Aufgaben: Geradengleichung in der Punkt-Steigungs-Form

Stelle die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungs-Form auf, die durch den Punkt $A(3|-2)$ verläuft und die Steigung $m = 4$ hat.

Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung $y - 5 = -2(x + 1)$. Gib einen Punkt an, durch den sie genau verläuft, und den Wert ihrer Steigung. Forme anschließend die Gleichung um, sodass sie in der Normalform $y = mx + b$ dasteht.

Berechne die Steigung der Geraden durch die Punkte $P(-1|4)$ und $Q(2|10)$ und stelle ihre Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form auf, indem du die Koordinaten des Punktes $P$ verwendest.

Betrachte die im Koordinatensystem dargestellte Gerade. Bestimme ihre Steigung und einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten, durch den sie genau verläuft, und stelle ihre Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form auf.

Stelle die Gleichung der zu $y = 3x - 7$ parallelen Geraden durch den Punkt $B(-4|1)$ in der Punkt-Steigungs-Form auf.

Eine Gerade hat die Punkt-Steigungs-Gleichung $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 6)$. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt $C(8|-2)$ auf dieser Geraden liegt.

Bestimme die Gleichung der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten in der Punkt-Steigungs-Form, wobei du den Koordinatenursprung als Bezugspunkt nimmst.

Der Wasserstand eines Stausees steigt gleichmäßig um $15$ cm pro Tag. Wenn der Pegel am Messtag $10$ bei $420$ cm lag, stelle die Punkt-Steigungs-Gleichung auf, die den Wasserstand $y$ der Anzahl der vergangenen Tage $x$ zuordnet.

Um die Gleichung einer barrierefreien Rampe zu bestimmen, die im Punkt $A(-3|1)$ beginnt und ein Gefälle von $5\,\%$ ($m = -0,05$) hat, schreibt David in sein Heft:

1. a) Bestimme die beiden Denkfehler, die David beim Einsetzen der Koordinaten des Punktes in die Punkt-Steigungs-Formel $y - y_1 = m(x - x_1)$ gemacht hat.
2. b) Gib die richtige Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form an.
3. c) Forme die Gleichung in die explizite Form ($y = mx + b$) um und überprüfe rechnerisch, dass die Koordinaten des Startpunkts $A(-3|1)$ die Gleichung erfüllen.

Im städtischen Taxidienst von Dortmund (Tagestarif an Werktagen) berechnet das Taxameter einen festen Preis pro gefahrenem Kilometer von $m = 1,10$ €/km. Am Ende einer Fahrt von $9$ km vom Marktplatz zu einem Gewerbegebiet zeigt das Taxameter einen Gesamtbetrag von $13,05$ € an.

1. a) Bestimme die unabhängige ($x$) und die abhängige Variable ($y$) und gib ihre Einheiten an. Gib die Daten der Fahrt als bekannten Punkt $P(x_1|y_1)$ und als Steigung $m$ an.
2. b) Stelle die Gleichung, die die Gesamtkosten der Fahrt modelliert, in der Punkt-Steigungs-Form auf.
3. c) Forme die Gleichung in ihre explizite Form ($y = mx + b$) um und deute die wirtschaftliche Bedeutung des y-Achsenabschnitts $b$ im Taxidienst.

Ein Klimatechniker notiert, dass die Raumtemperatur nach $2$ Stunden nach dem Einschalten einer Industrieanlage $18^\circ$C beträgt und nach $5$ Stunden $10,5^\circ$C. Nimm an, dass die Temperatur linear sinkt, und stelle die Punkt-Steigungs-Gleichung auf, die die Temperatur $y$ in Abhängigkeit von der Zeit $x$ angibt.

Bestimme die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungs-Form, die senkrecht zu $y = -\frac{1}{3}x + 5$ ist und durch den Schnittpunkt der Geraden $y = 2x - 1$ und $y = x + 3$ verläuft.

Ein Transporter-Verleih verlangt einen festen Betrag plus einen konstanten Preis pro gefahrenem Kilometer. Für eine Fahrt von $50$ km werden $65$ € berechnet und für eine Fahrt von $120$ km $107$ €. Bestimme die Steigung der Kostenfunktion und stelle ihre Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form auf.

