Operaciones elementales

Realiza la siguiente operación combinada con números enteros, respetando estrictamente la jerarquía de las operaciones: $5 - 2 \cdot (4 - (-3)^2) + (-2)^3$.

Calcula y simplifica al máximo el resultado de la siguiente expresión con fracciones: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \right)$.

Un depósito de agua para riego agrícola está lleno hasta sus $\frac{3}{5}$ partes. Si se extrae el equivalente a $\frac{1}{4}$ de la capacidad total del depósito para regar una parcela, determina qué fracción de la capacidad total del depósito queda aún con agua.

Una empresa tecnológica destina $\frac{2}{5}$ de su presupuesto anual a sueldos del personal y $\frac{1}{3}$ del presupuesto restante a campañas de marketing. Si tras estas dos asignaciones aún le quedan $54\,000\,000$ pesos para otros gastos operativos, plantea las operaciones con fracciones necesarias para determinar a cuánto asciende el presupuesto total de la empresa.

Resuelve la siguiente operación con fracciones anidadas (castillo de fracciones), simplificando paso a paso desde el interior hacia el exterior: $\frac{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}$.

Expresa el resultado como una única potencia utilizando las propiedades de la multiplicación y división de potencias con la misma base: $\frac{7^5 \cdot 7^{-3}}{7^4}$.

En un experimento de óptica física, la intensidad de una señal láser se reduce a su mitad cada vez que atraviesa un filtro atenuador. Si la señal original tiene una intensidad $I_0$ y atraviesa $5$ filtros consecutivos, y posteriormente se amplifica multiplicándose por un factor de $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2}$, expresa la intensidad final de la señal en función de $I_0$ usando una única potencia de base $2$.

La capacidad total de almacenamiento de un servidor de datos se estructura de la siguiente manera: $\frac{1}{8}$ de la capacidad total se reserva para el sistema operativo; de la capacidad restante, una fracción equivalente a $\left( \frac{7}{4} \right)^{-1}$ se destina a bases de datos, y el espacio que sobra se utiliza para copias de seguridad. Si las copias de seguridad ocupan exactamente $3 \cdot 2^{40}$ bytes, plantea y resuelve las operaciones necesarias para determinar la capacidad total del servidor, expresando el resultado como una potencia de base $2$.

Desarrolla las siguientes expresiones algebraicas utilizando los productos notables correspondientes:

1. a) $(3x + 5)^2$
2. b) $(2x - 1)(2x + 1)$

El lado de una parcela cuadrada destinada a la instalación de paneles solares mide $3x - 2$ metros. Si se decide ampliar el terreno aumentando cada lado en $4$ metros, expresa el área del nuevo terreno y determina la diferencia de áreas entre la parcela nueva y la antigua, utilizando el desarrollo de productos notables.

En el diseño de una pieza mecánica de precisión, se especifica que el área de una sección transversal rectangular debe responder a la fórmula $A = 16x^2 - 24x + 9$ milímetros cuadrados. Demuestra algebraicamente que esta área siempre corresponde a un cuadrado perfecto para cualquier valor real de $x$, y determina la expresión que define la longitud del lado de dicho cuadrado.

Demuestra rigurosamente, mediante manipulación algebraica, que la diferencia entre el cuadrado de la suma de dos números reales cualesquiera y el cuadrado de su diferencia es siempre igual a cuatro veces el producto de dichos números. Es decir, prueba que $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

Dada la expresión algebraica $P(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{(x-y)^2}$, evalúa su valor exacto para $x = \frac{1}{2}$ e $y = -\frac{1}{3}$. Simplifica la expresión teóricamente antes de sustituir los valores para facilitar el cálculo numérico.

Durante la resolución de un problema de cinemática, un estudiante ha realizado la siguiente simplificación algebraica: $\frac{x^2 + y^2}{x+y} = x+y$.

Explica mediante un contraejemplo numérico explícito por qué esta operación es incorrecta. A continuación, desarrolla la expresión $(x+y)^2$ para justificar algebraicamente el error cometido, e indica bajo qué condición única y excepcional sobre las variables $x$ e $y$ la afirmación del estudiante resultaría numéricamente cierta.