Resolución de triángulos rectángulos
¿Cómo se puede saber la altura de la Torre Entel en Santiago sin subir a la cima ni llevar una huincha de 100 metros? Con un ángulo medido desde el piso y una distancia. El triángulo rectángulo es la herramienta básica de toda medida indirecta de alturas, distancias y pendientes.
Resolver un triángulo rectángulo
«Resolver» un triángulo es calcular todos sus lados y todos sus ángulos. En un triángulo rectángulo el ángulo recto ya lo tienes: te hacen falta dos datos más (dos lados, o un lado y un ángulo agudo).
Recuerda las razones del ángulo agudo $\alpha$: $\sin\alpha=\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$, $\cos\alpha=\dfrac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$ y $\tan\alpha=\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$.
Un triángulo rectángulo tiene catetos que miden $5$ cm y $12$ cm. Calcula la longitud de la hipotenusa y la medida en grados de sus dos ángulos agudos.
Un triángulo rectángulo tiene catetos que miden $5$ cm y $12$ cm. Calcula la longitud de la hipotenusa y la medida en grados de sus dos ángulos agudos.
Los puntos $A(0,0)$, $B(8,0)$ y $C(8,6)$ forman un triángulo rectángulo en el plano cartesiano. Calcula las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del ángulo…
Los puntos $A(0,0)$, $B(8,0)$ y $C(8,6)$ forman un triángulo rectángulo en el plano cartesiano. Calcula las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del ángulo situado en el vértice $A$.
Una escalera de $4$ m de longitud está apoyada contra un muro vertical. Si la base de la escalera se encuentra a $1,2$ m de la pared, determina el ángulo que forma la…
Una escalera de $4$ m de longitud está apoyada contra un muro vertical. Si la base de la escalera se encuentra a $1,2$ m de la pared, determina el ángulo que forma la escalera con el suelo horizontal y la altura que alcanza su extremo superior sobre el muro.
Un lado y un ángulo: pantallas, escaleras y triángulos isósceles
Cuando conoces la hipotenusa y un ángulo, los catetos salen con seno y coseno. Por ejemplo, una escalera apoyada en una pared forma un triángulo rectángulo: la escalera es la hipotenusa, la pared y el suelo son los catetos.
En un rombo, las diagonales se cortan en ángulo recto en su punto medio: cada cuarto del rombo es un triángulo rectángulo con catetos iguales a las semidiagonales.
En una pantalla de computador de formato rectangular, la diagonal mide $60$ cm y forma un ángulo de $29^\circ$ con la base inferior del marco. Calcula el ancho y la…
En una pantalla de computador de formato rectangular, la diagonal mide $60$ cm y forma un ángulo de $29^\circ$ con la base inferior del marco. Calcula el ancho y la altura de la pantalla.
Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales que miden $14$ cm cada uno, y el ángulo desigual (el comprendido entre ellos) mide $40^\circ$. Trazando la altura…
Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales que miden $14$ cm cada uno, y el ángulo desigual (el comprendido entre ellos) mide $40^\circ$. Trazando la altura correspondiente a la base para dividirlo en dos triángulos rectángulos, calcula la longitud de dicha base.
Las diagonales de un rombo miden $24$ cm y $10$ cm. Sabiendo que las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente en su punto medio, calcula la medida de los…
Las diagonales de un rombo miden $24$ cm y $10$ cm. Sabiendo que las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente en su punto medio, calcula la medida de los lados del rombo y la amplitud de sus cuatro ángulos interiores.
Alturas inaccesibles: ángulo de elevación
El ángulo de elevación es el que forma con la horizontal la visual hacia un punto alto. Es la forma clásica de medir una altura sin subir a ella.
Un obelisco proyecta una sombra de $15$ m de largo en el suelo horizontal en el momento en que los rayos del sol forman un ángulo de $42^\circ$ con la horizontal.…
Un obelisco proyecta una sombra de $15$ m de largo en el suelo horizontal en el momento en que los rayos del sol forman un ángulo de $42^\circ$ con la horizontal. Calcula la altura del obelisco.
Un niño vuela una cometa que está sujeta por un hilo de $45$ m de longitud, el cual se mantiene completamente tenso. Si el hilo forma un ángulo de $55^\circ$ con el…
Un niño vuela una cometa que está sujeta por un hilo de $45$ m de longitud, el cual se mantiene completamente tenso. Si el hilo forma un ángulo de $55^\circ$ con el suelo horizontal, ¿a qué altura se encuentra la cometa? (Asume que el niño sostiene el hilo a ras de suelo).
