Aufgaben: Zinseszins und prozentuale Veränderung

Schreibe den Wachstumsfaktor auf, der zu jeder dieser prozentualen Veränderungen gehört:

1. a) Eine Zunahme um $25\ \%$.

1. b) Eine Abnahme um $15\ \%$.

1. c) Eine Zunahme um $3\ \%$.

1. d) Eine Abnahme um $60\ \%$.

1. e) Eine Zunahme um $130\ \%$.

Welche prozentuale Zunahme oder Abnahme gehört zu jedem dieser Wachstumsfaktoren?

1. a) $1,45$

1. b) $0,82$

1. c) $2,1$

1. d) $0,05$

1. e) $1,06$

Wende den passenden Wachstumsfaktor an, um den Endwert zu berechnen:

1. a) Eine Festivalkarte, die $80\ \text{€}$ kostet, wird um $15\ \%$ teurer.

1. b) Turnschuhe für $64\ \text{€}$ werden um $25\ \%$ reduziert.

1. c) Die Miete von $950\ \text{€}$ pro Monat für ein Ladenlokal steigt um $4\ \%$.

Ein Sparer legt $2.000\ \text{€}$ auf einem Konto mit $4\ \%$ jährlichem Zinseszins an, das heißt, jedes Jahr werden die Zinsen zum Kapital addiert und bringen ebenfalls Zinsen.

1. a) Auf wie viel wächst das Kapital am Ende des ersten Jahres?

1. b) Und am Ende des zweiten Jahres?

1. c) Warum ist die Zunahme im zweiten Jahr größer als im ersten, obwohl der Prozentsatz derselbe ist?

Prozentsätze können größer als $100\ \%$ sein:

1. a) Die Einwohnerzahl eines neuen Stadtviertels ist in zehn Jahren um $150\ \%$ gestiegen. Wie lautet der Wachstumsfaktor? Wenn es $1.200$ Einwohner gab, wie viele sind es jetzt?

1. b) Der Punktestand eines Clubs hat sich verdreifacht. Welcher prozentualen Zunahme entspricht das?

1. c) Ist „um $200\ \%$ steigen“ dasselbe wie „verdoppeln“? Begründe deine Antwort mit einem Beispiel.

Prozentsätze können auch kleiner als $1\ \%$ sein:

1. a) Ein Institut verlangt für jede Eilüberweisung eine Gebühr von $0,3\ \%$. Wie viel verlangt es für eine Überweisung von $4.500\ \text{€}$?

1. b) In einem olympischen Schwimmbecken mit $2.500.000\ \text{L}$ Wasser entfallen $0,02\ \%$ auf das Wasser, das täglich wegen der Chlorzugabe und des Ausgleichs erneuert wird. Wie viele Liter sind das?

1. c) Gib $0,5\ \%$ als Wachstumsfaktor und als Bruch an.

In einem Bekleidungsgeschäft während des Ausverkaufs kostet ein Mantel anfangs $90\ \text{€}$. In der ersten Woche wird ein Rabatt von $20\ \%$ gewährt, und in der zweiten Woche ein zusätzlicher Rabatt von $15\ \%$ auf den bereits reduzierten Preis.

Leon berechnet den Endpreis, indem er beide Prozentsätze addiert: $20\ \% + 15\ \% = 35\ \%$. Er wendet daher einen einzigen Wachstumsfaktor von $1 - 0,35 = 0,65$ an und behauptet, der Mantel koste $90 \cdot 0,65 = 58,50\ \text{€}$.

1. a) Finde und erkläre begründet den begrifflichen Fehler von Leon. Auf welchen Betrag muss der zweite Rabatt tatsächlich angewendet werden?
2. b) Schreibe die Wachstumsfaktoren der einzelnen Preissenkungen auf und berechne mithilfe verketteter Faktoren den richtigen Endpreis des Mantels.
3. c) Begründe, ohne dich nur auf die erhaltene Zahl zu stützen, warum der tatsächliche Preis höher ausfällt, als Leon berechnet hat.

