Inecuaciones cuadráticas
Vicente patea un tiro libre en la cancha del liceo y la pelota describe una parábola. Le preguntan: ¿durante cuánto tiempo la pelota estuvo por encima de los 3 metros? Para contestarlo no alcanza con despejar: hay que estudiar el signo de una expresión cuadrática. Eso es una inecuación de segundo grado, y al final de la página vas a poder resolver esa pregunta.
El método: raíces y signos
Casos incompletos
Si falta el término $c$, factoriza con factor común: $2x^2-8x\le0 \Rightarrow 2x(x-4)\le0$, con raíces $0$ y $4$. Si falta el término $b$, despeja con cuidado: $3x^2-27<0 \Rightarrow 3(x-3)(x+3)<0$, con raíces $\pm3$.
Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado y expresa la solución en forma de intervalo: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado y expresa la solución en forma de intervalo:
$x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación: $-x^2 + 4x + 5 > 0$
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación:
$-x^2 + 4x + 5 > 0$
Resuelve la inecuación incompleta: $2x^2 - 8x \le 0$
Resuelve la inecuación incompleta:
$2x^2 - 8x \le 0$
Determina los valores de $x$ que verifican la siguiente desigualdad: $3x^2 - 27 < 0$
Determina los valores de $x$ que verifican la siguiente desigualdad:
$3x^2 - 27 < 0$
Sin dos raíces: discriminante negativo o cero
No siempre hay dos raíces distintas. Si el discriminante es negativo, la parábola no corta al eje $x$: el signo es siempre el de $a$. Si el discriminante es cero, hay una raíz doble y el signo es el mismo a ambos lados.
Halla el conjunto solución de la inecuación: $x^2 + 6x + 9 \le 0$
Halla el conjunto solución de la inecuación:
$x^2 + 6x + 9 \le 0$
Indica el conjunto solución de la inecuación, razonando tu respuesta: $x^2 - 2x + 5 > 0$
Indica el conjunto solución de la inecuación, razonando tu respuesta:
$x^2 - 2x + 5 > 0$
Determina para qué valores de $x$ se cumple la siguiente desigualdad: $4x^2 - 12x + 9 > 0$
Determina para qué valores de $x$ se cumple la siguiente desigualdad:
$4x^2 - 12x + 9 > 0$
Sistemas de inecuaciones y gráficos
Un sistema de inecuaciones se resuelve así: resuelves cada inecuación por separado y después haces la intersección de las soluciones, porque tienen que cumplirse todas a la vez.
También se puede leer la solución de un gráfico: $f(x)\le0$ se cumple donde la parábola está por debajo del eje $x$ o sobre él, y $f(x) Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita: $x^2 - 4 \le 0$ $x^2 - x \ge 0$ A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, determina visualmente el conjunto de soluciones de la inecuación $f(x) \le 0$. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y da la solución final en forma de intervalo: $x^2 - 3x - 10 < 0$ $2x + 5 \ge 1$Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita: $x^2 - 4 \le 0$ $x^2 - x \ge 0$
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, determina visualmente el conjunto de soluciones de la inecuación $f(x) \le 0$.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y da la solución final en forma de intervalo: $x^2 - 3x - 10 < 0$ $2x + 5 \ge 1$
Problemas con parábolas
Muchas situaciones se modelan con una función cuadrática: la altura de un proyectil, la ganancia de un negocio, el área de un terreno. La pregunta "¿cuándo supera tal valor?" es una inecuación. Recuerda que en los problemas la variable suele tener restricciones (tiempo o longitudes positivas).
La altura $h$ en metros de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$.…
La altura $h$ en metros de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Plantea y resuelve la inecuación correspondiente para determinar durante qué intervalo de tiempo el proyectil se encuentra a una altura estrictamente superior a $17$ metros.
La ganancia diaria de una empresa, expresada en cientos de pesos, al fabricar $x$ unidades de un producto se modela mediante la función cuadrática…
La ganancia diaria de una empresa, expresada en cientos de pesos, al fabricar $x$ unidades de un producto se modela mediante la función cuadrática $B(x) = -500x^2 + 40\,000x - 350\,000$. ¿Cuántas unidades debe fabricar diariamente para no tener pérdidas? Expresa el resultado en forma de intervalo.
Se dispone de una cuerda de $40$ metros para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro ya existente como uno de los lados. Si $x$ es la longitud de los lados…
Se dispone de una cuerda de $40$ metros para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro ya existente como uno de los lados. Si $x$ es la longitud de los lados perpendiculares al muro, ¿para qué valores de $x$ el área cercada será de al menos $150 \text{ m}^2$? Ten en cuenta que las dimensiones del huerto deben ser positivas.
El área de la zona central rectangular de una pista deportiva debe ser estrictamente menor que $800 \text{ m}^2$. Si el largo de la pista es el doble de su ancho $x$ más…
El área de la zona central rectangular de una pista deportiva debe ser estrictamente menor que $800 \text{ m}^2$. Si el largo de la pista es el doble de su ancho $x$ más $10$ metros, plantea la inecuación correspondiente y deduce qué valores puede tomar el ancho de la pista.
