Aufgaben: Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Prüfe, ob die Wertepaare $(1|2)$, $(3|-1)$ und $(0|4)$ Lösungen der linearen Gleichung $3x + 2y = 7$ sind.

Löse die lineare Gleichung mit zwei Variablen $5x - 2y = 10$ nach $y$ in Abhängigkeit von $x$ auf.

Finde drei verschiedene Lösungen der linearen Gleichung $-2x + 4y = 8$.

Bestimme den Wert, den der Koeffizient $c$ haben muss, damit das Wertepaar $(-2|5)$ eine Lösung der Gleichung $4x - 3y = c$ ist.

Übersetze den folgenden Satz in eine lineare Gleichung mit zwei Variablen: „Der Preis für drei Kinokarten für Erwachsene plus der Preis für zwei Kinderkarten beträgt insgesamt 34 Euro."

Gib mit Begründung an, welche der folgenden Gleichungen lineare Gleichungen mit zwei Variablen sind:

• a) $x^2 + y = 7$

• b) $3x - \frac{y}{4} = 1$

• c) $x \cdot y = 12$

• d) $-x + 6y = 0$

Bestimme für die Gleichung $7x + 3y = 21$ den Wert von $y$ für $x = 0$ und den Wert von $x$ für $y = 0$.

Schreibe zwei Gleichungen auf, die zu $6x - 9y = 15$ äquivalent sind. Die eine erhältst du, indem du alle Terme mit einer ganzen Zahl multiplizierst, die andere, indem du sie dividierst.

Im Stadtbusverkehr einer spanischen Stadt kostet der Einzelfahrschein $1,50$ € und eine Fahrt mit der Mehrfahrtenkarte $0,80$ €. Eine Gruppe von Freunden hat an einem Nachmittag insgesamt genau $12$ € ausgegeben und dabei beide Zahlungsarten kombiniert.

1. a) Schreibe die lineare Gleichung mit zwei Variablen auf ($x$ = Anzahl der Einzelfahrscheine, $y$ = Anzahl der Fahrten mit der Karte), die die Gesamtausgaben beschreibt.
2. b) Schätze, bevor du genau rechnest, im Kopf ab, ob es möglich ist, dass sie mit diesem Budget $10$ Einzelfahrscheine gekauft haben, und begründe deine Antwort.
3. c) Prüfe, ob das Wertepaar mit $x = 4$ und $y = 7,5$ rechnerisch eine Lösung der Gleichung ist, und erkläre, warum es im Sachzusammenhang dieser Aufgabe keine sinnvolle Lösung sein kann.

Mateo möchte die lineare Gleichung mit zwei Variablen $2x + 4y = 12$ vereinfachen, um leichter Lösungspaare zu finden. In seinem Heft hat er Folgendes gerechnet:

„Ich dividiere durch $2$, damit die Zahlen kleiner werden: $x + 2y = 12$.

Nun wähle ich den Wert $y = 3$ und setze ein: $x + 2 \cdot 3 = 12 \implies x + 6 = 12 \implies x = 6$.

Also ist das Paar $(6|3)$ eine Lösung der ursprünglichen Gleichung."

1. a) Finde den Fehler, den Mateo beim Suchen einer äquivalenten Gleichung gemacht hat, und erkläre, warum sein Vorgehen die Waagenregel verletzt.
2. b) Prüfe durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung $2x + 4y = 12$, ob das von Mateo erhaltene Paar $(6|3)$ tatsächlich eine Lösung ist.
3. c) Schreibe die richtig vereinfachte Gleichung auf und finde ein Paar $(x|y)$, das wirklich eine Lösung ist.

Bestimme für die lineare Gleichung $4x - y = 18$ die Lösung, bei der beide Variablen genau denselben Wert haben (also $x = y$).

Eine Klassenarbeit besteht aus Multiple-Choice-Fragen mit je 2 Punkten und Rechenaufgaben mit je 5 Punkten. Stelle eine lineare Gleichung auf, die die Anzahl der Aufgaben jeder Art in Beziehung setzt, damit man die Höchstpunktzahl von 30 Punkten erreicht. Finde eine Lösung, bei der die Anzahl der Multiple-Choice-Fragen genau das Fünffache der Anzahl der Rechenaufgaben ist.

Finde eine lineare Gleichung der Form $ax + by = c$, die die Wertepaare $(2|3)$ und $(4|-1)$ als Lösungen hat.

Betrachte die Gerade im folgenden Koordinatensystem.

Bestimme die lineare Gleichung mit zwei Variablen, die zu dieser Geraden gehört, und gib sie in der Form $ax + by = c$ mit ganzzahligen Koeffizienten an. Berechne mithilfe der erhaltenen Gleichung den Wert von $y$ für $x = 12$.

