Forma polar y trigonométrica de un número complejo
En un videojuego hecho en Santiago, un personaje está a 3 unidades del centro de la pantalla del celular y hay que girarlo $60^\circ$ alrededor de ese centro. Con coordenadas cartesianas $(a, b)$ tendrías que usar senos y cosenos del ángulo. ¿Habrá una forma de escribir el punto que convierta el giro en una simple suma de ángulos? Sí: describir el punto de un complejo con su distancia al origen y su ángulo. Al final de la página volvemos al personaje.
Módulo y argumento: las coordenadas polares de $z$
Hasta ahora ubicabas el punto de $z = a + bi$ en el plano complejo con el par $(a, b)$. También puedes ubicarlo con su distancia al origen y el ángulo que forma con el semieje real positivo: son las coordenadas polares.
Argumentos equivalentes
Sumar o restar vueltas completas ($360^\circ$) deja el vector en el mismo lugar. Entonces, para $r, s > 0$: $r_\alpha = s_\beta$ si y solo si $r = s$ y $\alpha = \beta + 360^\circ k$ con $k$ entero. Por eso el argumento se suele dar entre $0^\circ$ y $360^\circ$: así cada complejo no nulo tiene una única forma polar «estándar».
Expresa el número complejo $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ en forma polar y en forma trigonométrica.
Expresa el número complejo $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ en forma polar y en forma trigonométrica.
Observa la representación en el plano complejo del vector que define a $z$. Determina su módulo y su argumento, y escribe su expresión en forma polar y trigonométrica.
Observa la representación en el plano complejo del vector que define a $z$. Determina su módulo y su argumento, y escribe su expresión en forma polar y trigonométrica.
De polar a binómica: forma trigonométrica
Si tienes $r$ y $\alpha$, recuperar $a$ y $b$ es trigonometría del triángulo rectángulo: el cateto adyacente es $a = r\cos\alpha$ y el opuesto es $b = r\,\sin\alpha$.
Dado el número complejo en forma polar $z = 4_{120^\circ}$, determina su expresión en forma binómica.
Dado el número complejo en forma polar $z = 4_{120^\circ}$, determina su expresión en forma binómica.
Un brazo robótico articulado consta de dos segmentos. El primer segmento se representa en el plano complejo por el vector $z_1 = 5_{60^\circ}$. El segundo segmento,…
Un brazo robótico articulado consta de dos segmentos. El primer segmento se representa en el plano complejo por el vector $z_1 = 5_{60^\circ}$. El segundo segmento, $z_2$, tiene una longitud de $3$ unidades y está rotado $45^\circ$ en sentido antihorario respecto a la dirección de $z_1$. Calcula la posición final del extremo del brazo robótico (es decir, $z_1 + z_2$) en forma binómica, redondeando a dos decimales.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Conjugado y opuesto en forma polar
En binómica, conjugar cambia el signo de $b$, y el opuesto cambia los dos signos. En polar se ve en el ángulo: conjugar refleja el vector respecto del eje real, y el opuesto lo gira media vuelta.
Halla el conjugado y el opuesto del número complejo $z = 6_{45^\circ}$. Expresa ambos resultados en forma polar con argumentos positivos comprendidos entre $0^\circ$ y…
Halla el conjugado y el opuesto del número complejo $z = 6_{45^\circ}$. Expresa ambos resultados en forma polar con argumentos positivos comprendidos entre $0^\circ$ y $360^\circ$.
Producto, cociente e inverso
La gran ventaja de la forma polar: multiplicar y dividir se vuelve muy simple.
¿Por qué? Multiplicando en forma trigonométrica:
$r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha) \cdot s(\cos\beta + i\,\sin\beta) = rs\,[(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\,\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\,\sin\beta)]$
y las fórmulas del seno y del coseno de una suma convierten los paréntesis en $\cos(\alpha + \beta)$ y $\sin(\alpha + \beta)$. El cociente sale de que dividir es multiplicar por el inverso.
Multiplicar por $1_\theta$ no cambia el módulo y suma $\theta$ al argumento: es un giro de $\theta$ alrededor del origen en sentido antihorario. Por ejemplo, $4_{30^\circ}\cdot 1_{90^\circ} = 4_{120^\circ}$. También sirve para ubicar vectores consecutivos: si un segmento está girado $\theta$ respecto de otro, su argumento es el del otro más $\theta$.
