Aufgaben: Dreieckskonstruktionen

Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $a = 5$ cm, $b = 6$ cm und $c = 7$ cm. Beschreibe die einzelnen Konstruktionsschritte.

Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $c = 6$ cm, $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 60^\circ$. Beschreibe die Konstruktionsschritte.

Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $b = 5$ cm, $c = 7$ cm und $\alpha = 55^\circ$. Beschreibe die Konstruktionsschritte.

Prüfe, ob sich ein Dreieck mit den folgenden Seitenlängen konstruieren lässt, und begründe mit der Dreiecksungleichung:

1. a) $3$ cm, $4$ cm, $8$ cm
2. b) $5$ cm, $5$ cm, $9$ cm
3. c) $4$ cm, $6$ cm, $10$ cm

Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $c = 7$ cm, $a = 5$ cm und $\gamma = 40^\circ$ (Winkel gegenüber $c$, $c$ ist die größere Seite). Beschreibe die Konstruktion und gib an, ob das Dreieck eindeutig ist.

Ein dreieckiges Grundstück in Köln hat die Seiten $|AB| = 40$ m, $|AC| = 30$ m und den Winkel $\angle BAC = 70^\circ$. Es soll im Maßstab $1:500$ gezeichnet werden.

1. a) Gib die Seitenlängen $|AB|$ und $|AC|$ in der Zeichnung an.
2. b) Beschreibe die Konstruktion.
3. c) Bestimme durch Messung in deiner Zeichnung näherungsweise die reale Länge von $|BC|$.

Es soll ein Dreieck $ABC$ mit $b = 8$ cm, $a = 5$ cm und $\alpha = 30^\circ$ ($\alpha$ liegt gegenüber $a$) konstruiert werden.

1. a) Beschreibe die Konstruktion und zeige, dass es zwei nicht kongruente Lösungen gibt.
2. b) Für welche Werte von $a$ (bei $b = 8$ cm, $\alpha = 30^\circ$) gibt es genau eine, zwei bzw. keine Lösung? Begründe mit der Höhe $h$ von $C$ auf die Seite $c$.

Untersuche, ob es ein Dreieck gibt mit

1. a) $\alpha = 80^\circ$, $\beta = 70^\circ$, $\gamma = 40^\circ$ und $c = 5$ cm,
2. b) $\alpha = 80^\circ$, $\beta = 70^\circ$, $c = 5$ cm,
3. c) $\alpha = 100^\circ$, $\beta = 85^\circ$, $c = 5$ cm.

Begründe jeweils die Lösbarkeit bzw. Eindeutigkeit.

Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck $ABC$ mit der Basis $c = 6$ cm und der Höhe $h_c = 4$ cm.

1. a) Beschreibe die Konstruktion.
2. b) Berechne die Länge der Schenkel.
3. c) Begründe, dass durch $c$ und $h_c$ das gleichschenklige Dreieck eindeutig bestimmt ist, und gib an, welcher Kongruenzsatz dies sichert.