Inecuaciones lineales con dos incógnitas: sistemas
Una pastelería de barrio de Viña del Mar tiene 10 horas de preparación y 8 horas de horno por día, y hace dos tipos de tortas. ¿Qué cantidades de cada tipo puede producir sin pasarse de las horas disponibles? Con una incógnita, la solución de una inecuación era un intervalo de la recta. Con dos incógnitas ($x$ e $y$) la solución ya no entra en una recta: es una región del plano. Un sistema de varias inecuaciones recorta esa región hasta dejar, muchas veces, un polígono: la región factible. Vamos a resolver el problema de la pastelería a lo largo de la página.
Una inecuación con dos incógnitas es una región
Dado el sistema de inecuaciones lineales $x + y < 5$ y $2x - y \ge 0$, determina cuáles de los siguientes puntos son solución del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$,…
Dado el sistema de inecuaciones lineales $x + y < 5$ y $2x - y \ge 0$, determina cuáles de los siguientes puntos son solución del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$, $C(3, 3)$ y $D(4, 0)$.
Comprueba de forma analítica si el punto $P(1, 2)$ pertenece a la región definida por el sistema de inecuaciones: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ y $3x + 2y \ge 1$.
Comprueba de forma analítica si el punto $P(1, 2)$ pertenece a la región definida por el sistema de inecuaciones: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ y $3x + 2y \ge 1$.
Representar la región: la recta frontera y el semiplano
Para dibujar la región, primero se traza la recta frontera (como si fuera una igualdad) y después se decide, con un punto de prueba, qué lado sombrear. La recta se dibuja discontinua si la desigualdad es estricta ($<$ o $>$) y continua si incluye el igual.
Representa gráficamente la inecuación $2x - 3y \le 6$. A continuación, indica dos puntos cuyas coordenadas pertenezcan a la región solución y dos puntos que no…
Representa gráficamente la inecuación $2x - 3y \le 6$. A continuación, indica dos puntos cuyas coordenadas pertenezcan a la región solución y dos puntos que no pertenezcan.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Representa la región del plano que cumple simultáneamente las siguientes restricciones: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ e $y \le 3$.
Representa la región del plano que cumple simultáneamente las siguientes restricciones: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ e $y \le 3$.
Sistemas: la región factible y sus vértices
Representa gráficamente el sistema formado por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$ y $x - y \le 1$, sombreando de forma clara la región factible resultante. Puedes hacerlo…
Representa gráficamente el sistema formado por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$ y $x - y \le 1$, sombreando de forma clara la región factible resultante.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Halla algebraicamente las coordenadas de los vértices de la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x + y \le 4$.
Halla algebraicamente las coordenadas de los vértices de la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x + y \le 4$.
Representa gráficamente el sistema de inecuaciones $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcula las coordenadas exactas de los…
Representa gráficamente el sistema de inecuaciones $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcula las coordenadas exactas de los vértices de la región resultante.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Armar un sistema a partir de una región
Si te dan un polígono con sus vértices, cada lado es un tramo de una recta frontera. Para cada lado: hallas la ecuación de la recta que pasa por dos vértices consecutivos y eliges el sentido de la desigualdad con un punto interior (por ejemplo, un vértice no usado). El sistema es el conjunto de todas esas inecuaciones.
Con una sola recta es igual: con dos de sus puntos hallas la ecuación y eliges el sentido de la desigualdad según el lado sombreado que contiene al punto de prueba.
A partir de la región sombreada en la figura, determina la inecuación lineal con dos incógnitas que la define. Ten en cuenta que la recta límite pasa por los puntos…
A partir de la región sombreada en la figura, determina la inecuación lineal con dos incógnitas que la define. Ten en cuenta que la recta límite pasa por los puntos $(0, 2)$ y $(3, 0)$ y que la región incluye el origen de coordenadas.
La figura muestra una región poligonal en el plano cartesiano que representa las combinaciones viables de producción de dos componentes electrónicos. Determina el…
La figura muestra una región poligonal en el plano cartesiano que representa las combinaciones viables de producción de dos componentes electrónicos. Determina el sistema de inecuaciones que define dicha región, sabiendo que sus vértices son $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ y $D(2, 3)$.
La imagen muestra una región factible en forma de cuadrilátero, que modeliza las limitaciones de un proyecto de ingeniería de software (horas de programación en el eje…
La imagen muestra una región factible en forma de cuadrilátero, que modeliza las limitaciones de un proyecto de ingeniería de software (horas de programación en el eje $X$ vs horas de testeo en el eje $Y$). Los vértices son $P(0, 4)$, $Q(2, 5)$, $R(5, 2)$ y $S(3, 0)$. Determina el sistema de inecuaciones que define exactamente esta región.
Problemas: plantear el sistema desde un enunciado
Lo más útil de este apartado es modelar situaciones con recursos limitados (horas, kilos, presupuesto, aforo) mediante un sistema de inecuaciones, y hallar la región factible. Volvamos a la pastelería.
Respuesta al problema del comienzo: la pastelería puede producir cualquier combinación $(x; y)$ de tortas que sea un punto de este cuadrilátero.