Gegeben ist die Gerade $y - k = 3(x + 2)$. Bestimme den Wert des Parameters $k$ so, dass die Gerade genau durch den Punkt $A(1|4)$ verläuft.

Stelle die Gleichung der Mittelsenkrechten der Strecke mit den Endpunkten $A(-2|5)$ und $B(4|1)$ in der Punkt-Steigungs-Form auf. Denke daran: Die Mittelsenkrechte ist die Gerade, die senkrecht zur Strecke durch deren Mittelpunkt verläuft.

Ein Radfahrer hält bei seinem Training eine konstante Geschwindigkeit. In Minute $15$ seiner Fahrt befindet er sich bei Kilometermarke $6$ der Straße, und in Minute $40$ erreicht er Kilometer $16$. Gib die Position des Radfahrers in der Punkt-Steigungs-Form an und berechne, bei welchem Kilometer er sich in Minute $60$ befindet.

Stelle die Punkt-Steigungs-Gleichung der Geraden auf, die die x-Achse in $x = -3$ und die y-Achse in $y = 6$ schneidet. Gib das Ergebnis ausschließlich mit dem Schnittpunkt mit der x-Achse als Bezugspunkt an.

Bestimme die Gleichung der zu $2x - 5y + 10 = 0$ parallelen Geraden in der Punkt-Steigungs-Form, die durch den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten $P(-1|-4)$ und $Q(7|2)$ verläuft.

An einem sonnigen Frühlingstag in Bonn misst die Wetterstation des DWD um 14:00 Uhr eine Temperatur von $22,4^\circ$C in einer Höhe von $680$ m. Nach dem üblichen vertikalen Temperaturgradienten in der Troposphäre sinkt die Temperatur linear mit konstanter Rate von $0,65^\circ$C je $100$ m Höhengewinn (also mit der Steigung $m = -0,0065^\circ$C/m). Eine Wandergruppe steigt zu einer Berghütte auf, die in $2500$ m Höhe liegt.

1. a) Schätze im Kopf, bevor du rechnest: Der Aufstieg beträgt etwa $1800$ m, und die Temperatur sinkt um etwa $0,65^\circ$C je $100$ m. Erwartest du, dass die Temperatur an der Hütte bei etwa $20^\circ$C, $10^\circ$C oder $0^\circ$C liegt? Begründe deine Schätzung kurz.
2. b) Nimm den Bezugspunkt $A(680; 22,4)$ und stelle die Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form auf, die die Temperatur $y$ (in $^\circ$C) in Abhängigkeit von der Höhe $x$ (in Metern) angibt.
3. c) Berechne mit der Gleichung die genaue Temperatur in $2500$ m Höhe und vergleiche das Ergebnis mit deiner ursprünglichen Schätzung, um zu beurteilen, ob sie sinnvoll war.

Im Bebauungsplan eines Logistikgebiets muss eine geradlinige Erschließungsstraße senkrecht zur Hauptstraße verlaufen, die die Punkte $A(1|2)$ und $B(5|4)$ verbindet. Außerdem muss die Nebenstraße zwei weitere technische Bedingungen erfüllen: Sie muss durch einen Zufahrtspunkt $P(3|y_1)$ verlaufen und die x-Achse ($y = 0$) in einem Punkt mit der x-Koordinate $x \ge 4$ schneiden.

1. a) Bestimme die Steigung $m_{AB}$ der Hauptstraße und die genaue Steigung $m$, die die senkrechte Erschließungsstraße haben muss.
2. b) Stelle die Gleichung der Erschließungsstraße in der Punkt-Steigungs-Form auf, wobei du die y-Koordinate $y_1$ des Punktes $P$ als Unbekannte beibehältst.
3. c) Leite algebraisch her, welche Werte die Koordinate $y_1$ annehmen kann, damit der Schnittpunkt mit der x-Achse die Bedingung $x \ge 4$ erfüllt. Wähle einen passenden konkreten Wert von $y_1$ und stelle die endgültige Punkt-Steigungs-Gleichung der Straße auf.