Die zweimonatliche Wasserrechnung einer Familie ist wegen eines außerordentlichen Dürrezuschlags um $5\ \%$ gestiegen und beträgt nun $42\ \text{€}$.

1. a) Schätze im Kopf, bevor du komplizierte Rechnungen durchführst: Lag der Preis vor der Erhöhung bei ungefähr $40\ \text{€}$, $35\ \text{€}$ oder darunter? Begründe deine Antwort, indem du im Kopf berechnest, wie viel eine Erhöhung um $5\ \%$ auf $40\ \text{€}$ ausmachen würde.
2. b) Schreibe den zur Erhöhung gehörenden Wachstumsfaktor auf und berechne den genauen ursprünglichen Preis, indem du den Endbetrag durch diesen Faktor teilst.
3. c) Prüfe, ob das exakte Ergebnis deine Schätzung bestätigt. Wenn du von den $42\ \text{€}$ am Ende direkt die $5\ \%$ ($42 \cdot 0,95$) abziehen würdest, würdest du dann den ursprünglichen Preis erhalten? Führe die Probe numerisch durch und begründe, warum die Werte nicht übereinstimmen.

Ein Geschäft erhöht die Preise seiner Produkte um $20\ \%$ und senkt sie einen Monat später um $20\ \%$.

1. a) Kopfhörer kosteten anfangs $50\ \text{€}$. Wie viel kosten sie nach der Erhöhung? Und nach der Senkung?

1. b) Berechne den gesamten Wachstumsfaktor, indem du die Faktoren der einzelnen Veränderungen multiplizierst.

1. c) Sind die Preise wieder auf den Anfangswert zurückgekehrt? Wie groß war die prozentuale Gesamtveränderung?

Großeltern zahlen für ihre Enkelin $3.000\ \text{€}$ auf ein Sparkonto mit $5\ \%$ jährlichem Zinseszins ein.

1. a) Schreibe den Term auf, der das Endkapital nach $4$ Jahren mithilfe einer Potenz angibt.

1. b) Berechne das Endkapital mit dem Taschenrechner.

1. c) Wie viele Euro entfallen auf Zinsen?

Nach einer Preissenkung von $25\ \%$ kostet ein Mantel $54\ \text{€}$.

1. a) Wie lautet der Wachstumsfaktor der Preissenkung?

1. b) Berechne den Anfangspreis, indem du durch den Wachstumsfaktor teilst.

1. c) Überprüfe das Ergebnis, indem du die Preissenkung auf den von dir erhaltenen Anfangspreis anwendest.

Vergleiche zwei Arten, $1.000\ \text{€}$ über $3$ Jahre mit $6\ \%$ pro Jahr anzulegen, wie in der Abbildung gezeigt:

• Einfache Zinsen: Jedes Jahr entstehen auf das Anfangskapital dieselben Zinsen.

• Zinseszins: Jedes Jahr werden die Zinsen zum Kapital addiert.

1. a) Berechne das Endkapital bei einfachen Zinsen.

1. b) Berechne das Endkapital bei Zinseszins.

1. c) Welchen Unterschied gibt es? Woher kommt dieser Unterschied?

Eine Bank bietet eine Geldanlage von $1.200\ \text{€}$ mit $6\ \%$ pro Jahr und monatlicher Zinszahlung an (monatlicher Zinseszins).

1. a) Welcher Zinssatz wird jeden Monat angewendet?

1. b) Schreibe den Term für das Endkapital nach $2$ Jahren auf, wobei es $24$ monatliche Zeiträume gibt.

1. c) Berechne das Endkapital und vergleiche es mit dem, das man bei jährlicher Zinszahlung erhielte: $1.200 \cdot 1,06^2$. Welches ist größer?

