Para la feria científica de su liceo en Concepción, Isidora cultiva bacterias y tiene que hallar en qué momento la población llega a cierto valor. La ecuación que le sale es $4^x - 5\cdot 2^x + 4 = 0$. No es lineal ni cuadrática... ¿o sí? En este apartado vas a ver que muchas ecuaciones "raras" se reducen, con un cambio de variable o una propiedad, a algo que ya sabes resolver. La clave está en reconocer qué truco toca en cada caso.
Ecuaciones bicuadradas
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Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada encontrando todas sus soluciones reales: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada encontrando todas sus soluciones reales:
La diagonal de un rectángulo mide $10$ cm y su área es de $48\text{ cm}^2$. Plantea una ecuación bicuadrada para hallar la longitud de sus lados y resuélvela.
La diagonal de un rectángulo mide $10$ cm y su área es de $48\text{ cm}^2$. Plantea una ecuación bicuadrada para hallar la longitud de sus lados y resuélvela.
Son las que tienen la incógnita en el denominador. El método: fíjate para qué valores se anula algún denominador (esos están prohibidos), multiplica toda la ecuación por el denominador común y resuelve la ecuación polinómica que queda. Al final, descarta las soluciones prohibidas.
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Halla el valor de $x$ que verifica la siguiente ecuación con la incógnita en el denominador: $\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$
Halla el valor de $x$ que verifica la siguiente ecuación con la incógnita en el denominador:
Dos mangueras llenan un depósito en $6$ horas trabajando juntas. Si la primera manguera tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el depósito por sí sola, ¿cuánto…
Dos mangueras llenan un depósito en $6$ horas trabajando juntas. Si la primera manguera tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el depósito por sí sola, ¿cuánto tarda cada una? Plantea y resuelve la ecuación racional correspondiente.
Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60$ km, a una velocidad constante. En el viaje de vuelta, debido al viento en contra, su velocidad…
Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60$ km, a una velocidad constante. En el viaje de vuelta, debido al viento en contra, su velocidad disminuye en $5$ km/h, por lo que tarda $1$ hora más en realizar el mismo recorrido. Plantea la ecuación racional que modeliza la situación y determina la velocidad de ida.
Tienen la incógnita dentro de una raíz. Método: aísla la raíz en un miembro, eleva al cuadrado ambos miembros, resuelve y comprueba en la ecuación original. Si hay dos raíces, aísla una, eleva al cuadrado y repite el proceso con la que quede.
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Encuentra las soluciones reales de la ecuación irracional, comprobando la validez de las mismas: $\sqrt{2x+5} - x = 1$
Encuentra las soluciones reales de la ecuación irracional, comprobando la validez de las mismas:
Una torre de telecomunicaciones está situada en la orilla recta de un río. Se quiere tender un cable en línea recta desde un punto $P$ de la orilla hasta la torre, y…
Una torre de telecomunicaciones está situada en la orilla recta de un río. Se quiere tender un cable en línea recta desde un punto $P$ de la orilla hasta la torre, y otro cable desde $P$ hasta una cabaña situada a $5$ km río abajo de la torre y a $1$ km tierra adentro. Si la longitud total del cable utilizado es de $6$ km, plantea una ecuación irracional y determina a qué distancia de la torre se encuentra el punto $P$.
El valor absoluto (o módulo) $|a|$ es la distancia de $a$ al cero. Por eso $|A|=k$, con $k>0$, se cumple cuando $A=k$ o $A=-k$. Si $k<0$, no hay solución.
