Cálculo de límites de funciones
Ya sabes estimar un límite con una tabla o mirando un gráfico. Como ampliación, ahora toca calcularlo con exactitud, más allá de la lectura intuitiva de «tiende a»: factorizando, multiplicando por el conjugado o usando el número $e$. Por ejemplo: ¿qué pasa con la fórmula $\frac{x^2-25}{x^2-7x+10}$ justo en $x=5$, donde el denominador se hace cero?
Sustitución directa y límites laterales
Si la función es una expresión «normal» (polinomio, fracción con denominador distinto de cero, raíz de un número positivo), el límite en $x=a$ se calcula reemplazando $x$ por $a$. Fíjate en que, por ejemplo, en el Metro de Santiago la temperatura de un equipo electrónico cambia con las horas de uso: eso modela el ejemplo que sigue.
Cuando el denominador da $0$ pero el numerador no, o cuando la función cambia de fórmula (a trozos), hay que mirar por separado qué pasa por la izquierda ($x\to a^-$) y por la derecha ($x\to a^+$).
La temperatura de un componente electrónico (en grados Celsius) en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión $T(t) = \frac{3t^2 - 5t + 12}{t + 2}$.…
La temperatura de un componente electrónico (en grados Celsius) en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión $T(t) = \frac{3t^2 - 5t + 12}{t + 2}$. Calcula el límite de la temperatura cuando $t$ se aproxima a $3$ horas.
Estudia los límites laterales de la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ cuando $x$ tiende a $4$ y determina si existe el límite global en dicho punto.
Estudia los límites laterales de la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ cuando $x$ tiende a $4$ y determina si existe el límite global en dicho punto.
Dada la siguiente función definida a trozos, calcula los límites laterales en $x = 2$ y determina si existe $\lim_{x \to 2} f(x)$:…
Dada la siguiente función definida a trozos, calcula los límites laterales en $x = 2$ y determina si existe $\lim_{x \to 2} f(x)$:
$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$
Funciones por tramos, módulo y parámetros
En una función por tramos, el límite en el punto de empalme se calcula con cada trozo por su lado. Si además se pide continuidad, el límite debe coincidir con el valor de la función.
El valor absoluto (o módulo) también es «por tramos»: $|x|=x$ si $x\ge0$ y $|x|=-x$ si $x<0$. Por eso $\frac{|x|}{x}$ vale $1$ a la derecha de $0$ y $-1$ a la izquierda.
La velocidad de un vehículo de prueba (en m/s) en función del tiempo $t$ (en segundos) está definida a trozos como $v(t) = 3t + 2$ si $0 \le t < 4$, y $v(t) = t^2 - 2$…
La velocidad de un vehículo de prueba (en m/s) en función del tiempo $t$ (en segundos) está definida a trozos como $v(t) = 3t + 2$ si $0 \le t < 4$, y $v(t) = t^2 - 2$ si $t \ge 4$. Determina mediante límites laterales si la función velocidad es continua en el instante $t = 4$.
Estudia la existencia del límite en $x = 0$ de la función $f(x) = \frac{|x|}{x} + x^2$ calculando previamente sus límites laterales.
Estudia la existencia del límite en $x = 0$ de la función $f(x) = \frac{|x|}{x} + x^2$ calculando previamente sus límites laterales.
Una compañía eléctrica establece su tarifa $T(x)$ en pesos en función del consumo $x$ en kWh. Para consumos menores a $100$ kWh, la tarifa es $T(x) = 150x + 5\,000$.…
Una compañía eléctrica establece su tarifa $T(x)$ en pesos en función del consumo $x$ en kWh. Para consumos menores a $100$ kWh, la tarifa es $T(x) = 150x + 5\,000$. Para consumos mayores o iguales a $100$ kWh, la tarifa cambia a $T(x) = \frac{ax^2 + 200\,000}{x}$. Halla el valor del parámetro $a$ para que el límite de la tarifa exista cuando el consumo se acerca a $100$ kWh.
El catálogo de indeterminaciones
Al sustituir $x=a$, a veces no se obtiene un resultado utilizable.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ que representa el perfil de temperatura de un proceso químico en función del tiempo $x$. Determina gráficamente los siguientes…
Observa la gráfica de la función $f(x)$ que representa el perfil de temperatura de un proceso químico en función del tiempo $x$. Determina gráficamente los siguientes límites: $\lim_{x \to 2^-} f(x)$, $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
Factorización para resolver $\frac{0}{0}$
Si numerador y denominador son polinomios que se anulan en $x=a$, ambos tienen el factor $(x-a)$. Al factorizar y simplificar, el factor molesto desaparece.
Con restas de fracciones algebraicas, primero se busca común denominador.
Resuelve la siguiente indeterminación factorizando los polinomios: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$
Resuelve la siguiente indeterminación factorizando los polinomios:
$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$
Calcula el siguiente límite algebraico resolviendo la indeterminación mediante factorización: $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 7x + 10}$
Calcula el siguiente límite algebraico resolviendo la indeterminación mediante factorización:
$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 7x + 10}$
Calcula el valor del límite que presenta una indeterminación del tipo resta de fracciones algebraicas: $\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right)$
Calcula el valor del límite que presenta una indeterminación del tipo resta de fracciones algebraicas:
$\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right)$
El conjugado con raíces
Si la indeterminación viene con una raíz, multiplicar y dividir por el conjugado la convierte en una diferencia de cuadrados y elimina el problema.