Una rampa recta de acceso para sillas de ruedas tiene una longitud de $6$ m y salva un desnivel vertical de $0,45$ m. Determina el ángulo de inclinación de la rampa…
Una rampa recta de acceso para sillas de ruedas tiene una longitud de $6$ m y salva un desnivel vertical de $0,45$ m. Determina el ángulo de inclinación de la rampa respecto a la horizontal.
Ángulo de depresión
Mirando hacia abajo desde un punto alto, el ángulo entre la visual y la horizontal es el ángulo de depresión. Por ángulos alternos internos entre paralelas, es igual al ángulo de elevación visto desde el punto bajo.
Desde la linterna de un faro, situada a $45$ m sobre el nivel del mar, se observan dos barcos que navegan alineados con la base del faro. El ángulo de depresión bajo el…
Desde la linterna de un faro, situada a $45$ m sobre el nivel del mar, se observan dos barcos que navegan alineados con la base del faro. El ángulo de depresión bajo el cual se ve el barco más cercano es de $34^\circ$, y el del barco más lejano es de $18^\circ$. Calcula la distancia exacta que separa a ambos barcos.
Dos chimeneas industriales verticales de $20$ m y $35$ m de altura están construidas sobre un terreno llano. Desde el punto medio del segmento rectilíneo que une sus…
Dos chimeneas industriales verticales de $20$ m y $35$ m de altura están construidas sobre un terreno llano. Desde el punto medio del segmento rectilíneo que une sus bases, se observa la cima de la primera chimenea con un ángulo de elevación de $35^\circ$. ¿Con qué ángulo de elevación se observará la cima de la segunda chimenea desde ese mismo punto medio?
Dos ángulos desde un mismo punto
Si desde un mismo punto miras la base y la cima de un objeto que está sobre un edificio, no necesitas un sistema: cada visual forma un solo triángulo rectángulo.
Cuando los dos ángulos se miden desde el mismo punto (a la base y a la cima de un objeto sobre un edificio), no hay sistema: la altura del edificio es $d\cdot\tan\alpha_1$, la altura total es $d\cdot\tan\alpha_2$, y el objeto mide la diferencia.
Desde un punto en el suelo se observa la barquilla de un aerogenerador con un ángulo de elevación de $32^\circ$. Al avanzar $25$ m en línea recta hacia la base del…
Desde un punto en el suelo se observa la barquilla de un aerogenerador con un ángulo de elevación de $32^\circ$. Al avanzar $25$ m en línea recta hacia la base del poste, el nuevo ángulo de elevación es de $50^\circ$. Plantea un sistema de ecuaciones trigonométricas y calcula la altura del aerogenerador.
Dos observadores, $A$ y $B$, se encuentran separados por una distancia de $300$ m en una llanura horizontal. Ambos miran hacia un dron estático que se encuentra…
Dos observadores, $A$ y $B$, se encuentran separados por una distancia de $300$ m en una llanura horizontal. Ambos miran hacia un dron estático que se encuentra exactamente en el plano vertical que pasa por la línea recta que los une, y situado espacialmente entre ellos. El observador $A$ ve el dron con un ángulo de elevación de $60^\circ$ y el observador $B$ lo ve con un ángulo de $45^\circ$. Calcula la altura exacta a la que vuela el dron, expresando el resultado con radicales.
Un poste vertical proyecta una sombra en un terreno llano. En un momento de la mañana, cuando la elevación del sol es de $\alpha = 30^\circ$, la sombra mide $L$ metros.…
Un poste vertical proyecta una sombra en un terreno llano. En un momento de la mañana, cuando la elevación del sol es de $\alpha = 30^\circ$, la sombra mide $L$ metros. Un par de horas más tarde, cuando la elevación del sol ha aumentado a $\beta = 45^\circ$, se comprueba que la sombra se ha acortado exactamente $10$ metros. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula la altura exacta del poste expresada con radicales.
Sobre la azotea plana de un edificio se encuentra instalada una antena de telecomunicaciones. Desde un punto en el suelo, situado a $45$ m de la base del edificio, un…
Sobre la azotea plana de un edificio se encuentra instalada una antena de telecomunicaciones. Desde un punto en el suelo, situado a $45$ m de la base del edificio, un topógrafo observa la base de la antena con un ángulo de elevación de $38^\circ$ y la punta superior de la antena con un ángulo de elevación de $46^\circ$. Calcula la altura del edificio y la longitud exacta de la antena.
Pendientes, tangentes y circunferencias
Rampas, rombos y tangentes a una circunferencia desde un punto exterior se resuelven buscando triángulos rectángulos dentro de la figura: radios perpendiculares a tangentes, diagonales de rombos que se cortan en ángulo recto, alturas de triángulos isósceles.