La población de cierta especie invasora en un lago, medida en miles de individuos, sigue el modelo $P(t) = -0,2t^2 + 3,2t + 4$, donde $t$ es el tiempo en meses desde que…
La población de cierta especie invasora en un lago, medida en miles de individuos, sigue el modelo $P(t) = -0,2t^2 + 3,2t + 4$, donde $t$ es el tiempo en meses desde que se detectó la invasión. Las autoridades deciden intervenir cuando la población supera los $14.000$ individuos. Sin embargo, el tratamiento ecológico solo es efectivo si se puede aplicar durante al menos $3$ meses consecutivos en los que la población se mantenga por encima de ese umbral. Plantea la inecuación y determina si será posible aplicar el tratamiento con éxito según este modelo.
Se quiere construir una bandeja sin tapa a partir de una lámina rectangular de aluminio de $30 \times 20 \text{ cm}$, recortando cuadrados idénticos de lado $x$ en las…
Se quiere construir una bandeja sin tapa a partir de una lámina rectangular de aluminio de $30 \times 20 \text{ cm}$, recortando cuadrados idénticos de lado $x$ en las cuatro esquinas y doblando las pestañas resultantes hacia arriba. Si por requisitos de diseño se necesita que el área de la base de la bandeja sea de al menos $200 \text{ cm}^2$, plantea y resuelve la inecuación correspondiente para hallar el intervalo de posibles valores de $x$.
El cable principal de suspensión de un puente adopta la forma de una parábola. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, la altura $y$ (en metros)…
El cable principal de suspensión de un puente adopta la forma de una parábola. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, la altura $y$ (en metros) del cable respecto a la calzada a una distancia horizontal $x$ (en metros) del centro viene dada por la función $y = 0,005x^2 + 2$. Por razones de seguridad aeronáutica, se deben instalar luces de gálibo en los tramos del cable cuya altura respecto a la calzada esté comprendida entre $10 \text{ m}$ y $22 \text{ m}$. Plantea el sistema de inecuaciones y calcula en qué intervalos de distancia horizontal desde el centro se instalarán estas luces.
Reducir primero y dominios de funciones
A veces la inecuación viene sin ordenar. Desarrolla, pasa todo a un miembro y reduce a la forma $ax^2+bx+c \gtrless 0$. Por ejemplo, en $(2x-1)^2-(x+3)(x-3)<5x+14$ queda $4x^2-4x+1-x^2+9<5x+14$, es decir $3x^2-9x-4<0$.
Las inecuaciones cuadráticas también dan el dominio de una función:
-
$\sqrt{p(x)}$ exige $p(x)\ge0$.
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$\dfrac{1}{\sqrt{p(x)}}$ exige $p(x)>0$ (el radicando no puede ser $0$ porque está en el denominador).
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Si hay varias condiciones, el dominio es la intersección de todas.
Resuelve la siguiente inecuación operando previamente para reducirla a su forma general y expresa el resultado en forma de intervalo:…
Resuelve la siguiente inecuación operando previamente para reducirla a su forma general y expresa el resultado en forma de intervalo:
$(2x - 1)^2 - (x + 3)(x - 3) < 5x + 14$
Halla el dominio de definición de la siguiente función real de variable real: $f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$
Halla el dominio de definición de la siguiente función real de variable real:
$f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$
Halla el dominio de definición de la siguiente función, que combina restricciones de radicandos y denominadores: $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$
Halla el dominio de definición de la siguiente función, que combina restricciones de radicandos y denominadores:
$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$
Casos más avanzados
Con un parámetro
A veces se pide para qué valores de un parámetro la inecuación se cumple para todo $x$ real.
Bicuadradas y valor absoluto
Una bicuadrada como $x^4-13x^2+36\le0$ se resuelve con $t=x^2$: $t^2-13t+36\le0$ da $4\le t\le9$ (raíces $4$ y $9$). Entonces $4\le x^2\le9$, y volvemos a $x$: $x^2\ge4$ y $x^2\le9$, que da $[-3, -2]\cup[2, 3]$.
Una desigualdad $|A|\le k$ equivale a $-k\le A\le k$, que es un sistema de dos inecuaciones. Para $|x^2-4x|\le5$: $x^2-4x\le5$ y $x^2-4x\ge-5$. La segunda tiene $\Delta<0$, se cumple siempre; la primera da $[-1, 5]$. Solución: $[-1, 5]$.
Determina para qué valores del parámetro $m$ la inecuación cuadrática $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ se verifica para cualquier número real $x$.
Determina para qué valores del parámetro $m$ la inecuación cuadrática $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ se verifica para cualquier número real $x$.
Resuelve la siguiente inecuación bicuadrada mediante un cambio de variable y expresa la solución final como unión de intervalos: $x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$
Resuelve la siguiente inecuación bicuadrada mediante un cambio de variable y expresa la solución final como unión de intervalos:
$x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$
Resuelve la inecuación con valor absoluto transformándola previamente en un sistema de inecuaciones de segundo grado: $|x^2 - 4x| \le 5$
Resuelve la inecuación con valor absoluto transformándola previamente en un sistema de inecuaciones de segundo grado:
$|x^2 - 4x| \le 5$
Dadas las funciones cuadráticas $f(x) = x^2 - 2x - 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 5$, determina analíticamente en qué intervalo de la recta real se cumple que $f(x) < g(x)$.…
Dadas las funciones cuadráticas $f(x) = x^2 - 2x - 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 5$, determina analíticamente en qué intervalo de la recta real se cumple que $f(x) < g(x)$. Basándote en la gráfica adjunta que representa ambas funciones y el área comprendida entre ellas, comprueba la coherencia de tu resultado.