Calcula el producto de los números complejos $z_1 = 2_{30^\circ}$ y $z_2 = 5_{45^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Calcula el producto de los números complejos $z_1 = 2_{30^\circ}$ y $z_2 = 5_{45^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Realiza la división de los números complejos $z_1 = 12_{150^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$. Expresa el resultado final en forma trigonométrica.
Realiza la división de los números complejos $z_1 = 12_{150^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$. Expresa el resultado final en forma trigonométrica.
En un circuito de corriente alterna, el voltaje se representa mediante el número complejo $V = 220_{30^\circ}$ y la impedancia mediante $Z = 10_{-15^\circ}$. La ley de…
En un circuito de corriente alterna, el voltaje se representa mediante el número complejo $V = 220_{30^\circ}$ y la impedancia mediante $Z = 10_{-15^\circ}$. La ley de Ohm para corriente alterna establece que la intensidad es $I = \frac{V}{Z}$. Calcula la intensidad $I$ en forma polar y exprésala posteriormente en forma binómica.
En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje viene dada por el afijo del número complejo $z = 4 - 4i$. El motor gráfico aplica una rotación de…
En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje viene dada por el afijo del número complejo $z = 4 - 4i$. El motor gráfico aplica una rotación de $60^\circ$ en sentido antihorario multiplicando su posición por el complejo $w = 1_{60^\circ}$. Determina la nueva posición del personaje en forma binómica.
Halla el inverso del número complejo $z = 4_{210^\circ}$ y exprésalo en forma binómica. Comprueba que el producto de $z$ por su inverso da como resultado la unidad real.
Halla el inverso del número complejo $z = 4_{210^\circ}$ y exprésalo en forma binómica. Comprueba que el producto de $z$ por su inverso da como resultado la unidad real.
Determina el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que el argumento del número complejo $z = \frac{a + 2i}{1 + i}$ sea de $45^\circ$.
Determina el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que el argumento del número complejo $z = \frac{a + 2i}{1 + i}$ sea de $45^\circ$.
Encuentra dos números complejos $z_1$ y $z_2$ sabiendo que su cociente es $\frac{z_1}{z_2} = 2_{120^\circ}$ y que su producto es $z_1 \cdot z_2 = 18_{60^\circ}$. Expresa…
Encuentra dos números complejos $z_1$ y $z_2$ sabiendo que su cociente es $\frac{z_1}{z_2} = 2_{120^\circ}$ y que su producto es $z_1 \cdot z_2 = 18_{60^\circ}$. Expresa ambos números en forma polar.
Potencias: fórmula de Moivre
Elevar a la $n$ es multiplicar $n$ veces por el mismo número: los módulos se multiplican (queda $r^n$) y los ángulos se suman $n$ veces (queda $n\alpha$).
Cuando $r = 1$ la fórmula se usa para deducir identidades trigonométricas. Por ejemplo, con $n = 2$:
$(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)^2 = \cos 2\alpha + i\,\sin 2\alpha.$
Si desarrollas el cuadrado a la izquierda, $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha + 2i\,\sin\alpha\cos\alpha$, e igualas partes reales e imaginarias, queda $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ y $\sin 2\alpha = 2\,\sin\alpha\cos\alpha$. Con exponente 3 se procede igual, desarrollando el cubo del binomio.
También conviene saber que las potencias de un complejo de módulo 1 se repiten: si $z = 1_{120^\circ}$, entonces $z^3 = 1_{360^\circ} = 1$, y a partir de ahí $z^4 = z$, $z^5 = z^2$, etc. Para exponentes grandes, divide el exponente por 3 y quédate con el resto. Por ejemplo, $z^{100}$: como $100 = 3\cdot 33 + 1$, queda $z^{100} = z$.
Aplica la fórmula de Moivre para calcular la potencia cuarta del número complejo $z = 2_{20^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Aplica la fórmula de Moivre para calcular la potencia cuarta del número complejo $z = 2_{20^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Calcula el valor de la expresión $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Para ello, convierte previamente el numerador y el denominador a forma polar.
Calcula el valor de la expresión $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Para ello, convierte previamente el numerador y el denominador a forma polar.
En un experimento de óptica, el desfase entre dos ondas de luz se modela multiplicando sus representaciones complejas. Si la primera onda es $z_1 = 3_{45^\circ}$ y la…
En un experimento de óptica, el desfase entre dos ondas de luz se modela multiplicando sus representaciones complejas. Si la primera onda es $z_1 = 3_{45^\circ}$ y la segunda es $z_2 = 2_{135^\circ}$, halla en forma trigonométrica el resultado de $z_1 \cdot z_2^2$.
