Aufgaben: Bruchterme

Kürze den folgenden Bruchterm, indem du im Zähler und im Nenner ausklammerst: $\frac{4x^3 - 2x^2}{6x^2 - 2x}$

Prüfe durch Kreuzmultiplikation, ob die Bruchterme $\frac{x-3}{x+1}$ und $\frac{x^2-9}{x^2+4x+3}$ äquivalent sind.

Addiere die folgenden Bruchterme und vereinfache das Ergebnis: $\frac{3x+2}{x-2} + \frac{-x-6}{x-2}$

Multipliziere die folgenden Bruchterme und gib das Ergebnis so weit wie möglich vereinfacht an: $\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2}$

Dividiere die Bruchterme und vereinfache: $\frac{2x+2}{x-1} : \frac{4x+4}{x^2-1}$

Berechne den Wert des Bruchterms $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ für $x = -2$.

Vereinfache den folgenden Bruchterm mithilfe der binomischen Formeln: $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$

Führe die folgende Rechnung aus und vereinfache das Ergebnis: $\frac{x^2+5x}{x+3} - \frac{x^2-9}{x+3}$

Lea soll in einer Klassenarbeit den Bruchterm $\dfrac{x^2+4x}{x^2+6x+8}$ vereinfachen und schreibt Folgendes auf ihr Blatt:

1. a) Erkenne den grundlegenden Fehler, den Lea in ihrem ersten Schritt gemacht hat, und erkläre ausführlich, warum es mathematisch nicht zulässig ist, den Term $x^2$ zu streichen. Gib ein einfaches Zahlenbeispiel als Gegenbeispiel an (mit einem Bruch aus konkreten Zahlen und Summen), das zeigt, dass das Streichen von Summanden zu einem falschen Ergebnis führt.
2. b) Vereinfache korrekt, indem du Zähler und Nenner faktorisierst, und gib an, welche Werte von $x$ nicht zur Definitionsmenge des ursprünglichen Bruchterms gehören.

Finde einen Bruchterm $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, der gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1) Seine vollständig gekürzte Form ist $\dfrac{2}{x-5}$.

2) Die einzigen Werte, die nicht zur Definitionsmenge gehören (Definitionslücken), sind $x = 5$ und $x = -3$.

3) Die Polynome $P(x)$ und $Q(x)$ müssen in der Endantwort vollständig ausmultipliziert sein (keine angedeuteten Produkte und keine Faktoren in Klammern).

Erkläre Schritt für Schritt, wie du Zähler und Nenner aus den gegebenen Einschränkungen der Definitionsmenge hergeleitet hast.

Vereinfache den folgenden Bruchterm, indem du zuvor Zähler und Nenner faktorisierst: $\frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}$

Führe die folgenden Rechnungen aus, indem du auf den Hauptnenner bringst, und vereinfache das Ergebnis: $\frac{2}{x-1} + \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$

Die Grundseite einer rechteckigen Solarzelle misst $x+5$ Meter und ihre Höhe $x-5$ Meter. Die Seite einer quadratischen Solarzelle misst $x$ Meter. Schreibe den Bruchterm auf, der den Quotienten aus dem Flächeninhalt der rechteckigen und dem der quadratischen Solarzelle darstellt. Berechne den Wert dieses Bruchterms für $x = 10$ Meter.

Ein Warmwasserhahn braucht $x$ Stunden, um eine Badewanne zu füllen, der Kaltwasserhahn $x+3$ Stunden. Schreibe einen vereinfachten Bruchterm auf, der den Teil der Badewanne darstellt, der in einer Stunde gefüllt wird, wenn beide Hähne gleichzeitig geöffnet sind.

Führe die folgende kombinierte Rechnung mit Bruchtermen aus und vereinfache das Ergebnis: $\left( \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \right) : \frac{x-2}{x^2+2x}$

Die Gesamtkosten in Euro für die Herstellung von $x$ Fahrrädern werden durch das Polynom $C(x) = 3x^2 + 150x$ angegeben. Die Gesamteinnahmen in Euro aus dem Verkauf dieser $x$ Fahrräder werden durch das Polynom $I(x) = 5x^2 + 200x$ ausgedrückt. Schreibe den vollständig gekürzten Bruchterm auf, der das Verhältnis von Einnahmen zu Kosten darstellt.

