Aufgaben: Kongruenzsätze

Zwei Dreiecke $ABC$ und $DEF$ stimmen in den Seitenlängen $a = d = 5$ cm, $b = e = 6$ cm und $c = f = 7$ cm überein. Nenne den Kongruenzsatz, mit dem du die Kongruenz der Dreiecke begründen kannst.

Von zwei Dreiecken $ABC$ und $PQR$ ist bekannt: $c = 8$ cm $= r$, $\alpha = 50^\circ = \varphi$ und $\beta = 70^\circ = \psi$, wobei $\alpha, \beta$ die Winkel bei $A, B$ und $\varphi, \psi$ die Winkel bei $P, Q$ sind. Die Seite $c$ liegt zwischen $A$ und $B$, die Seite $r$ zwischen $P$ und $Q$.

Nenne den Kongruenzsatz, der hier anwendbar ist.

Ein Dreieck hat die Seiten $a = 4$ cm und $b = 6$ cm und den eingeschlossenen Winkel $\gamma = 40^\circ$. Ein zweites Dreieck hat ebenfalls zwei Seiten $4$ cm und $6$ cm und den von ihnen eingeschlossenen Winkel $40^\circ$. Sind die Dreiecke kongruent? Begründe mit einem Kongruenzsatz.

Gegeben sind die Dreiecke $ABC$ mit $a = 5$ cm, $b = 7$ cm, $\alpha = 40^\circ$ und $DEF$ mit $d = 5$ cm, $e = 7$ cm, $\delta = 40^\circ$.

1. a) Erkläre, warum man nicht ohne Weiteres den Satz SsW anwenden kann (Hinweis zur Lage der Winkel: $\alpha$ liegt gegenüber von $a$).
2. b) Welcher Seite muss der gegebene Winkel gegenüberliegen, damit SsW gilt? Prüfe, ob diese Bedingung hier erfüllt ist.

In einem Dreieck $ABC$ sind $\alpha = 55^\circ$ und $\beta = 65^\circ$ gegeben.

1. a) Berechne $\gamma$.
2. b) Ein zweites Dreieck $DEF$ hat die Winkel $\delta = 55^\circ$, $\varepsilon = 65^\circ$. Muss es zu $ABC$ kongruent sein? Begründe.
3. c) Welche zusätzliche Angabe würde die Kongruenz sichern?

Ein Landvermesser möchte die Entfernung zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ an gegenüberliegenden Ufern der Ruhr bestimmen. Er steckt eine Standlinie $AC$ mit $|AC| = 60$ m am Ufer ab und misst $\angle BAC = 70^\circ$ und $\angle ACB = 50^\circ$. Auf seinem Papierplan zeichnet er das Dreieck im Maßstab $1:1000$.

1. a) Welchen Kongruenz- bzw. Konstruktionssatz nutzt er?
2. b) Wie lang ist die Strecke $AC$ im Plan?
3. c) Begründe, warum das Plandreieck eindeutig ist.

Beweise: Ein Dreieck, in dem zwei Winkel gleich groß sind, ist gleichschenklig. Verwende dazu die Kongruenzsätze und die Höhe (oder die Winkelhalbierende) durch die dritte Ecke.

Im Viereck $ABCD$ gilt $|AB| = |CD|$ und $|BC| = |AD|$.

1. a) Zeige mithilfe der Diagonale $AC$, dass $\angle ABC = \angle CDA$ gilt.
2. b) Begründe, dass auch $\angle BAD = \angle DCB$ gilt (Diagonale $BD$).

Zwei Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ stimmen in $a = a' = 6$ cm, $b = b' = 9$ cm und in den Winkeln $\alpha = \alpha' = 30^\circ$ überein (Winkel $\alpha$ liegt gegenüber $a$).

1. a) Begründe, dass die Dreiecke dennoch nicht kongruent sein müssen, indem du die Konstruktion beschreibst und zeigst, dass es zwei verschiedene Dreiecke gibt.
2. b) Begründe, warum die Angaben $a = 9$ cm, $b = 6$ cm, $\alpha = 30^\circ$ (mit $\alpha$ gegenüber $a$) das Dreieck eindeutig festlegen.