Die Aktien eines Technologieunternehmens stiegen im ersten Jahr um $40\ \%$, fielen im zweiten Jahr um $30\ \%$ und stiegen im dritten Jahr um $10\ \%$.

1. a) Berechne den Wachstumsfaktor jedes Jahres und den gesamten Wachstumsfaktor der drei Jahre.

1. b) Wenn ein Aktienpaket am Anfang $2.500\ \text{€}$ wert war, wie viel ist es am Ende des dritten Jahres wert?

1. c) Wie groß war die prozentuale Gesamtveränderung? Warum stimmt sie nicht mit der Summe der drei Prozentsätze überein?

Ein Sparkonto für Jugendliche bietet $3\ \%$ Zinseszins pro Jahr. Eine Person zahlt $1.500\ \text{€}$ ein und beschließt, das Geld $4$ Jahre nicht anzurühren. Zwei Schüler schlagen zwei verschiedene Wege vor, um das am Ende der Laufzeit angesammelte Kapital zu berechnen:

• Emilia schlägt die schrittweise Methode vor: $3\ \%$ von $1.500\ \text{€}$ berechnen und addieren; vom erhaltenen Ergebnis erneut $3\ \%$ berechnen und addieren, und diesen Vorgang viermal hintereinander wiederholen.

• Lena schlägt die globale Methode vor: die Zinseszinsformel mit dem Wachstumsfaktor aufstellen: $K_4 = 1.500 \cdot 1,03^4$.

1. a) Zeige algebraisch, dass beide Methoden dasselbe Ergebnis liefern, indem du bei den ersten beiden Jahren der Methode von Emilia ausklammerst.
2. b) Vergleiche beide Wege: Welche Vor- und Nachteile hat jeder? Wenn die Laufzeit $20$ Jahre betragen würde, welchen würdest du wählen und warum?
3. c) Berechne das angesammelte Endkapital und die insgesamt erzielten Zinsen nach den $4$ Jahren mit der Methode, die du für am effizientesten hältst.

Nach den Meldedaten des spanischen Statistikamts (INE) hatte eine ländliche Gemeinde in Zamora am 1. Januar 2020 $1.200$ Einwohner. Wegen der Abwanderung sinkt ihre Einwohnerzahl mit einer geschätzten konstanten Rate von $4\ \%$ pro Jahr.

1. a) Schreibe den Term auf, der die Einwohnerzahl $P(t)$ in Abhängigkeit von den seit 2020 vergangenen Jahren $t$ modelliert, und gib dabei den verwendeten jährlichen Wachstumsfaktor deutlich an.
2. b) Schätze mit dem Modell die Einwohnerzahl der Gemeinde am 1. Januar 2024 (runde das Ergebnis auf die nächste ganze Personenzahl).
3. c) Welchen prozentualen Gesamtanteil der Bevölkerung hat das Dorf in diesen $4$ Jahren verloren? Vergleiche diesen Gesamtprozentsatz mit der direkten Multiplikation $4\ \text{Jahre} \cdot 4\ \% = 16\ \%$ und begründe mathematisch, warum der tatsächlich angesammelte Verlust kleiner ist als $16\ \%$.

Der Preis der Nahverkehrskarte einer Stadt ist durch eine öffentliche Förderung um $20\ \%$ gesunken.

1. a) Wenn der Einzelfahrschein früher $1,55\ \text{€}$ gekostet hat, wie viel kostet er jetzt?

1. b) Die Förderung wird gestrichen und der Preis soll wieder auf den ursprünglichen Wert steigen. Um wie viel Prozent muss der aktuelle Preis steigen, damit der ursprüngliche Preis wieder erreicht wird?

1. c) Begründe mithilfe von Wachstumsfaktoren, warum die Antwort nicht $20\ \%$ lautet, und formuliere die allgemeine Regel: Um wie viel Prozent muss der Preis nach einer Senkung um $r\ \%$ steigen, damit er wieder den Anfangswert erreicht?