Führe die folgende Subtraktion von Bruchtermen aus und vereinfache so weit wie möglich: $\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$

Ein Zug legt eine Strecke von $120$ km mit einer konstanten Geschwindigkeit von $v$ km/h zurück. Auf der Rückfahrt verringert sich seine Geschwindigkeit wegen Regens um $10$ km/h. Schreibe den Bruchterm auf, der die Gesamtfahrzeit für Hin- und Rückfahrt in Abhängigkeit von $v$ darstellt, und fasse ihn zu einem einzigen Bruch zusammen.

Um die Differenz $\dfrac{x}{x^2-9} - \dfrac{1}{2x+6}$ zu berechnen und zu vereinfachen, schlagen zwei Schüler der Klasse 10 unterschiedliche Strategien vor:

• Mats schlägt vor, die beiden Nenner direkt miteinander zu multiplizieren, um einen gemeinsamen Nenner zu erhalten: $(x^2-9) \cdot (2x+6) = 2x^3+6x^2-18x-54$.

• Mia schlägt vor, zuerst jeden Nenner zu faktorisieren, was $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ und $2x+6 = 2(x+3)$ ergibt, und daraus das kleinste gemeinsame Vielfache ($\text{kgV}$) zu bestimmen.

1. a) Vergleiche beide Vorgehensweisen und begründe, welche von beiden vorzuziehen ist, um den Rechenaufwand zu minimieren und unnötig hohe Polynomgrade zu vermeiden.
2. b) Führe die Rechnung mit der günstigeren Methode durch, vereinfache das Ergebnis zu einem vollständig gekürzten Bruch und gib an, welche Werte von $x$ aus dem Term ausgeschlossen werden müssen.

Betrachte den Term $F(x) = \dfrac{3x^2 - 5x}{x^2 - 1} - 3$.

1. a) Schätze: Überlege dir, bevor du mit Stift und Papier rechnest, im Kopf, was passiert, wenn die Variable $x$ einen sehr großen positiven Wert annimmt (zum Beispiel $x = 100\,000$). Welchem Wert nähert sich der Quotient $\dfrac{3x^2-5x}{x^2-1}$, wenn man die Terme niedrigeren Grades vernachlässigt? Schätze ausgehend davon begründet, welchem Wert sich $F(x)$ für sehr große Zahlen nähert und ob du erwartest, dass das Ergebnis geringfügig positiv oder geringfügig negativ ist.
2. b) Überprüfe: Bringe die Differenz auf den Hauptnenner, führe die Rechnungen im Zähler aus und vereinfache $F(x)$ zu einem einzigen vollständig gekürzten Bruchterm.
3. c) Setze $x = 100$ in den in Teilaufgabe b) erhaltenen vereinfachten Bruch ein, berechne seinen Dezimalwert und begründe, ob er deine Schätzung aus Teilaufgabe a) bestätigt.

Führe die folgende Rechnung aus und vereinfache so weit wie möglich: $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \left( \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x} \right)$

Bestimme den Wert des Parameters $k$ so, dass sich der Bruchterm $\frac{x^2 - kx + 10}{x-5}$ kürzen lässt (also der Zähler durch den Nenner teilbar ist). Schreibe, nachdem du $k$ bestimmt hast, den vereinfachten Term auf.

Bestimme das Polynom $P(x)$, für das die folgende Gleichheit von Bruchtermen wahr ist: $\frac{x^2-9}{P(x)} = \frac{x-3}{x^2+2x}$

Aus einem rechteckigen Pappstück mit den Maßen $x+6$ und $x+4$ Zentimeter soll eine oben offene Schachtel gebaut werden, indem man an den vier Ecken Quadrate mit der Seitenlänge $2$ cm ausschneidet und die Seitenteile hochfaltet. Schreibe den vollständig gekürzten Bruchterm auf, der das Verhältnis des Volumens der Schachtel zum Flächeninhalt ihrer Grundfläche darstellt.

Zeige durch Umformen und Vereinfachen der Bruchterme, dass der folgende Term gleich $2ab$ ist: $\frac{a^3-b^3}{a-b} - \frac{a^3+b^3}{a+b}$

In einem Chemielabor werden $x$ Liter einer Lösung A, die $\frac{20}{x}$ Euro pro Liter kostet, mit $x+4$ Litern einer Lösung B, die $\frac{30}{x+4}$ Euro pro Liter kostet, gemischt. Schreibe den Bruchterm auf, der den Preis pro Liter der entstandenen Lösung darstellt, und vereinfache den Term so weit wie möglich.

