a)…
Ein dreieckiges Grundstück in Köln hat die Seiten $|AB| = 40$ m, $|AC| = 30$ m und den Winkel $\angle BAC = 70^\circ$. Es soll im Maßstab $1:500$ gezeichnet werden.
- a) Gib die Seitenlängen $|AB|$ und $|AC|$ in der Zeichnung an.
- b) Beschreibe die Konstruktion.
- c) Bestimme durch Messung in deiner Zeichnung näherungsweise die reale Länge von $|BC|$.
Zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite (SsW)
Jetzt ist der Winkel nicht eingeschlossen, sondern liegt einer der beiden gegebenen Seiten gegenüber. Dann hängt es von den Längen ab, ob es keine, eine oder zwei Lösungen gibt.
Ist dagegen die kleinere Seite dem gegebenen Winkel gegenüber, können zwei Dreiecke entstehen.
Der Winkel $\alpha = 30^\circ$ liegt bei $A$ zwischen der Geraden durch $A$ und $B$ und der Seite $b$. Im Bild ist er bei $A$ eingezeichnet.
Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $c = 7$ cm, $a = 5$ cm und $\gamma = 40^\circ$ (Winkel gegenüber $c$, $c$ ist die größere Seite). Beschreibe die Konstruktion und gib…
Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $c = 7$ cm, $a = 5$ cm und $\gamma = 40^\circ$ (Winkel gegenüber $c$, $c$ ist die größere Seite). Beschreibe die Konstruktion und gib an, ob das Dreieck eindeutig ist.
Es soll ein Dreieck $ABC$ mit $b = 8$ cm, $a = 5$ cm und $\alpha = 30^\circ$ ($\alpha$ liegt gegenüber $a$) konstruiert werden. a) Beschreibe die Konstruktion und zeige,…
Es soll ein Dreieck $ABC$ mit $b = 8$ cm, $a = 5$ cm und $\alpha = 30^\circ$ ($\alpha$ liegt gegenüber $a$) konstruiert werden.
- a) Beschreibe die Konstruktion und zeige, dass es zwei nicht kongruente Lösungen gibt.
- b) Für welche Werte von $a$ (bei $b = 8$ cm, $\alpha = 30^\circ$) gibt es genau eine, zwei bzw. keine Lösung? Begründe mit der Höhe $h$ von $C$ auf die Seite $c$.
Lösbarkeit und Eindeutigkeit begründen
Bei jeder Konstruktionsaufgabe fragst du zwei Dinge: Gibt es mindestens ein Dreieck (Lösbarkeit)? Gibt es genau eines (Eindeutigkeit)?
| Gegeben | Bedingung für Lösbarkeit | Eindeutig? |
|---|---|---|
| SSS | Dreiecksungleichung erfüllt | ja |
| SWS | $0^\circ < \text{Winkel} < 180^\circ$ | ja |
| WSW | Winkelsumme der beiden Winkel $< 180^\circ$ | ja |
| SsW, größere Seite gegenüber | immer | ja |
| SsW, kleinere Seite gegenüber | $a \ge h$ | $a = h$ oder $a \ge b$: ja; $h < a < b$: zwei Lösungen |
| WWW | nur lösbar, wenn die Winkelsumme genau $180^\circ$ beträgt | nein (unendlich viele) |
Für $b = 8$ cm und $\alpha = 30^\circ$ ist $h = 4$ cm. Daraus folgt: Für $a < 4$ cm gibt es keine Lösung, für $a = 4$ cm genau eine (rechtwinkliges Dreieck), für $4 < a < 8$ zwei und für $a \ge 8$ cm wieder genau eine.
Untersuche, ob es ein Dreieck gibt mit a) $\alpha = 80^\circ$, $\beta = 70^\circ$, $\gamma = 40^\circ$ und $c = 5$ cm, b) $\alpha = 80^\circ$, $\beta = 70^\circ$,…
Untersuche, ob es ein Dreieck gibt mit
- a) $\alpha = 80^\circ$, $\beta = 70^\circ$, $\gamma = 40^\circ$ und $c = 5$ cm,
- b) $\alpha = 80^\circ$, $\beta = 70^\circ$, $c = 5$ cm,
- c) $\alpha = 100^\circ$, $\beta = 85^\circ$, $c = 5$ cm.
Begründe jeweils die Lösbarkeit bzw. Eindeutigkeit.
Gleichschenkliges Dreieck aus Basis und Höhe
Im gleichschenkligen Dreieck sind die Schenkel $a$ und $b$ gleich lang. Die Höhe $h_c$ steht senkrecht auf der Basis $c$ und halbiert sie.
Das Dreieck ist eindeutig: Die Hälfte $AMC$ ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $3$ cm und $4$ cm, also durch SWS (zwei Seiten und der eingeschlossene rechte Winkel) festgelegt. Die andere Hälfte ist das Spiegelbild. Damit ist auch das ganze Dreieck eindeutig.
Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck $ABC$ mit der Basis $c = 6$ cm und der Höhe $h_c = 4$ cm. a) Beschreibe die Konstruktion. b) Berechne die Länge der Schenkel.…
Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck $ABC$ mit der Basis $c = 6$ cm und der Höhe $h_c = 4$ cm.
- a) Beschreibe die Konstruktion.
- b) Berechne die Länge der Schenkel.
- c) Begründe, dass durch $c$ und $h_c$ das gleichschenklige Dreieck eindeutig bestimmt ist, und gib an, welcher Kongruenzsatz dies sichert.
Auf einen Blick
Zurück zum Anfang: Mia kann mit $3$ m, $4$ m und $8$ m kein Dreieck abstecken, weil $8 > 3 + 4 = 7$ gilt.