Resuelve el siguiente límite multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada correspondiente: $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}$
Resuelve el siguiente límite multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada correspondiente:
$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}$
Resuelve el siguiente límite con indeterminación $\frac{0}{0}$ que contiene dos radicales en el numerador: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{3x}$
Resuelve el siguiente límite con indeterminación $\frac{0}{0}$ que contiene dos radicales en el numerador:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{3x}$
Considera un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm. Si $x$ es la longitud de la base del rectángulo, el área del mismo viene dada por la función…
Considera un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm. Si $x$ es la longitud de la base del rectángulo, el área del mismo viene dada por la función $A(x) = x \sqrt{400 - x^2}$. Un arquitecto necesita saber cómo se comporta la proporción entre el área del rectángulo y el cuadrado de su base cuando la base se hace muy pequeña. Calcula $\lim_{x \to 0^+} \frac{A(x)}{x^2}$.
Límites cuando $x\to\infty$
Para $x\to+\infty$ con cocientes de polinomios, se compara el grado.
Con raíces, $\sqrt{9x^2+4x}$ se comporta como $3x$ (para $x>0$): su «grado» es $1$.
Para $\infty-\infty$ con raíces, también se usa el conjugado.
Los límites con exponencial se leen así: $e^{-0{,}2t}\to0$ cuando $t\to+\infty$. En $U(t)=\dfrac{500}{1+49e^{-0{,}2t}}$ el denominador tiende a $1$, entonces $U\to500$ (miles de usuarios).
Calcula el valor del parámetro $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el límite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{kx^3 - 5x + 1}{2x^3 + x^2 - 8} = 4$
Calcula el valor del parámetro $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el límite:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{kx^3 - 5x + 1}{2x^3 + x^2 - 8} = 4$
Calcula el límite en el infinito de la siguiente función que contiene radicales, analizando los grados del numerador y del denominador:…
Calcula el límite en el infinito de la siguiente función que contiene radicales, analizando los grados del numerador y del denominador:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 4x} - 2x}{5x + 1}$
El número de usuarios registrados en una nueva plataforma de streaming, expresado en miles, se modela mediante la función logística…
El número de usuarios registrados en una nueva plataforma de streaming, expresado en miles, se modela mediante la función logística $U(t) = \frac{500}{1 + 49 e^{-0,2t}}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. ¿Hacia qué valor tiende el número de usuarios con el paso del tiempo?
Calcula el siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ involucrando raíces cuadradas:…
Calcula el siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ involucrando raíces cuadradas:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$
Indeterminación $1^\infty$ y el número $e$
Dos límites notables para $x\to0$
Con $e$ y con las funciones trigonométricas aparecen dos límites que conviene conocer:
Se usan con un cambio de variable: hay que lograr que lo que está en el exponente (o dentro del seno) sea igual al denominador.
Con $\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1$ se calcula $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ multiplicando por el conjugado $1+\cos x$: el numerador queda $1-\cos^2x=\operatorname{sen}^2x$ y el límite es $\left(\frac{\operatorname{sen}x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos x}\to1\cdot\frac12=\frac12$.
Determina el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación asociada al número $e$: $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 5}{x - 2} \right)^{3x}$
Determina el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación asociada al número $e$:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 5}{x - 2} \right)^{3x}$
Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, calcula el siguiente límite trigonométrico realizando las transformaciones algebraicas necesarias (pista: multiplica…
Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, calcula el siguiente límite trigonométrico realizando las transformaciones algebraicas necesarias (pista: multiplica numerador y denominador por el conjugado del numerador):
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un medio con índice de refracción variable. La desviación del rayo define un triángulo rectángulo cuya base mide $x$…
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un medio con índice de refracción variable. La desviación del rayo define un triángulo rectángulo cuya base mide $x$ y cuya altura viene dada por la curva $h(x) = \frac{1 - e^{-2x}}{x}$. Observa el diagrama y calcula el límite del área del triángulo sombreado $A(x)$ cuando $x \to 0^+$.
Límites con $\infty$ en contextos
Un límite lateral infinito se interpreta como una «barrera» que la cantidad no puede alcanzar.
Cuando hay radicales de distinto índice, como $\sqrt[3]{x^3+6x^2}-\sqrt{x^2+2x}$, conviene tratar cada término por separado: $\sqrt[3]{x^3+6x^2}=x\sqrt[3]{1+6/x}\approx x+2$ y $\sqrt{x^2+2x}\approx x+1$, de modo que la diferencia tiende a $1$.
La masa relativista de una partícula en movimiento viene dada por $m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad…
La masa relativista de una partícula en movimiento viene dada por $m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad de la partícula y $c$ es la velocidad de la luz. Calcula el límite de la masa cuando la velocidad $v$ tiende a la velocidad de la luz $c$ por la izquierda ($v \to c^-$) e interpreta el resultado matemático en el contexto físico.
Resuelve la siguiente indeterminación $\infty - \infty$ con radicales de distinto índice. Presta especial atención a la estrategia algebraica necesaria para unificar o…
Resuelve la siguiente indeterminación $\infty - \infty$ con radicales de distinto índice. Presta especial atención a la estrategia algebraica necesaria para unificar o tratar por separado los términos:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x^3 + 6x^2} - \sqrt{x^2 + 2x} \right)$
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el infinito:…
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el infinito:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{ax^2 + bx - 1}{x + 2} - 3x \right) = 5$
Resumen
Vuelta al principio: en $x=5$ la fórmula daba $\frac00$, pero al factorizar el límite vale $\frac{10}{3}$.