Ecuación cuadrática
En la feria de ciencias del liceo, Sofía lanza un cohete de agua hacia arriba. Su compañero Benjamín quiere saber en qué momentos el cohete pasa por los 17 metros de altura, y la respuesta tiene dos valores. ¿Por qué dos? Al final del apartado vas a poder contestarlo. Antes, repasamos la herramienta que lo resuelve: la ecuación cuadrática. Ya la conoces de II medio. Aquí la vas a usar para los ceros de funciones, para analizar el discriminante con soluciones en $\mathbb{C}$ (cuando $\Delta<0$) y para reducir ecuaciones más complicadas.
Forma general y fórmula resolvente
Mueve los deslizadores y mira dónde la parábola corta al eje $x$: esos cortes son las soluciones de la ecuación.
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general: $x^2 - 7x + 10 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Incompletas: resolver sin la fórmula
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común: $3x^2 - 12x = 0$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común:
$3x^2 - 12x = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita: $2x^2 - 18 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:
$2x^2 - 18 = 0$
El discriminante: cuántas soluciones hay
Sin llegar a resolver la ecuación, determina el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante: $5x^2 - 3x + 2 = 0$
Sin llegar a resolver la ecuación, determina el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante:
$5x^2 - 3x + 2 = 0$
Determina el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.
Determina el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.
Suma y producto de las raíces
Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcula la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.
Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcula la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.
En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcula el valor del parámetro…
En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcula el valor del parámetro $m$ y halla la otra solución.
Parámetros y cambio de variable
Hay dos situaciones frecuentes. Una es una ecuación con una letra extra (un parámetro, como $m$ o $k$) de la que hay que decir cuántas soluciones tiene. La otra es una ecuación de aspecto complicado que, con un cambio de variable, se reduce a una cuadrática.
Discute el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.
Discute el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.
Resuelve la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:…
Resuelve la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:
$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$
Problemas con ecuaciones cuadráticas
Volvemos al cohete de Sofía. La altura es $h(t)=-5t^2+20t+2$, con $h$ en metros y $t$ en segundos. Fíjate en el gráfico: la altura de 17 m se alcanza dos veces, una al subir y otra al bajar.
En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en metros respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos,…
En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en metros respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos, viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina en qué instante o instantes el cohete se encuentra exactamente a $17$ metros de altura.
Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin…
Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin contar la fotografía) es de $216 \text{ cm}^2$, plantea una ecuación y halla el ancho del marco.
El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantea una ecuación de segundo grado y resuelve para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de…
El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantea una ecuación de segundo grado y resuelve para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de una pareja posible?
Problemas que se reducen a ecuación cuadrática
A veces el planteo no sale directamente como cuadrática, pero con un poco de álgebra termina siéndolo. Pasa con repartos y con figuras semejantes.
En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus…
En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus vértices sobre la hipotenusa. Si el área del rectángulo debe ser exactamente de $12 \text{ cm}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y halla las dimensiones posibles del rectángulo.
Un grupo de amigos decide arrendar un velero para el fin de semana por un costo total de $360\,000$ pesos, que acuerdan pagar en partes iguales. En el último momento,…
Un grupo de amigos decide arrendar un velero para el fin de semana por un costo total de $360\,000$ pesos, que acuerdan pagar en partes iguales. En el último momento, dos de los amigos no pueden asistir, lo que obliga al resto del grupo a pagar $9\,000$ pesos más cada uno para cubrir el costo total. Plantea una ecuación que se reduzca a segundo grado para determinar cuántos amigos conformaban el grupo original.