Ein Fahrradverleih verlangt eine feste Gebühr für die Versicherung und zusätzlich einen Betrag für jede Stunde der Nutzung. Wenn das Ausleihen eines Fahrrads für 3 Stunden 14 Euro und für 5 Stunden 22 Euro kostet, stelle eine lineare Gleichung auf, die die Gesamtkosten ($y$) mit der Nutzungsdauer in Stunden ($x$) verbindet. Wie hoch ist die feste Gebühr?

Bringe die lineare Gleichung mit Bruchkoeffizienten $\frac{x - 1}{2} + \frac{2y + 3}{5} = 1$ auf die allgemeine Form $ax + by = c$, indem du die Nenner beseitigst. Finde anschließend eine Lösung, bei der $x$ eine negative ganze Zahl ist.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das der Graph der Gleichung $8x + 5y = 40$ mit den Koordinatenachsen $X$ und $Y$ bildet.

Bestimme die Koeffizienten $a$ und $b$ der linearen Gleichung $ax + by = 12$, wenn bekannt ist, dass die Gerade durch den Punkt $P(2|-1)$ verläuft und dass beim Auflösen nach $y$ die Steigung der entstehenden Geraden $4$ beträgt.

Eine in ein Koordinatensystem gezeichnete Gerade enthält alle Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Variablen der Form $ax + by = c$, wobei die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler sind.

1. a) Bestimme die Werte von $a$, $b$ und $c$, wenn die Gerade durch den Punkt $(2|-1)$ verläuft und die waagerechte Achse im Punkt $(4|0)$ schneidet. Schreibe die erhaltene lineare Gleichung auf.
2. b) Finde mithilfe deiner Gleichung eine Lösung $(x|y)$, die sich von den beiden bisherigen unterscheidet und bei der $y$ eine positive ganze Zahl ist.
3. c) Begründe, wie viele Lösungen diese Gleichung insgesamt hat, und erkläre, warum sie geometrisch den Punkten einer Geraden entsprechen.

In einer spanischen Gemeinde gibt es eine Ermäßigung bei der Müllgebühr, um die Mülltrennung zu belohnen. Nach dem kommunalen Programm bringt jedes Kilogramm recycelter Leichtverpackungen (gelber Container, $x$) eine Ersparnis von $0,30$ €, und jedes Kilogramm Papier und Pappe (blauer Container, $y$) eine Ersparnis von $0,20$ €. Eine Hausgemeinschaft hat sich zum Ziel gesetzt, in einem Monat eine Gesamtersparnis von genau $60$ € zu erreichen.

1. a) Schreibe die lineare Gleichung mit zwei Variablen auf, die den Zusammenhang zwischen den recycelten Kilogramm jeder Abfallart und der angestrebten Ersparnis beschreibt.
2. b) Berechne die beiden Achsenschnittpunkte: wenn keine Pappe recycelt wird ($y = 0$) und wenn keine Verpackungen recycelt werden ($x = 0$). Erkläre, was jeder dieser beiden Fälle im Alltag der Hausgemeinschaft bedeutet.
3. c) Ein Sprecher der Nachbarn behauptet, mit $100\text{ kg}$ Verpackungen und $150\text{ kg}$ Pappe erreiche man genau die Ermäßigung von $60$ €. Entscheide durch Rechnung, ob die Behauptung wahr oder falsch ist.

Die folgende Abbildung zeigt drei Geraden, die zu drei linearen Gleichungen mit zwei Variablen der Form $ax + by = c$ gehören.

Ordne jeder Geraden (A, B und C) eine der folgenden Bedingungen für ihre Koeffizienten zu und begründe deine Antwort mathematisch:

• Bedingung 1: $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$

• Bedingung 2: $a > 0$, $b < 0$, $c = 0$

• Bedingung 3: $a = 0$, $b > 0$, $c > 0$

In einem Elektronikgeschäft werden USB-Sticks für 14 € und SD-Karten für 9 € verkauft. Eine Schule hat genau 195 € für diese Geräte ausgegeben. Schreibe die zugehörige lineare Gleichung auf und bestimme ALLE möglichen Kombinationen von Sticks und Karten, die sie gekauft haben kann, wenn sie von jeder Sorte mindestens eine gekauft hat.

Zeige mit einer Begründung, dass die lineare Gleichung $15x + 21y = 43$ keine Lösung haben kann, bei der $x$ und $y$ beide ganze Zahlen sind. (Hinweis: Achte auf die Teilbarkeit der Koeffizienten.)

Zwei Wasserpumpen füllen einen Tank. Die erste pumpt $x$ Liter pro Minute, die zweite $y$ Liter pro Minute. Wenn wir die erste 12 Minuten und die zweite 18 Minuten lang laufen lassen, fließen 420 Liter in den Tank. Wenn wir beide gleichzeitig 15 Minuten lang laufen lassen, fließen 375 Liter in den Tank. Stelle für jede Situation eine lineare Gleichung auf, vereinfache sie und entscheide, ob sie äquivalente Gleichungen darstellen.