Una pastelería elabora dos tipos de tartas, T1 y T2. La tarta T1 requiere $2$ horas de preparación y $1$ hora de horneado, mientras que la tarta T2 requiere $1$ hora de…
Una pastelería elabora dos tipos de tartas, T1 y T2. La tarta T1 requiere $2$ horas de preparación y $1$ hora de horneado, mientras que la tarta T2 requiere $1$ hora de preparación y $2$ horas de horneado. Se dispone de un máximo de $10$ horas de preparación y $8$ horas de horneado al día. Plantea el sistema de inecuaciones que modeliza esta situación (considerando que las cantidades no pueden ser negativas) y representa gráficamente la región de posibles producciones diarias.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un agricultor dispone de $50$ hectáreas para sembrar trigo y cebada. La semilla de trigo cuesta $20\,000$ pesos por hectárea y la de cebada $30\,000$ pesos por hectárea.…
Un agricultor dispone de $50$ hectáreas para sembrar trigo y cebada. La semilla de trigo cuesta $20\,000$ pesos por hectárea y la de cebada $30\,000$ pesos por hectárea. El presupuesto máximo para semillas es de $1\,200\,000$ pesos. Además, por normativas ambientales, la superficie de cebada no puede superar el doble de la superficie de trigo. Escribe el sistema de inecuaciones asociado y determina los vértices de la región factible.
Para transportar $60$ toneladas de mercancía, una empresa de logística cuenta con camiones grandes con capacidad para $8$ toneladas y camiones pequeños con capacidad…
Para transportar $60$ toneladas de mercancía, una empresa de logística cuenta con camiones grandes con capacidad para $8$ toneladas y camiones pequeños con capacidad para $5$ toneladas. Por restricciones de personal, no se pueden enviar más de $10$ vehículos en total. Plantea el sistema de inecuaciones que determina el número de camiones de cada tipo que se pueden utilizar y halla analíticamente los vértices de la región solución.
Regiones no acotadas, vacías y casos especiales
Cuando hay un parámetro (por ejemplo $y\ge k$), se mueve la recta frontera según $k$ y se analiza para qué valores cambia la cantidad de vértices o la región queda vacía. Del mismo modo, si el lado derecho de una restricción se modifica, el área se calcula con los vértices que dependen del parámetro.
Para demostrar que una región es acotada, halla sus vértices y comprueba que las rectas frontera la cierran por todos lados (por ejemplo, un triángulo cuyos tres vértices cumplen todo el sistema). Si dos restricciones son paralelas, como $x+y\ge2$ y $x+y\le5$, la región es una franja que se extiende al infinito.
Representa el conjunto de soluciones del sistema formado por las inecuaciones $x + y \ge 2$ y $x + y \le 5$. Describe qué tipo de región geométrica se obtiene.
Representa el conjunto de soluciones del sistema formado por las inecuaciones $x + y \ge 2$ y $x + y \le 5$. Describe qué tipo de región geométrica se obtiene.
Considera la región del plano definida por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ y $x - y \ge -2$. Demuestra algebraicamente que se trata de una región acotada…
Considera la región del plano definida por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ y $x - y \ge -2$. Demuestra algebraicamente que se trata de una región acotada y determina las coordenadas de los vértices que posee esta región.
Se da el sistema de inecuaciones $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ e $y \ge k$. Discute, en función del parámetro $k$, el número de vértices que tiene la región…
Se da el sistema de inecuaciones $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ e $y \ge k$. Discute, en función del parámetro $k$, el número de vértices que tiene la región factible. ¿Para qué valores de $k$ la región factible se reduce al conjunto vacío?
Hallar el máximo o el mínimo: la función objetivo
Muchas veces no alcanza con saber qué producciones son posibles: interesa la mejor. Eso se mide con una función objetivo, una expresión lineal como $G=ax+by$ (ganancia, costo, cantidad de vehículos…) que se quiere maximizar o minimizar sobre la región factible.
A veces el problema fija una de las variables. Entonces la solución es un tramo de una recta (una "rebanada" de la región) y se resuelve reemplazando.
Una empresa de arriendo de vehículos dispone de autos y furgonetas. El mantenimiento diario de un auto cuesta $10\,000$ pesos y el de una furgoneta $20\,000$ pesos. El…
Una empresa de arriendo de vehículos dispone de autos y furgonetas. El mantenimiento diario de un auto cuesta $10\,000$ pesos y el de una furgoneta $20\,000$ pesos. El presupuesto diario para mantenimiento no supera los $300\,000$ pesos. El estacionamiento tiene capacidad máxima para $20$ vehículos. Determina la región factible y halla el número máximo de furgonetas que pueden mantenerse si se tienen exactamente $5$ autos.
Para la organización de un concierto se venden entradas VIP ($x$) y entradas estándar ($y$). El aforo máximo del recinto es de $5000$ personas. Por motivos de seguridad…
Para la organización de un concierto se venden entradas VIP ($x$) y entradas estándar ($y$). El aforo máximo del recinto es de $5000$ personas. Por motivos de seguridad y rentabilidad, el número de entradas estándar no puede superar el triple de las entradas VIP. Además, los organizadores exigen que se vendan al menos $1000$ entradas VIP. Escribe el sistema de inecuaciones, halla los vértices de la región factible y determina algebraicamente si es posible vender exactamente $1500$ entradas VIP y $4000$ estándar.
Una fábrica de muebles produce sillas y mesas. Cada silla requiere $2$ horas de corte y $1$ hora de ensamblaje. Cada mesa requiere $1$ hora de corte y $3$ horas de…
Una fábrica de muebles produce sillas y mesas. Cada silla requiere $2$ horas de corte y $1$ hora de ensamblaje. Cada mesa requiere $1$ hora de corte y $3$ horas de ensamblaje. Los trabajadores pueden dedicar un máximo de $40$ horas semanales al corte y $60$ horas al ensamblaje. Además, por un contrato previo, se deben fabricar al menos $5$ mesas semanales y el número de sillas no puede ser inferior al número de mesas. Plantea el sistema de inecuaciones, represéntalo y halla todos los vértices de la región factible.