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la expresión $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir de la igualdad entre las partes reales e imaginarias, deduce las…
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la expresión $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir de la igualdad entre las partes reales e imaginarias, deduce las identidades trigonométricas para $\cos(3\alpha)$ y $\sin(3\alpha)$ en función de $\cos \alpha$ y $\sin \alpha$.
Sea el número complejo $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Demuestra que $z^3 = 1$ y, a continuación, calcula el valor de la expresión…
Sea el número complejo $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Demuestra que $z^3 = 1$ y, a continuación, calcula el valor de la expresión $S = z^{2023} + z^{2024} + z^{2025}$.
Raíces n-ésimas y ecuaciones
Una raíz $n$-ésima de $w$ es un número $z$ tal que $z^n = w$. Si $z = \rho_\theta$ y $w = r_\alpha$, por Moivre debe ser $\rho^n = r$ y $n\theta = \alpha + 360^\circ k$. De ahí sale la fórmula.
¿Por qué solo $n$ valores de $k$? Para $k = n$ el ángulo aumenta en $360^\circ$ y se repite la raíz de $k = 0$.
Para resolver una ecuación del tipo $z^n = w$, pasa $w$ a polar y aplicá la fórmula. Por ejemplo, $z^3 = -8$: como $-8 = 8_{180^\circ}$, las raíces tienen módulo $2$ y argumentos $60^\circ, 180^\circ, 300^\circ$. En binómica: $1 + \sqrt{3}\,i$, $-2$ y $1 - \sqrt{3}\,i$.
Si la ecuación tiene la forma de una cuadrática en $z^k$ (bicuadrática, o con $z^6$ y $z^3$), haz un cambio de variable. Por ejemplo, $z^4 + 3z^2 - 4 = 0$: con $w = z^2$ queda $w^2 + 3w - 4 = 0$, con soluciones $w = 1$ y $w = -4$. Luego resuelves $z^2 = 1$ (da $\pm 1$) y $z^2 = -4 = 4_{180^\circ}$ (da $2_{90^\circ} = 2i$ y $2_{270^\circ} = -2i$).
Calcula las raíces cuadradas del número complejo $z = 9_{80^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Calcula las raíces cuadradas del número complejo $z = 9_{80^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Halla las tres raíces cúbicas del número complejo $z = 8i$. Expresa los resultados en forma polar y justifica geométricamente la figura que forman sus afijos en el plano…
Halla las tres raíces cúbicas del número complejo $z = 8i$. Expresa los resultados en forma polar y justifica geométricamente la figura que forman sus afijos en el plano complejo.
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ utilizando la forma polar de los números complejos. Expresa las cuatro soluciones obtenidas en forma binómica.
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ utilizando la forma polar de los números complejos. Expresa las cuatro soluciones obtenidas en forma binómica.
Los vértices de un hexágono regular centrado en el origen del plano complejo corresponden a las raíces sextas de un número complejo $W$. Si uno de los vértices del…
Los vértices de un hexágono regular centrado en el origen del plano complejo corresponden a las raíces sextas de un número complejo $W$. Si uno de los vértices del hexágono es el afijo del número $z_1 = 2_{30^\circ}$, determina el valor del número complejo $W$ en forma binómica y calcula el área exacta del hexágono.
Halla todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Expresa las soluciones en forma polar. (Pista: realiza un cambio de variable).
Halla todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Expresa las soluciones en forma polar. (Pista: realiza un cambio de variable).
Cinco fuerzas coplanarias de igual magnitud $F = 10\text{ N}$ se aplican sobre un punto material situado en el origen. Las direcciones de estas fuerzas corresponden a…
Cinco fuerzas coplanarias de igual magnitud $F = 10\text{ N}$ se aplican sobre un punto material situado en el origen. Las direcciones de estas fuerzas corresponden a los afijos de las raíces quintas del número complejo $z = 100000_{0^\circ}$. Demuestra matemáticamente, utilizando las propiedades de los números complejos en forma polar, que la fuerza resultante es nula.
Calcula el perímetro del polígono formado por los afijos de las soluciones de la ecuación $z^4 + 2z^2 + 4 = 0$ en el plano complejo.
Calcula el perímetro del polígono formado por los afijos de las soluciones de la ecuación $z^4 + 2z^2 + 4 = 0$ en el plano complejo.
Vuelve al principio: el personaje a 3 unidades del centro, en la dirección de $10^\circ$, es $3_{10^\circ}$. Para girarlo $60^\circ$ se lo multiplica por $1_{60^\circ}$ y queda $3_{70^\circ}$: el giro es solo sumar ángulos.