Der Zusammenhang zwischen der Temperatur in Grad Celsius ($C$) und in Grad Fahrenheit ($F$) wird durch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen beschrieben. Wasser gefriert bei $0^\circ \text{C}$ (das entspricht $32^\circ \text{F}$) und siedet bei $100^\circ \text{C}$ (das entspricht $212^\circ \text{F}$). Bestimme die allgemeine Gleichung, die beide Größen verbindet. Gibt es eine Temperatur, bei der beide Skalen genau denselben Zahlenwert anzeigen? Wenn ja, berechne sie.

Bestimme für die lineare Gleichung mit Parameter $(k-1)x + (k+2)y = 3k$ den Wert des Parameters $k$, für den die zugehörige Gerade parallel zur y-Achse ($Y$) verläuft. Wie lautet die Gleichung für diesen Wert von $k$ und welche Besonderheit haben alle ihre Lösungen?

Ein Landwirt möchte genau 173 Liter Olivenöl mit Kanistern zu 5 Litern und Flaschen zu 3 Litern abfüllen. Beschreibe diese Situation durch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen. Wenn er möglichst wenige Behälter insgesamt verwenden möchte, ohne dass Öl übrig bleibt oder fehlt, wie viele Behälter jeder Art muss er dann verwenden?

Betrachte die lineare Gleichung $ax + by = c$ mit ganzzahligen Koeffizienten. Der Punkt $(p\,|\,q)$ ist bekanntlich eine ganzzahlige Lösung der Gleichung (d. h. $a \cdot p + b \cdot q = c$). Zeige algebraisch, dass jeder Punkt der Form $(p + n \cdot b \,|\, q - n \cdot a)$, wobei $n$ eine beliebige ganze Zahl ist, ebenfalls eine Lösung der Gleichung ist.

Um die lineare Gleichung $3x - 5y = 30$ in einem Gitter darzustellen und ganzzahlige Lösungen zu finden, schlagen zwei Schülerinnen vor, nach jeweils einer anderen Variablen aufzulösen:

• Lucías Methode: nach $x$ in Abhängigkeit von $y$ auflösen, man erhält $x = \frac{30 + 5y}{3}$.

• Carmens Methode: nach $y$ in Abhängigkeit von $x$ auflösen, man erhält $y = \frac{3x - 30}{5}$.

1. a) Untersuche die Nenner beider Ausdrücke und begründe mithilfe der Teilbarkeitsregeln für 3 und 5, welche der beiden Methoden einfacher und schneller ganzzahlige Werte ohne Dezimalbrüche liefert.
2. b) Berechne mit der Methode, die du als effizienter ausgewählt hast, drei Lösungspaare mit ganzen Zahlen (positiv, negativ oder null), die nicht die Achsenschnittpunkte sind.
3. c) Begründe ausgehend von Carmens Ausdruck mathematisch, warum jedes Mal, wenn die Variable $x$ um $5$ Einheiten zunimmt, die Variable $y$ zwingend um $3$ Einheiten zunehmen muss, damit die Gleichheit erhalten bleibt.

Nach Daten des spanischen Ministeriums für den ökologischen Wandel zu Emissionen im Stadtverkehr stößt ein Benzin-Pkw im Durchschnitt $0,12\text{ kg}$ $\text{CO}_2$ pro gefahrenem Kilometer aus, ein Diesel-Lieferwagen dagegen $0,18\text{ kg}$ $\text{CO}_2$ pro Kilometer. Ein lokaler Kurierdienst möchte für die gefahrenen Kilometer seines Pkw ($x$) und seines Lieferwagens ($y$) zusammen eine tägliche Grenze von genau $36\text{ kg}$ $\text{CO}_2$ festlegen.

1. a) Schreibe die lineare Gleichung mit zwei Variablen auf, die diese Umweltsituation beschreibt.
2. b) Forme die obige Gleichung in eine äquivalente Gleichung mit möglichst kleinen ganzzahligen Koeffizienten um. Erkläre, warum beide Gleichungen genau dieselben Lösungspaare haben.
3. c) Wenn der Pkw an einem Tag $150\text{ km}$ gefahren ist, berechne mit der äquivalenten Gleichung, wie viele Kilometer der Lieferwagen fahren darf, um die festgelegte Emissionsgrenze genau einzuhalten.
4. d) Das Unternehmen betrachtet einen Arbeitstag, an dem der Lieferwagen immer die doppelte Strecke des Pkw fährt ($y = 2x$). Berechne, wie viele Kilometer jedes Fahrzeug fahren müsste, um die festgelegte Grenze auszuschöpfen, und begründe, ob diese Strecken für einen städtischen Liefertag von 8 Stunden sinnvoll und machbar sind.