Definiciones de probabilidad
Cuando el pronóstico dice «30 % de probabilidad de lluvia en Santiago mañana», ¿qué significa ese número y cómo se calcula? Hasta ahora has usado la probabilidad de forma intuitiva: «casos favorables sobre casos posibles». Pero esa regla solo funciona si todos los resultados son igual de probables. ¿Por qué entonces $P(\overline{A}) = 1-P(A)$ o $P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ funcionan siempre, incluso con una moneda cargada? En 1933 Andréi Kolmogórov armó toda la teoría con solo tres reglas de partida (los axiomas). Todo lo demás, incluida la regla de Laplace, se deduce de ellas.
La probabilidad como función: los axiomas
Sean $A$ y $B$ dos eventos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ y $P(A \cup B) = 0,7$. Justifica matemáticamente si los eventos $A$ y…
Sean $A$ y $B$ dos eventos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ y $P(A \cup B) = 0,7$. Justifica matemáticamente si los eventos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles basándote en los axiomas de la probabilidad.
Álgebra de eventos
Un evento es un subconjunto del espacio muestral $E$, así que se opera con él como con conjuntos. Repasemos cómo se traduce el lenguaje cotidiano.
| Lenguaje | Notación |
|---|---|
| ocurre $A$ o $B$ (al menos uno) | $A \cup B$ |
| ocurren $A$ y $B$ | $A \cap B$ |
| no ocurre $A$ | $\overline{A}$ |
| ocurre $A$ pero no $B$ | $A - B = A \cap \overline{B}$ |
| no ocurre ninguno | $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ |
| ocurre exactamente uno | $(A - B) \cup (B - A)$ |
Se lanza un dado dodecaédrico (12 caras) perfectamente equilibrado, con sus caras numeradas del 1 al 12. Se anota el resultado de la cara superior. Define por extensión…
Se lanza un dado dodecaédrico (12 caras) perfectamente equilibrado, con sus caras numeradas del 1 al 12. Se anota el resultado de la cara superior. Define por extensión el espacio muestral $E$ y los siguientes eventos:
-
$A$: "Obtener un número múltiplo de 3".
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$B$: "Obtener un número primo".
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$C$: "Obtener un número mayor que 10".
En un experimento aleatorio, el espacio muestral es $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Dados los eventos $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ y $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$,…
En un experimento aleatorio, el espacio muestral es $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Dados los eventos $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ y $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, determina por extensión los siguientes eventos resultantes de operar con ellos:
-
$A \cup B$
-
$A \cap B$
-
$A - B$
-
$\overline{A} \cap B$
En un centro meteorológico se define el evento $L$: "Que llueva mañana" y el evento $V$: "Que haga viento mañana". Expresa en lenguaje cotidiano el significado de los…
En un centro meteorológico se define el evento $L$: "Que llueva mañana" y el evento $V$: "Que haga viento mañana". Expresa en lenguaje cotidiano el significado de los siguientes eventos algebraicos:
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$\overline{L} \cap \overline{V}$
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$L \cup V$
-
$V - L$
En un estudio clínico sobre una nueva cepa viral, se observa a un grupo de pacientes. Se definen los eventos $F$: "El paciente presenta fiebre" y $T$: "El paciente…
En un estudio clínico sobre una nueva cepa viral, se observa a un grupo de pacientes. Se definen los eventos $F$: "El paciente presenta fiebre" y $T$: "El paciente presenta tos". Expresa en notación de conjuntos (intersecciones, uniones, complementos) los siguientes eventos descritos en lenguaje natural:
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El paciente presenta al menos uno de los dos síntomas.
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El paciente presenta fiebre pero no tos.
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El paciente no presenta ninguno de los dos síntomas.
-
El paciente presenta exactamente un síntoma.
En el diseño de un circuito lógico, la activación de un relé depende de los eventos $A$ y $B$ según la expresión booleana que define el evento $K$:…
En el diseño de un circuito lógico, la activación de un relé depende de los eventos $A$ y $B$ según la expresión booleana que define el evento $K$: $K = (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})$.
Simplifica analíticamente la expresión del evento $K$ utilizando las propiedades del álgebra de eventos. Posteriormente, calcula $P(K)$ sabiendo que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cup B) = 0,8$.
La regla de Laplace: un caso particular
La regla de Laplace no es una ley aparte: es la forma que toma $P$ cuando los $n$ resultados de $E$ son equiprobables.
De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Utilizando la regla de Laplace, calcula la probabilidad de los siguientes eventos elementales y…
De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Utilizando la regla de Laplace, calcula la probabilidad de los siguientes eventos elementales y compuestos:
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$A$: "Extraer un caballo".