Eine Zugangsrampe muss zur Einhaltung der Vorschriften für barrierefreies Bauen eine Steigung von genau $8\%$ haben. Die Rampe beginnt ebenerdig im Punkt $A(0|0)$ und muss einen Höhenunterschied bis zu einer Plattform im Punkt $B(x_0|1,2)$ überwinden (Koordinaten in Metern). Stelle die Gleichung der Rampengeraden in der Punkt-Steigungs-Form auf und bestimme die x-Koordinate $x_0$.

Bestimme im Dreieck mit den Eckpunkten $A(-2|-1)$, $B(4|1)$ und $C(1|5)$ die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungs-Form, die die Höhe zur Ecke $C$ enthält.

Gegeben sind die Geraden $r_1: y - 2 = a(x + 1)$ und $r_2: y - b = 3(x - 2)$. Bestimme rechnerisch die Werte der Parameter $a$ und $b$, sodass beide Terme identische Geraden darstellen.

Ein lineares Angebotsmodell besagt, dass bei einem Preis von $10$ € $1000$ Einheiten eines Produkts angeboten werden und dass das Angebot mit jedem Euro Preiserhöhung um $150$ Einheiten steigt. Die Nachfrage nach demselben Produkt ist durch die Punkt-Steigungs-Gleichung $y - 1200 = -100(x - 15)$ gegeben, wobei $y$ die Menge in Einheiten und $x$ der Preis in Euro ist. Stelle die Punkt-Steigungs-Gleichung des Angebots auf und bestimme den Gleichgewichtspunkt des Marktes (Preis und Menge).

Ein Laserstrahl geht vom Punkt $P(-4|5)$ aus, trifft auf einen ebenen Spiegel, der genau auf der x-Achse liegt, und wird so reflektiert, dass er durch den Punkt $Q(6|3)$ verläuft. Stelle die Gleichung der Geraden, die den reflektierten Strahl beschreibt, in der Punkt-Steigungs-Form auf.

Stelle die Punkt-Steigungs-Gleichung der Geraden durch die Punkte $(a|0)$ und $(0|b)$ auf (mit $a \neq 0$ und $b \neq 0$). Forme sie anschließend algebraisch Schritt für Schritt um, bis du die Achsenabschnittsgleichung der Geraden $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ erhältst.

Bestimme die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungs-Form, die mit der positiven x-Achse einen Winkel von $135^\circ$ bildet und die zusammen mit den Koordinatenachsen ein Dreieck mit dem Flächeninhalt $8\text{ u}^2$ festlegt, das vollständig im ersten Quadranten liegt.

Ein Industrietank enthält anfangs $500$ Liter einer flüssigen chemischen Verbindung. Ein Ventil wird geöffnet, das den Tank mit konstanter Geschwindigkeit leert. Die Gleichung, die das Volumen $V$ (in Litern) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten) modelliert, lässt sich in der Punkt-Steigungs-Form als $V - 200 = m(t - 15)$ schreiben. Berechne die Steigung $m$ und bestimme, wie lange es dauert, bis der Tank vollständig leer ist.

In einem Wasserversorgungsnetz soll eine Nebenleitung senkrecht zur Hauptleitung verlegt werden, die durch die Punkte $A(1|3)$ und $B(7|6)$ verläuft. Die neue Leitung muss zwingend an einem Kontrollschacht in $C(3|8)$ beginnen. Zwei Ingenieure erwägen zwei Methoden, um ihre Gleichung zu erhalten:

• Methode 1 (Punkt-Steigungs-Gleichung): Berechne die Steigung $m_1$ der Hauptleitung, leite die senkrechte Steigung $m_2 = -1/m_1$ her und setze die Koordinaten des Schachts $C(3|8)$ direkt in die Formel $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ ein.

• Methode 2 (Bestimmung des y-Achsenabschnitts): Berechne $m_2$, schreibe die theoretische explizite Form $y = m_2 x + b$ auf, setze $x = 3$ und $y = 8$ ein, um eine lineare Gleichung in $b$ aufzustellen und zu lösen, und rekonstruiere die endgültige Gleichung.