Cuando dos circunferencias se cortan, la cuerda común es perpendicular a la recta que une los centros y esa recta la corta en su punto medio. Eso da dos triángulos rectángulos, uno por cada circunferencia.
Una señal de tráfico advierte de una pendiente prolongada del $15\%$. Esto indica que por cada $100$ m que se avanza en la proyección horizontal, se ascienden $15$ m en…
Una señal de tráfico advierte de una pendiente prolongada del $15\%$. Esto indica que por cada $100$ m que se avanza en la proyección horizontal, se ascienden $15$ m en la vertical. Calcula el ángulo de inclinación de la carretera y la distancia real que recorrerá un vehículo sobre el asfalto si avanza $600$ m en la proyección horizontal.
Desde un punto $P$ exterior a una circunferencia de radio $8$ cm se trazan las dos rectas tangentes a la misma. Si la distancia desde el punto $P$ hasta el centro de la…
Desde un punto $P$ exterior a una circunferencia de radio $8$ cm se trazan las dos rectas tangentes a la misma. Si la distancia desde el punto $P$ hasta el centro de la circunferencia es de $17$ cm, calcula el ángulo total que forman entre sí las dos rectas tangentes.
Un panel solar rectangular de $2,5$ m de largo está inclinado $35^\circ$ respecto a la horizontal de una cubierta plana. Calcula la longitud de la sombra que proyecta el…
Un panel solar rectangular de $2,5$ m de largo está inclinado $35^\circ$ respecto a la horizontal de una cubierta plana. Calcula la longitud de la sombra que proyecta el panel sobre la cubierta cuando los rayos del sol inciden de forma completamente perpendicular al plano de la cubierta.
Dos circunferencias secantes tienen radios de $10$ cm y $17$ cm. La longitud de la cuerda común a ambas circunferencias es de $16$ cm y los centros quedan a lados…
Dos circunferencias secantes tienen radios de $10$ cm y $17$ cm. La longitud de la cuerda común a ambas circunferencias es de $16$ cm y los centros quedan a lados opuestos de dicha cuerda. Calcula la distancia que separa los centros de las dos circunferencias y determina el ángulo que forman entre sí sus respectivas rectas tangentes en uno de los puntos de intersección.
Problemas avanzados y rumbos
Los problemas difíciles combinan lo anterior con álgebra: una ecuación cuadrática, un sistema, o una demostración con las definiciones de seno y coseno. La estrategia no cambia: dibuja, marca los triángulos rectángulos, escribe una razón por triángulo y resuelve.
En navegación y aviación, la dirección se da como rumbo, el ángulo medido desde el Norte. Con las trayectorias se arma un triángulo rectángulo con los catetos en las direcciones Norte-Sur y Este-Oeste.
En un triángulo rectángulo, la longitud de un cateto es $x$ cm, la del otro cateto es $(x+7)$ cm y la hipotenusa mide $(x+14)$ cm. Plantea y resuelve la ecuación…
En un triángulo rectángulo, la longitud de un cateto es $x$ cm, la del otro cateto es $(x+7)$ cm y la hipotenusa mide $(x+14)$ cm. Plantea y resuelve la ecuación correspondiente para determinar el valor de $x$. A continuación, calcula el valor exacto (en forma de fracción irreducible) del seno y el coseno del ángulo de menor amplitud del triángulo.
Se desea construir una rampa recta para salvar un desnivel vertical de altura $h$. Si el ángulo de inclinación de la rampa respecto a la horizontal es $\alpha$,…
Se desea construir una rampa recta para salvar un desnivel vertical de altura $h$. Si el ángulo de inclinación de la rampa respecto a la horizontal es $\alpha$, demuestra utilizando las definiciones de las razones trigonométricas que la suma de la longitud de la base de la rampa (su proyección horizontal) más la longitud de la rampa misma es igual a $h \cdot \frac{1 + \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.
Un guardacostas detecta que un barco $A$ navega en línea recta hacia el Este a una velocidad constante de $20$ nudos, y un barco $B$ navega hacia el Norte a $15$ nudos.…
Un guardacostas detecta que un barco $A$ navega en línea recta hacia el Este a una velocidad constante de $20$ nudos, y un barco $B$ navega hacia el Norte a $15$ nudos. En un instante determinado ($t=0$), ambos barcos se encuentran exactamente en el mismo punto, donde se cruzan sus trayectorias. ¿Bajo qué ángulo respecto a la dirección Norte observará el capitán del barco $A$ al barco $B$ exactamente $2$ horas después de haberse cruzado?
Resumen
Vuelve al principio: la altura de la Torre Entel se obtiene midiendo la distancia a su base y el ángulo de elevación, y aplicando $h=d\cdot\tan\alpha$.