Vereinfache den folgenden Term in Form eines „Doppelbruchs“: $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}$

Eine Läuferin läuft auf einer Rundbahn. In der ersten Hälfte der Strecke läuft sie mit einer Geschwindigkeit von $v$ m/s, in der zweiten Hälfte mit einer Geschwindigkeit von $v-2$ m/s. Die Durchschnittsgeschwindigkeit der gesamten Strecke berechnet sich als Gesamtweg geteilt durch Gesamtzeit. Zeige mithilfe von Bruchtermen, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit $\frac{2v(v-2)}{2v-2}$ m/s beträgt.

Ein Regionalzug legt eine Hin- und Rückfahrt zwischen zwei Städten zurück, die durch eine Strecke der Länge $120\text{ km}$ verbunden sind. Auf der Hinfahrt fährt er mit einer konstanten Geschwindigkeit $v$ (in $\text{km/h}$), auf der Rückfahrt mit einer höheren Geschwindigkeit von $(v + 20)\text{ km/h}$.

1. a) Die Zeit berechnet sich als Quotient aus Strecke und Geschwindigkeit. Schreibe den Bruchterm auf, der die Gesamtzeit der Hin- und Rückfahrt $T(v)$ darstellt, indem du die Zeiten beider Fahrten über das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer Nenner addierst.
2. b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit der gesamten Fahrt ist definiert als die insgesamt zurückgelegte Strecke geteilt durch die insgesamt benötigte Zeit: $V_m(v) = \dfrac{240}{T(v)}$. Vereinfache diesen Doppelbruch und zeige, dass sich die Durchschnittsgeschwindigkeit als $V_m(v) = \dfrac{v(v+20)}{v+10}$ ausdrücken lässt.
3. c) Ein Reisender behauptet: „Da wir auf der Hinfahrt mit $v$ und auf der Rückfahrt mit $v+20$ gefahren sind, ist die Durchschnittsgeschwindigkeit der gesamten Fahrt genau das gewöhnliche arithmetische Mittel: $\dfrac{v + (v+20)}{2} = v + 10$.“ Zeige algebraisch, indem du die Differenz $V_m(v) - (v+10)$ zu einem einzigen vollständig gekürzten Bruch zusammenfasst, dass diese Behauptung falsch ist, und leite her, ob die tatsächliche Durchschnittsgeschwindigkeit für jede Geschwindigkeit $v > 0$ immer echt größer oder echt kleiner als dieses arithmetische Mittel ist.

Emilia löst an der Tafel die folgende kombinierte Rechnung:

In ihrem Heft hat sie folgende Schritte notiert:

• Schritt 1: Subtrahiere innerhalb der Klammer: $\dfrac{x(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x^2-x+2}{x^2-1}$.

• Schritt 2: Wandle die Division in eine Multiplikation um, indem du den zweiten Bruch umkehrst: $\dfrac{x^2-x+2}{x^2-1} \cdot \dfrac{x^2-1}{x^2+x-2}$.

• Schritt 3: Kürze den Block $(x^2-1)$, der im Zähler und im Nenner steht: $\dfrac{x^2-x+2}{x^2+x-2}$.

• Schritt 4: Kürze $x^2$ mit $x^2$, dividiere $\dfrac{-x}{x} = -1$ und $\dfrac{2}{-2} = -1$ und folgert, dass das Endergebnis $1$ ist.

• Schritt 5: Sie behauptet, der Term lasse sich für jede reelle Zahl außer $x = 1$ und $x = -1$ auswerten.

1. a) Emilia hat zwei schwerwiegende Fehler gemacht: einen algebraischen in Schritt 4 und einen bei der Untersuchung der Definitionsmenge in Schritt 5 (bezogen auf die Division von Brüchen). Erkläre, worin jeder Fehler besteht und warum er ihre Argumentation ungültig macht.
2. b) Löse die Aufgabe ab Schritt 3 korrekt, indem du die Polynome faktorisierst, wo es möglich ist, und bestimme die vollständige Liste aller Werte von $x$, für die der ursprüngliche Term mathematisch nicht definiert ist.