Regla de Ruffini

Cómo funciona la regla

Ruffini sirve para dividir un polinomio $P(x)$ por un binomio de la forma $x - a$. Se arma una tabla así:

1. Escribe los coeficientes de $P(x)$ en fila, ordenados de mayor a menor grado. Si falta algún grado, pon un $0$.

2. A la izquierda, aparte, pon el valor $a$.

3. Baja el primer coeficiente tal cual.

4. Cada número nuevo de la fila de abajo se obtiene multiplicando el anterior por $a$ y sumándole el coeficiente de su columna.

El último número de la fila de abajo es el resto. Los demás son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos que $P(x)$.

Siempre vale la relación de la división: $P(x) = (x-a)\cdot C(x) + R$. Por eso se puede comprobar el resultado multiplicando.

Ruffini calcula valores y detecta ceros

El último número de la tabla es el resto de dividir por $x-a$. Por el teorema del resto, ese resto es $P(a)$. Entonces Ruffini te permite calcular el valor numérico de un polinomio sin elevar y sumar término a término. Y si el resto da $0$, encontraste un cero.

En el gráfico de $P(x)=x^3-4x^2+x+6$ se ve que corta al eje $x$ justo donde Ruffini da resto $0$:

Factorizar con un cero conocido

Si ya sabes (o descubres) un cero $a$, Ruffini te da el cociente: un polinomio de un grado menos. Entonces $P(x) = (x-a)\cdot C(x)$. Si el cociente es de grado 2, lo terminas de factorizar con la fórmula general o buscando dos números que sumen y multipliquen lo que corresponde.

¿Cómo se encuentra un cero si el enunciado no lo da? Prueba con los divisores del término independiente (con signo $\pm$). Por ejemplo, si el término independiente es $6$, prueba $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$. Si el coeficiente principal no es $1$, prueba también fracciones como $\pm\tfrac12$, $\pm\tfrac32$.

Repetir Ruffini: ceros múltiples y patrones

A veces el cociente tiene el mismo cero otra vez. Entonces repites Ruffini sobre el cociente con el mismo $a$. Si el factor $(x-a)$ aparece $k$ veces, decimos que $a$ es un cero de multiplicidad $k$. Si en algún momento el cociente es de grado 2 y no tiene ceros reales (discriminante negativo), ese factor queda sin descomponer: es irreducible sobre los reales.

Otro patrón útil: al dividir $x^n - a^n$ entre $x-a$ el resto siempre es $0$ (porque $a^n-a^n=0$) y el cociente sale con coeficientes $1,\ a,\ a^2,\ \dots$. Pruébalo con $x^3-8$ entre $x-2$: la fila de abajo da $1,\ 2,\ 4,\ 0$, o sea que $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.

Volúmenes y áreas con polinomios

Muchas magnitudes geométricas son polinomios. Si el volumen es producto de tres medidas y conoces una, dividas para encontrar el producto de las otras dos.

Ceros en modelos: cuándo vale cero

Cuando una cantidad modelizada por un polinomio se anula (beneficio nulo, posición en el origen, temperatura de $0\,^\circ\text{C}$), hay que resolver $P(x)=0$. Con Ruffini el camino es: buscar un cero entre los divisores del término independiente, dividir y resolver el cociente. Después hay que revisar qué soluciones tienen sentido en el contexto (por ejemplo, un tiempo no puede ser negativo).

Signo de un polinomio

Una vez que factorizaste un polinomio, estudiar dónde es positivo o negativo es sencillo. Ubicas los ceros sobre la recta real y analizas el signo del producto de factores en cada intervalo. El signo solo cambia al pasar por un cero de multiplicidad impar.

Parámetros desconocidos

Cuando un coeficiente es una letra, una condición de divisibilidad se transforma en una ecuación. Aplicas Ruffini con el valor $a$ dado, la letra viaja por la tabla, y el último número (el resto) queda en función del parámetro. Después lo igualas a lo que pida el enunciado.

Si hay dos parámetros, cada condición da una ecuación y resuelves el sistema. Si pide divisibilidad por $(x-a)^2$, aplicas Ruffini dos veces con el mismo $a$ y pides resto $0$ en cada una.

Armar un polinomio a partir de sus ceros

Si un polinomio de grado 3 con coeficiente principal $1$ se anula en $x=1$ y $x=2$, entonces tiene la forma $P(x)=(x-1)(x-2)(x-r)$, con $r$ desconocido. Otra condición, como el resto al dividir por $x-3$, que es $P(3)$, permite hallar $r$.

Cuando el divisor no es $x-a$

Ruffini está pensado para $x-a$. Si el divisor es $x-\tfrac12$, no hay problema: $a=\tfrac12$ y trabajas con fracciones. Si es algo como $2x-3$, sacas factor común: $2x-3=2\left(x-\tfrac32\right)$. Aplicas Ruffini con $a=\tfrac32$, y el cociente de la tabla lo divides por $2$. El resto no cambia.

¿Por qué? De $P(x)=\left(x-\tfrac32\right)C(x)+R$ se obtiene $P(x)=(2x-3)\cdot\dfrac{C(x)}{2}+R$. El factor $2$ pasa al cociente y el resto queda igual.

Vuelve al principio: como la altura es $x-1$, divides $V(x)$ por Ruffini con $a=1$. El resto es $0$ y el cociente $x^2+6x+8$ es el área de la base de Valentina.

Resumen