1. a) Wende beide Methoden Schritt für Schritt an und überprüfe, dass beide in der expliziten Form genau zur selben Gleichung führen.
2. b) Wenn sich der Schacht während der Bauarbeiten um $2$ Meter nach Norden verschiebt (und dann in $C'(3|10)$ liegt), die senkrechte Steigung aber gleich bleibt, begründe, welche der beiden Methoden es erlaubt, das mathematische Modell flexibler und direkter anzupassen.
3. c) Bei einer Routinekontrolle wird eine unerlaubte Anzapfung im Punkt $D(5|4)$ entdeckt. Begründe rechnerisch, ob diese Anzapfung an die berechnete Nebenleitung angeschlossen ist oder nicht.

Auf der ICE-Schnellfahrstrecke Berlin–Köln fährt ein ICE auf freier Strecke mit konstanter Reisegeschwindigkeit. Das Telemetriesystem zeichnet auf, dass der Zug um 12:15 Uhr ($x_1 = 15$ Minuten seit 12:00 Uhr) bei Kilometer $65$ der Strecke ($y_1 = 65$ km) vorbeifährt und um 12:45 Uhr ($x_2 = 45$ Minuten) den Streckenkilometer $185$ ($y_2 = 185$ km) passiert.

1. a) Stelle die Gleichung in der Punkt-Steigungs-Form auf, die die Streckenposition $y$ in Abhängigkeit von der vergangenen Zeit $x$ (in Minuten ab 12:00 Uhr) modelliert, wobei du die erste Telemetrie-Aufzeichnung als Bezugspunkt nimmst.
2. b) Deute die physikalische Bedeutung der Steigung $m$ des Modells: Berechne ihren Wert in km/min, wandle sie in km/h um, indem du mit $60$ multiplizierst, und beurteile, ob das eine plausible Geschwindigkeit im Hinblick auf die zulässige Höchstgeschwindigkeit des ICE ($300$ km/h) ist.
3. c) Forme die Gleichung in die explizite Form ($y = mx + b$) um und berechne den Wert von $y$ für $x = 0$ (um 12:00 Uhr). Erkläre, warum dieser mathematische Wert nicht die tatsächliche Position des Zuges im Startbahnhof beschreibt und was das für den Gültigkeitsbereich eines linearen Modells bedeutet.
4. d) Der Zielbahnhof Köln Hbf liegt bei Streckenkilometer $385$. Berechne, um wie viel Uhr der Zug ankommt, wenn er diese Reisegeschwindigkeit bis zur Einfahrt ununterbrochen beibehält.

Herausforderung des Themas. Wie viel zahlst du wirklich für Strom? Analysiere die Stromrechnung deiner Familie.

1. Datenerhebung: Nimm eine echte Stromrechnung deines Haushalts (oder suche den Grundpreis und den durchschnittlichen Preis pro $kWh$ auf der Website der Bundesnetzagentur). Bestimme die Fixkosten in Euro ($b$) und den variablen Preis für jedes verbrauchte $kWh$ ($m$, die Steigung). Begründe, ob es sich um eine affine, lineare oder konstante Funktion handelt.

2. Modellierung in der Punkt-Steigungs-Form: Nimm den tatsächlichen Monatsverbrauch, um einen Arbeitspunkt $P(x_0|y_0)$ festzulegen, wobei $x_0$ die verbrauchten $kWh$ und $y_0$ die sich ergebenden Gesamtkosten sind. Stelle die Geradengleichung in der Punkt-Steigungs-Form auf: $y - y_0 = m(x - x_0)$. Nutze sie, um die Rechnung vorherzusagen, falls ihr bei euch zu Hause den Verbrauch um $20\,\%$ senken könnt.

3. Darstellung und Bericht: Gib die Funktion in GeoGebra oder in eine Tabellenkalkulation ein, um den Graphen zu zeichnen. Verfasse einen kurzen Bericht (eine Seite), in dem du die tatsächliche Bedeutung der Steigung erklärst und zwei begründete Maßnahmen vorschlägst, um die Rechnung zu senken.

Bewertet werden:

• korrekte Bestimmung der realen Daten ($m$ und $b$) und Einordnung des Funktionstyps.

• angemessene Anwendung der Punkt-Steigungs-Form und Richtigkeit der Rechnungen.

• Geschick bei der digitalen grafischen Darstellung (GeoGebra oder Tabellenkalkulation) und Verwendung der Einheiten (€ und $kWh$).

• Klarheit und Realitätsnähe der Schlussfolgerungen und Vorschläge im Bericht.