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$B$: "Extraer una carta de copas".
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$C$: "Extraer una figura de oros" (las figuras son sota, caballo y rey).
Se dispone de una urna opaca que contiene 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas verdes, todas idénticas al tacto. Si se extrae una bola al azar, calcula la…
Se dispone de una urna opaca que contiene 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas verdes, todas idénticas al tacto. Si se extrae una bola al azar, calcula la probabilidad de:
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Obtener una bola azul.
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No obtener una bola roja.
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Obtener una bola que sea roja o verde.
Se lanzan simultáneamente dos dados cúbicos equilibrados, uno rojo y otro azul. Apoyándote en el espacio muestral bidimensional, calcula la probabilidad de que: La suma…
Se lanzan simultáneamente dos dados cúbicos equilibrados, uno rojo y otro azul. Apoyándote en el espacio muestral bidimensional, calcula la probabilidad de que:
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La suma de las puntuaciones sea exactamente 8.
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El valor absoluto de la diferencia entre las puntuaciones sea 2.
En una urna hay $n$ bolas blancas y 6 bolas negras. Se extrae una bola al azar. Si se sabe que la probabilidad de extraer una bola blanca es $\frac{3}{5}$, plantea una…
En una urna hay $n$ bolas blancas y 6 bolas negras. Se extrae una bola al azar. Si se sabe que la probabilidad de extraer una bola blanca es $\frac{3}{5}$, plantea una ecuación para averiguar el valor de $n$ y determina el número total de bolas en la urna.
Eventos elementales con probabilidades no iguales
Si los resultados no son equiprobables, se asigna una probabilidad a cada evento elemental, y por los axiomas 1 y 2 deben ser $\geq 0$ y sumar $1$. La probabilidad de un evento es la suma de las de sus elementos.
Un juego consiste en lanzar una moneda equilibrada repetidamente hasta que salga la primera "Cara" ($C$), con un límite máximo de 3 lanzamientos (si en el tercer…
Un juego consiste en lanzar una moneda equilibrada repetidamente hasta que salga la primera "Cara" ($C$), con un límite máximo de 3 lanzamientos (si en el tercer lanzamiento sale "Cruz" ($X$), el juego termina de todos modos).
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Escribe el espacio muestral $E$ de este experimento.
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Asigna la probabilidad correspondiente a cada evento elemental justificando tu respuesta.
Propiedades que se deducen de los axiomas
Ninguna de estas reglas es un axioma nuevo: se demuestran con los tres axiomas, por eso valen siempre, haya equiprobabilidad o no.
En una fábrica de componentes electrónicos, se sabe que la probabilidad de que un chip tenga un defecto de soldadura es $0,05$, la probabilidad de que tenga un defecto…
En una fábrica de componentes electrónicos, se sabe que la probabilidad de que un chip tenga un defecto de soldadura es $0,05$, la probabilidad de que tenga un defecto en el encapsulado es $0,03$, y la probabilidad de que presente ambos defectos simultáneamente es $0,01$. Calcula la probabilidad de que un chip elegido al azar presente al menos uno de los dos defectos.
En una empresa de desarrollo de software, la probabilidad de que un programa tenga un error en la interfaz de usuario (evento $U$) es $0,45$. La probabilidad de que…
En una empresa de desarrollo de software, la probabilidad de que un programa tenga un error en la interfaz de usuario (evento $U$) es $0,45$. La probabilidad de que tenga un error en la base de datos (evento $D$) es $0,30$. Si la probabilidad de que tenga un error en la interfaz pero no en la base de datos es $0,25$, calcula la probabilidad de que el programa no tenga ningún error.
Un analista financiero evalúa dos fondos de inversión, $A$ y $B$. Determina que la probabilidad de que el fondo $A$ sea rentable es el doble de la probabilidad de que lo…
Un analista financiero evalúa dos fondos de inversión, $A$ y $B$. Determina que la probabilidad de que el fondo $A$ sea rentable es el doble de la probabilidad de que lo sea el fondo $B$. Además, sabe que la probabilidad de que al menos uno sea rentable es $0,85$ y la probabilidad de que ambos lo sean es $0,20$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula la probabilidad de que el fondo $A$ sea rentable.
Diagramas de Venn con áreas proporcionales
Un diagrama de Venn puede dibujarse de modo que el área de cada región sea proporcional a su probabilidad: todo $E$ tiene área $1$. Es una forma visual de controlar las cuentas.