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Halla los valores de $x$ que cumplen la ecuación con valor absoluto: $|2x - 5| = 7$
Halla los valores de $x$ que cumplen la ecuación con valor absoluto:
Un cultivo de bacterias crece según una ley exponencial. Para determinar el instante crítico de un experimento, un biólogo debe resolver la ecuación…
Un cultivo de bacterias crece según una ley exponencial. Para determinar el instante crítico de un experimento, un biólogo debe resolver la ecuación $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Halla los valores de $x$ aplicando un cambio de variable.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial que involucra bases distintas, extrayendo factor común en cada miembro: $2^{x+1} + 2^{x-1} = 3^{x} + 3^{x-2}$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial que involucra bases distintas, extrayendo factor común en cada miembro:
Del camino inverso: armar un polinomio a partir de sus raíces
Por el teorema del factor, $r$ es raíz de $P(x)$ si y solo si $(x-r)$ es factor de $P(x)$. Entonces, si conoces las raíces $r_1, r_2, \dots, r_n$, el polinomio mónico (coeficiente principal $1$) de grado $n$ que las tiene es
$$P(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$$
Además, el término independiente es $(-1)^n\, r_1 r_2\cdots r_n$: para grado $4$, es el producto de las raíces.
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Factoriza el polinomio y resuelve la ecuación de tercer grado: $x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$
Factoriza el polinomio y resuelve la ecuación de tercer grado:
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una cartulina rectangular de $20 \times 15$ cm, recortando cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y doblando los…
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una cartulina rectangular de $20 \times 15$ cm, recortando cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y doblando los bordes. Si el volumen de la caja debe ser de $378\text{ cm}^3$, plantea la ecuación polinómica de tercer grado correspondiente y halla el valor de $x$, sabiendo que es un número entero.
Un número PIN de una tarjeta está formado por cuatro cifras enteras positivas, consecutivas y en orden creciente. Si formamos un polinomio mónico $P(x)$ de grado $4$…
Un número PIN de una tarjeta está formado por cuatro cifras enteras positivas, consecutivas y en orden creciente. Si formamos un polinomio mónico $P(x)$ de grado $4$ cuyas raíces sean exactamente esas cuatro cifras, resulta que su término independiente es igual a $24$. Determina el polinomio $P(x)$ desarrollado y el número PIN de cuatro cifras.
Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación bicuadrada $x^4 - kx^2 + 9 = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales distintas. Justifica razonadamente tu…
Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación bicuadrada $x^4 - kx^2 + 9 = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales distintas. Justifica razonadamente tu respuesta.
Vuelta al principio: la ecuación de Isidora, $4^x-5\cdot2^x+4=0$, se resolvía con $u=2^x$ y daba $x=0$ o $x=2$. Cuando la incógnita está en el exponente y no se puede igualar bases, se usan logaritmos: se aísla la exponencial y se aplica $\ln$ (logaritmo natural, base $e$). Verifica siempre el resultado con una calculadora científica o con GeoGebra, y si usas un modelo o una fórmula encontrada en internet, contrasta la fuente.
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Una muestra de material radiactivo se desintegra de modo que la cantidad restante $M(t)$ en gramos tras $t$ años obedece a la expresión $M(t) = 200 \cdot e^{-0,05t}$.…
Una muestra de material radiactivo se desintegra de modo que la cantidad restante $M(t)$ en gramos tras $t$ años obedece a la expresión $M(t) = 200 \cdot e^{-0,05t}$. ¿Cuántos años deben transcurrir para que queden exactamente $50$ gramos de material? Expresa el resultado exacto usando logaritmos neperianos.
La energía $E$ (en ergios) liberada por un terremoto se relaciona con su magnitud $M$ en la escala de Richter mediante la ecuación $\log E = 11,8 + 1,5M$. Si un…
La energía $E$ (en ergios) liberada por un terremoto se relaciona con su magnitud $M$ en la escala de Richter mediante la ecuación $\log E = 11,8 + 1,5M$. Si un terremoto libera $1000$ veces más energía que otro cuya magnitud es de $4,2$, ¿cuál es la magnitud del primer terremoto en la escala de Richter?
Resuelve el siguiente sistema no lineal que modeliza el cruce de dos trayectorias en el plano cartesiano: $y = \sqrt{x+2}$ e $y = |x|$. Determina los puntos de corte…
Resuelve el siguiente sistema no lineal que modeliza el cruce de dos trayectorias en el plano cartesiano: $y = \sqrt{x+2}$ e $y = |x|$. Determina los puntos de corte algebraicamente.