Zwei Banken bieten eine Geldanlage für ein Jahr über $5.000\ \text{€}$ an:

• Bank A: $4,9\ \%$ pro Jahr bei halbjährlicher Zinszahlung (die Hälfte des Zinssatzes pro Halbjahr, also $2,45\ \%$, mit Zinseszins).

• Bank B: $5\ \%$ pro Jahr mit einer einmaligen Zinszahlung am Ende des Jahres.

1. a) Berechne das Endkapital bei Bank A, wobei in jedem Halbjahr $2,45\ \%$ angewendet werden.

1. b) Berechne das Endkapital bei Bank B.

1. c) Der effektive Jahreszins ist der tatsächliche jährliche Prozentsatz, den eine Geldanlage unter Berücksichtigung der Häufigkeit der Zinszahlungen erbringt. Wie hoch ist der effektive Jahreszins bei jedem Angebot? Welche Bank ist besser?

Entscheidungsaufgabe. Ines hat durch Jobben an den Wochenenden $900\ \text{€}$ gespart und möchte das Geld $3$ Jahre lang anlegen, um sich nach dem Abitur einen Computer zu kaufen. Vergleiche drei Möglichkeiten, wie in der Abbildung dargestellt:

• Möglichkeit 1: Jugendkonto mit $2\ \%$ Zinsen pro Jahr (einfache Verzinsung).

• Möglichkeit 2: Festgeld mit $1,8\ \%$ Zinsen pro Jahr (Zinseszins).

• Möglichkeit 3: Staatsanleihen mit $2,5\ \%$ Zinsen pro Jahr (Zinseszins), aber mit einer Strafgebühr von $15\ \text{€}$ bei Entnahme vor Ablauf von $3$ Jahren.

1. a) Berechne das Endkapital für jede Möglichkeit.

1. b) Wie viele Euro beträgt der Unterschied zwischen der besten und der schlechtesten Möglichkeit?

1. c) Ines glaubt, dass sie das Geld vielleicht schon vor Ablauf von $3$ Jahren für einen Sommerkurs braucht. Ändert das deine Empfehlung? Begründe deine Entscheidung.

Der Preis des Tagesmenüs in einem Stadtviertel ist der Inflation gefolgt: Er stieg 2023 um $6\ \%$, 2024 um $3,5\ \%$ und 2025 um $2\ \%$. 2022 kostete das Menü $11\ \text{€}$.

1. a) Berechne den Preis des Menüs am Ende jedes Jahres mithilfe von Wachstumsfaktoren.

1. b) Um wie viel Prozent ist das Menü in den drei Jahren insgesamt teurer geworden?

1. c) Die Gehälter der Beschäftigten im Viertel sind in diesem Zeitraum nur um $9\ \%$ gestiegen. Haben sie an Kaufkraft gewonnen oder verloren, wenn es darum geht, das Menü zu bezahlen? Begründe durch den Vergleich von Wachstumsfaktoren.

Eine landwirtschaftliche Genossenschaft nahm zur Erneuerung ihrer Maschinen einen Kredit über $8.000\ \text{€}$ auf, der nach $3$ Jahren auf einmal zurückzuzahlen ist, bei jährlichem Zinseszins. Nach Ablauf der $3$ Jahre begleicht die Genossenschaft die Schuld mit einer Zahlung von insgesamt $9.528,13\ \text{€}$ (Anfangskapital plus angesammelte Zinsen).

1. a) Stelle die Zinseszinsgleichung auf, in der der jährliche Wachstumsfaktor $I_v$ die einzige Unbekannte ist.
2. b) Löse nach $I_v$ auf, indem du die dritte Wurzel verwendest, und bestimme den jährlichen Nominalzinssatz $r\ \%$, den das Kreditinstitut angewendet hat (runde $r$ auf eine ganze Zahl).
3. c) Wären im Vertrag die Zinsen bei demselben Zinssatz $r\ \%$ monatlich statt jährlich abgerechnet worden, schreibe den vollständigen Term auf, mit dem sich der insgesamt zurückzuzahlende Betrag nach $36$ Monaten berechnen lässt. Begründe, ob die Genossenschaft bei monatlicher Verzinsung mehr oder weniger Geld zahlen würde als bei jährlicher.