Observa el siguiente diagrama de Venn que representa un espacio muestral $E$ y dos eventos $A$ y $B$. Sabiendo que el área de cada región es proporcional a su…
Observa el siguiente diagrama de Venn que representa un espacio muestral $E$ y dos eventos $A$ y $B$. Sabiendo que el área de cada región es proporcional a su probabilidad, expresa en notación de conjuntos la región sombreada en color verde y calcula su probabilidad si $P(A) = 0,55$, $P(B) = 0,40$ y $P(A \cap B) = 0,15$.
En un instituto, el $60\%$ de los alumnos de 1º de Bachillerato cursa la asignatura de Física, el $50\%$ cursa Dibujo Técnico y un $20\%$ no cursa ninguna de las dos. Si…
En un instituto, el $60\%$ de los alumnos de 1º de Bachillerato cursa la asignatura de Física, el $50\%$ cursa Dibujo Técnico y un $20\%$ no cursa ninguna de las dos. Si se elige un alumno al azar, determina las siguientes probabilidades utilizando las propiedades axiomáticas y las Leyes de De Morgan:
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Que curse ambas asignaturas.
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Que curse Física pero no Dibujo Técnico.
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Que curse exactamente una de las dos asignaturas.
Cotas de la probabilidad sin conocer la intersección
Cuando falta información, los axiomas igual permiten acotar: ninguna probabilidad puede ser negativa ni superar $1$.
En un control de calidad se aplican dos pruebas a una remesa de productos. Se sabe que la probabilidad de pasar la prueba $A$ es $P(A) = 0,85$ y la probabilidad de pasar…
En un control de calidad se aplican dos pruebas a una remesa de productos. Se sabe que la probabilidad de pasar la prueba $A$ es $P(A) = 0,85$ y la probabilidad de pasar la prueba $B$ es $P(B) = 0,75$. Sin conocer la probabilidad de la intersección, determina algebraicamente el valor máximo y el valor mínimo que puede tomar la probabilidad de que un producto pase ambas pruebas, $P(A \cap B)$.
Probabilidad condicional
En un curso de 40 estudiantes de un liceo de Concepción, 25 llegan en micro y 15 a pie. La tabla muestra cuántos son mujeres y cuántos hombres en cada grupo.
| Micro | A pie | Total | |
|---|---|---|---|
| Mujeres | 12 | 8 | 20 |
| Hombres | 13 | 7 | 20 |
| Total | 25 | 15 | 40 |
Si sabes que el estudiante elegido llegó en micro, ya no miras los 40 estudiantes, sino solo los 25 de la micro. Ahí hay 12 mujeres: la probabilidad es $\frac{12}{25}=0{,}48$.
Se dispone de una urna opaca que contiene 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas verdes, todas idénticas al tacto. Si se extrae una bola al azar, calcula la…
Se dispone de una urna opaca que contiene 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas verdes, todas idénticas al tacto. Si se extrae una bola al azar, calcula la probabilidad de:
-
Obtener una bola azul.
-
No obtener una bola roja.
-
Obtener una bola que sea roja o verde.
Conteo y probabilidad
Cuando los casos son muchos, la regla de Laplace se combina con técnicas de conteo (variaciones, permutaciones, combinaciones).
En un sistema de ciberseguridad, un usuario debe crear un PIN numérico de 4 dígitos (del 0 al 9). Si el sistema genera un PIN aleatorio, calcula la probabilidad de que…
En un sistema de ciberseguridad, un usuario debe crear un PIN numérico de 4 dígitos (del 0 al 9). Si el sistema genera un PIN aleatorio, calcula la probabilidad de que el PIN contenga exactamente dos dígitos iguales (por ejemplo, 1213 o 9904, pero no 2225 ni 1122). Utiliza la regla de Laplace y técnicas de combinatoria.
Estimar probabilidades con frecuencias
Si no sabemos si un mecanismo es equilibrado, repetimos el experimento en condiciones iguales y estimamos $P(A)$ con la frecuencia relativa $f_n(A)=n_A/n$.
Con la urna de 5 bolas rojas y 5 azules, extrae con devolución y registra la frecuencia de rojas a los 20, 200 y 2000 ensayos; compárala con $P(\text{roja})=0{,}5$ y repite la experiencia.
Resumen
Vuelve al principio: la regla «favorables sobre posibles» es solo un caso; las fórmulas generales, y también la probabilidad condicional, salen de los tres axiomas. Por eso el «30 % de lluvia» de un pronóstico es un número entre 0 y 1 que cumple las mismas reglas, aunque no salga de contar casos igual de probables.