Aufgaben: Thaleskreis und Umkehrung

Die Strecke $AB$ mit $|AB| = 10$ cm ist der Durchmesser eines Kreises. Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis ($C \neq A, B$). Wie groß ist der Winkel $\gamma$ bei $C$? Nenne den verwendeten Satz.

Ein Dreieck $ABC$ ist so in einen Halbkreis über der Strecke $AB$ eingezeichnet, dass $C$ auf dem Halbkreis liegt. Es gilt $\alpha = 35^\circ$. Berechne $\beta$ und $\gamma$.

Konstruiere den Thaleskreis über der Strecke $AB$ mit $|AB| = 8$ cm. Beschreibe, wie du den Mittelpunkt und den Radius bestimmst, und gib den Radius an.

Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $c = 9$ cm und der Kathete $a = 5$ cm. Beschreibe die Konstruktion mit dem Thaleskreis.

Gegeben ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r = 6,5$ cm. Die Sehne $AB$ ist ein Durchmesser, $C$ liegt auf dem Kreis mit $|AC| = 5$ cm.

1. a) Berechne $|BC|$.
2. b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.

Von einem Punkt $P$ außerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M$ sollen die Tangenten an den Kreis konstruiert werden. Es gilt $|MP| = 8$ cm, $r = 3$ cm.

1. a) Beschreibe die Konstruktion mithilfe des Thaleskreises über $MP$.
2. b) Berechne die Länge der Tangentenabschnitte vom Punkt $P$ zu den Berührpunkten.

Beweise den Satz des Thales: Liegt $C$ auf dem Kreis mit dem Durchmesser $AB$, so ist $\gamma = 90^\circ$. Verwende den Mittelpunkt $M$ und die Strecke $MC$, die gleichschenklige Teildreiecke erzeugt, sowie die Winkelsumme im Dreieck.

Beweise die Umkehrung des Satzes des Thales: Ist $ABC$ ein Dreieck mit einem rechten Winkel bei $C$, so liegt $C$ auf dem Kreis mit dem Durchmesser $AB$. Ergänze dazu das Dreieck zu einem Rechteck und nutze, dass sich die Diagonalen im Rechteck halbieren und gleich lang sind.

Gegeben sind die Punkte $A(-2|0)$ und $B(6|0)$.

1. a) Bestimme Mittelpunkt und Radius des Thaleskreises über $AB$.
2. b) Prüfe, ob $C_1(2|4)$ und $C_2(4|3)$ auf dem Thaleskreis liegen und begründe, ob das Dreieck $ABC_i$ bei $C_i$ einen rechten Winkel hat.
3. c) Bestimme alle Punkte $C(x|y)$ auf dem Thaleskreis mit $x = 5$.