In zwei aufeinanderfolgenden Jahren stiegen die Preise in Spanien laut Verbraucherpreisindex im ersten Jahr um $6\ \%$ und im zweiten Jahr um $4\ \%$. Im selben Zeitraum sah Ireens Tarifvertrag eine Gehaltserhöhung von $5\ \%$ im ersten Jahr und weitere $5\ \%$ im zweiten Jahr vor. Ireen behauptet: „Da $5 + 5 = 10\ \%$ ist und die Inflation ebenfalls $6 + 4 = 10\ \%$ ergibt, hat sich meine Kaufkraft überhaupt nicht verändert.“

1. a) Finde Ireens Fehler. Berechne den Wachstumsfaktor der Preise (Inflation) und den Wachstumsfaktor von Ireens Gehalt über die beiden Jahre.
2. b) Der Wachstumsfaktor der Kaufkraft ist definiert als Quotient aus dem Wachstumsfaktor des Gehalts und dem Wachstumsfaktor der Preise: $I_p = \frac{I_{\text{Gehalt}}}{I_{\text{Preise}}}$. Berechne diesen Wert auf vier Dezimalstellen und bestimme daraus, um wie viel Prozent Ireens Kaufkraft tatsächlich gestiegen oder gesunken ist.
3. c) Ireens Gehalt betrug zu Beginn der zwei Jahre $1.500\ \text{€}$. Berechne ihr Gehalt nach den zwei Jahren. Berechne anschließend, um wie viel Prozent dieses Endgehalt einmalig erhöht werden müsste, damit sie genau die Kaufkraft vom Anfang zurückerhält.

Themenprojekt. Stell dir vor, du organisierst die Finanzierung einer Schülerfirma und sollst in einer Tabellenkalkulation oder einem digitalen Dokument einen realistischen Finanzplan vorlegen.

1. Reale Daten und Veränderung: Suche auf der Website des Statistischen Bundesamts (Destatis) die aktuelle offizielle Inflationsrate (Verbraucherpreisindex) im Vergleich zum Vorjahr. Wende diese prozentuale Veränderung an, um ein Basisbudget von $1500$ € zu aktualisieren.

2. Direkte und indirekte Modellierung: Gib die Funktion der Transportkosten in Abhängigkeit von der Entfernung an ($y = 0,18x$). Stelle anschließend mit GeoGebra oder einer Tabellenkalkulation die antiproportionale Funktion der Kosten pro Mitglied bei der Miete eines Stands für $360$ € in Abhängigkeit von der Teilnehmerzahl dar ($y = 360/x$).

3. Verteilung und Zinsen: Verteile $450$ € Gewinn proportional zu den geleisteten Stunden dreier Mitglieder ($10$, $15$ und $25$ Stunden). Vergleiche dann in einer Tabelle das Endkapital, das man erhält, wenn man einen Fonds von $1000$ € $3$ Jahre lang zu $2,5$ % bei einfacher Verzinsung bzw. bei Zinseszins anlegt.

4. Abschlussvorschlag: Verfasse einen Bericht, in dem du begründest, welche Sparform sich mehr lohnt, und füge deine Tabellen und Diagramme bei.

Bewertet werden:

• mathematische Genauigkeit bei den Berechnungen von Prozenten, Verteilungen und Zinsen.

• fachliche Korrektheit bei der Modellierung und der grafischen Darstellung der Antiproportionalität.

• Sorgfalt bei der Einbindung der realen Daten von Destatis und Stimmigkeit der Schlussfolgerungen im Bericht.